關于I2上的max-drast矩陣的特征空間

陳偉

(閩南師范大學數學與統計學院,福建 漳州 363000)

1 引言

模糊矩陣的特征向量對應于一個復雜的離散事件系統的穩定狀態,由給定的矩陣和模糊狀態向量決定.因此,尋找所有可能的穩定狀態就相當于描述矩陣A的所有特征向量.這個問題已經在一些模糊代數中得到解決,例如max-plus代數,min-plus代數,max-prod代數和max-min代數,詳見參考文獻[1-9].

Imran Rashid等學者在文獻[1]中研究了I=[0,1]上的max-drast代數模糊矩陣的特征空間.他們給出在I上對于一個給定的矩陣它的遞增特征向量非空的充分必要條件,描述了I上的遞增特征空間的結構.

本文主要把文獻[1]的主要結果推廣到I2=[0,1]×[0,1],定義了帶有兩個二元運算的代數 (I2,⊕,?),其中 ⊕=max,?=drast,研究了在I2上的矩陣的特征空間,刻畫了對于階數一定的矩陣的特征空間的組成結構,還得到了對于給定的矩陣的嚴格遞增的特征空間存在的充分必要條件.

本文用I2[n,n](I2[n])來表示定義在I2上的所有給定階數n×n(n×1)的方陣(向量)的集合.⊕,?是通過形式化的方法類似地擴展到矩陣和向量的運算.max-drast代數中一個給定矩陣A∈I2[n,n]的特征問題在于找到一個特征向量X∈I2[n]使得A?X=X,其中

可以把X 簡單記為[x,y],一個矩陣A∈I2[n,n]的特征空間記為:

2 max-drast代數的特征空間

本文接下來定義在I2上的偏序關系≤,max加法運算⊕和drast乘法運算?:對任意 (xi,yi),(xj,yj)∈I2,有:

用F<(A)表示矩陣的嚴格遞增的特征空間.其中

類似地,可以給出I2<[n]的定義.

下面給出在 I2上的 max-drast矩陣的特征空間及特征向量的刻畫,這些結果推廣了文獻 [1]中的命題3.1-命題3.3.

命題 2.1 令A∈I2[n,n],[x,y]∈I2[n].則[x,y]∈F(A)充分必要條件是?i∈N滿足下面兩個條件:

命題 2.2 令A∈I2[n,n],[x,y]∈I2<[n].則[x,y]∈F<(A)充分必要條件是?i∈N滿足下面兩個條件:

證明 因為[x,y]∈I2<[n],所以可知[x,y]是嚴格單調遞增的.又因為

于是

因此由命題2.1可得此結論.

命題 2.3 令A∈I2[n,n],[x,y]∈I2<[n].則[x,y]∈F<(A)充分必要條件是?i∈N滿足下面三個條件:

證明 設 [x,y]∈F<(A).假設 ?j>i使得 (aij,bij)=(1,bij),那么

這與條件(3)矛盾.所以,條件 (5)成立.假設(xn,yn)=(1,1)時,有 (ain,bin)>(xi,yi).那么 (ain,bin)?(xn,yn)=(ain,bin)?(1,1)=(ain,bin)>(xi,yi),這與條件(3)矛盾.因此,條件(6)成立.由條件(5)可知對于每個j∈N,i

下面給出一個方陣有嚴格遞增的特征向量的充要條件.

定理 2.1 令A∈I2[n,n].則F<(A)?=?充分必要條件是滿足下面的條件:

(i)?i,j∈ N,當i

(ii)?i∈ N{1},且(aii,bii)<(1,1)時,(ain,bin)>(0,0);

(iii)?i,k ∈ N,k

(iv)(ann,bnn)=(1,1).

證明 首先,證明必要性.設 F<(A)?=?.則存在 [x,y]∈F<(A).于是對每個 i∈N,條件(3)-條件(7)都成立.

①事實上,條件(i)與條件(5)是等價的.

② 設 i∈N{1}且 (aii,bii)<(1,1).則 (aii,bii)?(xi,yi)<(xi,yi).其次,由條件 (7)可以得到 (ain,bin)?(xn,yn)=(xi,yi).但當 (ain,bin)=(0,0)時,這個結論就不成立,所以(ain,bin)>(0,0).即條件(ii)成立.

③ 設i,k∈N,k

所以(xn,yn)=(1,1).由條件(3)可得

又因為xk

由條件(7)可知:

必成立,但(ann,bnn)<(1,1)時,(ann,bnn)?(xn,yn)=(xn,yn)不成立.所以

即條件(iv)成立。

接下來證明命題的充分性.設矩陣滿足條件(i)-條件(iv).通過循環使用以下規則1-規則3,可得到遞增的向量[x,y]∈I2[n].

規則1:若i

規則2:若i

(a)xi?1

(b)(ain,bin)≤(xi,yi)<(1,1);

(c)?k∈N,k>i,(akk,bkk)<(1,1)有 (xi,yi)<(akn,bkn)(不適用于對任意的 k>i時都有(akk,bkk)=(1,1)).

規則3:對i=n,選擇的(xn,yn)∈I2要滿足:

(a)xn?1

(b)若(a11,b11)<(1,1),(0,0)<(a1n,b1n),則(xn,yn)=(1,1);

(c)若 ?k∈N,k>1使得 (akk,bkk)<(1,1),則 (xn,yn)=(1,1).

根據上述的規則,可以得到滿足條件的[x,y]∈I2[n].

由條件 (i)得到的準確的 [x,y]∈I2[n],可以驗證條件 (7)是正確的.因此,可以證明條件(i)-條件(iv)也是充分的.

下面給出一個給定的max-drast矩陣特征空間的結構.從而推廣了文獻[1]中的定理3.5.

定理 2.2 設 A∈I2[n,n]滿足定理 2.1中的條件 (i)-條件 (iv).令 [x,y]∈I2<[n].則[x,y]∈F<(A)充分必要條件是滿足以下條件:

(v)?i∈ N,且(aii,bii)<(1,1)時,(xi,yi)=(ain,bin);

(vi)若(xn,yn)=(1,1),則?i∈N{n},且(aii,bii)=(1,1)時,(xi,yi)≥ (ain,bin);

(vii)若(a11,b11)<(1,1),(0,0)<(a1n,b1n),則(xn,yn)=(1,1);

(viii)若?i∈ N{1}使得 (aii,bii)<(1,1),則(xn,yn)=(1,1).

證明 由命題2.3和定理2.1的證明中容易得到.