三次函數的命題相關思考

張秋鴻

(福建省龍巖市漳平二中 364400)

對最一般的三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)一類的問題，從解題的角度來看，可以經過平移將三次函數的拐點(即三次函數的對稱中心點)移到原點處，使問題簡化，從而較為簡單地解決問題.此時三次函數都可化為y=ax3+px(a≠0)，以下稱該型為標準型三次函數.過程如下：

另上面也可這樣變形：

此時只須上下平移即可變為標準型三次函數.

經過以上分析，要解決三次函數問題，實際上解決標準型問題即可.同樣的思維方法用在有關三次函數問題命題時有很好的幫助.一方面可以在標準型上研究，然后推廣到一般情形，另一方面也可以命好題后放到標準型上繼續研究.

不妨假設標準型三次函數的三次項系數a>0，則顯然有以下性質：

1.函數為奇函數，原點為其對稱中心點;

2.當p≥0時，函數在R上為增函數，沒有極值;

(1)若對任意的m∈(t,x2]，線段MP與曲線f(x)均有異于M，P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論；

(2)若存在點Q(n,f(n))，x1≤n

分析(1)在過點M的直線中，除平行于x軸外恰好還有一條與曲線相切，且切點在O點與N點之間.此時如果斜率繼續增大，在P點兩側均有交點.可見，相切時的切點是線段MP是否與曲線有異于M，P的公共點的臨界點.曲線在P處的切線斜率為f′(m).

m=-2時即為M點，故m=1.

(2)若m∈(0,2]，只要取Q為P關于原點的對稱點，因為f(x)為奇函數，顯然PQ線段過原點，而原點在曲線上，所以m∈(0,2]符合題意.

若m∈(-2,0]，因為-2

本題若為普通三次函數(如09福建卷)則明顯加大難度了，因為函數的圖象不清，不能應用數形結合，特別是(2)問難度就更大了，所以原題(09福建卷)只要求寫出結果，而不要求證明.

該題用很基本的三次函數，但卻考查了科學嚴謹的數學分析的思想方法，對中學階段來說屬靈活性，難度都較大.試題有較好的區分度，不過有不足的地方就是起點門檻高，對不能理解題意的考生基本得不到分數.

分析本題關鍵在兩點：

1是切線l1上兩倍的切點橫坐標和切線與曲線另一交點橫坐標和為零；(把切點當兩個點看，即有切線與曲線交點的橫坐標和為零，如本題2xP1+xP2=0)

∴a(x-x1)2(x+2x1)=0.∵x≠x1，

∴x+2x1=0，即x2+2x1=0,即有2xP1+xP2=0.

另一方面：

拐點處切線方程為：y=px，與f(x)聯立方程有：

事實上，對上述的第一點有：對三次函數y=ax3+px(a≠0)，如果與直線y=kx+b有三個交點，則三個交點的橫坐標和為零.特別地，當直線與曲線相切時，切點用兩點計算.聯立兩方程，因為ax3+px=kx+b，即有ax3+

(p-k)x-b=0，由x2項的系數為零，根據韋達定理容易得到：x1+x2+x3=0.

把上述推廣到一般情形有：對一般三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，如果與直線y=kx+b有三個交點，則三個交點的橫坐標的平均值為三次函數拐點的橫坐標.(如果直線與曲線相切，則切點用兩點計算)可以把這一性質設計成試題，讓考生猜想，同樣的，考生不容易觀察到，對數學思維有很高的要求.