關于F.Smarandache函數和式的均值計算

李橋,馬云真,李江華

(西安理工大學數學系,陜西 西安 710054)

1 引言及結論

定義1.1[1-2]

(1)Smarandache函數:

(2)Smarandache LCM函數:

(3)ˉS(n)函數:

(4)簡單數:真因子的乘積不超過它本身的數,用A表示簡單數集,即

性質1.1[3-4]

(3)S(pα)≤ αp; (4)p|S(pα);

(5)S(pα)= αp,其中 α ≤ p;

關于它們的算術性質,有不少學者進行過研究,獲得了許多有重要理論價值的研究成果,參閱文獻[2-14].例如,在文獻[2]中,作者研究了關于函數ˉS(n)的一個和式的均值分布問題,證明了下面的定理,即對任意實數x>1,有

其中

為常數,N表示正整數之集合.

在文獻[3]中,作者研究了Smarandache函數S(n)的有界性問題,得出了S(pα)的上下界估計,即證明了:

(p?1)α+1≤ S(pα)≤ (p?1)[α+1+logpα]+1.

在文獻[4]中,作者研究了Smarandache LCM函數SL(n)的均值分布問題,證明了下面的定理,即對任意實數x>1,有

在文獻[6]中,作者研究了Smarandache函數S(n)的均值分布問題,獲得了下面的定理,即對任意實數x>1,有

在文獻[8]中,作者研究了數論函數ˉS(n)的均值分布問題,得到了下面的定理,即對任意實數 x>1,有

在文獻[12]中,作者研究了數論方程S(SL(n))=φ(n)的可解性問題,得到了下面的結論,即方程S(SL(n))=φ(n)有且僅有n=1,8,9,12,18的解.

本文主要目的是利用初等和解析方法研究關于F.Smarandache可乘函數S(n)、SL(n)以及ˉS(n)的和式的均值分布問題,并給出幾個有趣的漸近公式及其他結論.具體地說也就是證明了下列定理及推論:

定理 1.1 對任意實數x>1以及非負實數λ,有漸近公式

定理 1.2 對任意實數x>1以及實數λ,有公式

定理 1.3 對任意實數x>1以及實數λ,有公式

推論 1.1 對任意實數x>1,有漸近公式

推論 1.2 對任意實數x>1,π(x)表示所有不大于x的素數個數,則有極限公式

2 引理

為了完成定理的證明,首先需要如下幾個簡單的引理.為敘述方便,令為n的標準分解式.

證明 設x是實數且x>2,那么對任意素數p≤x,存在唯一的正整數α(p),使得

充分性:當ˉS(1)≤x時,顯然成立.當n>1且ˉS(n)≤x時,則

則n|m.

引理2.1得證.

引理2.2 令

證明 設x是實數且x>2,那么對任意素數p≤x,存在唯一的正整數α(p),使得

充分性:當SL(1)≤x時,顯然成立.當n>1且SL(n)≤x時,則

引理2.2得證.

引理 2.3[15]設 n ∈ A,則 n=p,或 n=p2,或 n=p3,或 n=pq(p?=q).

于是(Pd(n))2=nd(n),式中d(n)為除數函數.從而有

由于n是簡單數,則qd(n)≤n,即≤n.進而有d(n)≤4,用除數函數d(n)定義,得 n=p,或 n=p2,或 n=p3,或 n=pq(p?=q)四種情況.

引理2.3得證.

3 定理的證明

這節,直接給出定理的證明.

證明 對定理1.1,結合Smarandache函數S(n)的性質以及引理2.3,有

其他同理可證.

對定理1.2,結合函數ˉS(n)的定義以及引理2.1.當λ=0時,由文獻[2],有

其中

對定理1.3,結合函數SL(n)的定義以及引理2.2.當λ=0時,有

利用素數定理和Abel恒等式[16],有

即

當 λ ?=0 時,有

其中

結合定理1.3和素數定理,由x→0時ex=1+O(x),可知

即

于是完成了定理以及推論的證明.