高中數學中恒成立問題的求解策略

黃海蘭

(廣西省南寧市第二十九中學 530022)

高中數學中的恒成立問題大多以不等式的形式出現，而不等式兩邊的條件往往是解題的關鍵，對這些條件進行合理地變形、整理，便能讓解題變得高效率、高準確率，那么又有哪些方法可以用來幫助我們整理題目中的條件進而解決問題呢？以下著重分析恒成立問題中三種常用的解題方法.

一、參變分離

恒成立問題的中檔題里一般會出現一個變量，一個參數讓學生計算參數范圍.學生遇到此類問題時往往沒有突破的方向，此時應該觀察參數和變量的關系，當參數和變量易于分離，且分離后方便構建新函數時，應使用參變分離的方法做題.

例1f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若當x∈(2,+∞)時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

點撥因為同時考慮參數和變量的難度過高，而參變分離的使用很好地梳理了題目所給的條件，將本題轉化為一道函數極值問題，進而快速解題.所以在遇到同時存在變量和未知參數的題目時不妨多使用參變分離的方法，讓問題簡易化.

二、數形結合

某些雙變量問題中，如果直接參變分離，構建新函數，再求解，計算量會比較大，此時就需要使用另一種方法——數形結合.數形結合往往可以通過圖形達到避繁就簡的目的，所以，掌握這一解題技巧同樣是必不可少的.

點撥數形結合往往可以將抽象的問題形象化，在解決很多類型問題時都不失為一個好方法，此處的應用也是使得大小的比較更加的直觀，讓解題更加容易.

三、變換主元

在恒成立問題中還有一類題目，出題者給出參數的范圍，而讓學生求解變量的范圍.前兩種在這類題型中就起不到太大的作用了，此時就需要使用變換主元的方法來解題.其實變換主元就是一種換位思考，將參數想象成變量，將變量看成參數來求解.

例3 若不等式2x-1>m(x2-1)，對滿足-2≤m≤2所有的m都成立，求x的取值范圍.

點撥變換主元實則就是逆向思維的過程，出題者將題目中的交換了條件和問題的位置，而變換主元就是在解題時將兩者再次調換，是一種很巧妙的方法.這一方法的掌握可以開拓學生的視野，發散解題思維.

綜上來看，不難發現，恒成立問題的求解，大多與函數分不開關系，不等式的外形只是為我們的求值指引方向.希望學生們掌握恒成立問題的各種解題技巧，在遇到各種恒成立問題時，可以快速拿出最有利于這道題的解題方法，降低解題的難度，大大縮短解題的時間，提高解題的準確率.