Menger PGM-空間中弱相容映射對的公共不動點定理

張倩雯,谷峰

(杭州師范大學數學系,浙江 杭州 310036)

1 引言

1960年,文獻 [1-2]使用 t-范數,引進了 Menger概率度量空間的概念(簡稱為Menger PM-空間),并討論了該空間的一些基本性質.1994年,文獻[3]對Menger PM-空間的一些重要成果進行了總結.2006年,文獻[4]提出了G-度量空間的概念,它是度量空間的一個推廣.2014年,文獻 [5]在 G-度量空間和 Menger PM-空間的基礎上,引入了 Menger概率 G-度量空間(簡稱為Menger PGM-空間)的概念.之后,文獻[6-7]在 Menger PGM-空間中引入了?-壓縮條件和映射對弱相容的概念,證明了幾個公共不動點定理.

2016年,文獻[8]在G-度量空間中證明了幾個弱相容映射對的公共不動點定理.本文受其啟發,在Menger PGM-空間中證明了弱相容映射對的幾個新的公共不動點定理,并給出了一個用以說明新結果有效性的實際例子.本文的結果完全不同于已有文獻中的結果.

在介紹主要結果之前,先給出Menger PGM-空間的一些相關概念.

設R表示一切實數的集合,R+表示一切非負實數的集合,Z+表示所有正整數的集合,N表示所有自然數的集合.

定義 1.1[3]稱映射F:R→ R+為分布函數,如果它是單調不減的、左連續的,且滿足 inft∈RF(t)=0,supt∈RF(t)=1.

用D表示一切分布函數的集合,D+={F∈D:F(t)=0,?t≤0},H(t)表示一特殊的分布函數,其定義如下:

定義 1.2[1]若映射?:[0,1]×[0,1]→[0,1],且?a,b,c,d∈[0,1],有下列條件被滿足:

(?-1)?(a,1)=a;

(?-2)?(a,b)=?(b,a);

(?-3)a≥b,c≥d??(a,c)≥?(b,d);

(?-4)?(a,?(b,c))= ?(?(a,b),c).

則稱?為三角范數(簡稱為t-范數).

三個典型的連續t-范數是:

?1(a,b)=min{a+b?1,0},?2(a,b)=ab,?m(a,b)=min{a,b},其中 a,b∈[0,1].

定義 1.3[3]Menger PM-空間是一個三元組(X,F,?),其中X 是一個非空集合,?是一個連續的t-范數,F:X×X→D是滿足下面條件的映射:

(PM-1)Fx,y(t)=H(t)當且僅當x=y,t=0;

(PM-2)Fx,y=Fy,x對任意的x,y∈X;

(PM-3)Fx,y(t+s)≥?(Fx,z(t),Fz,y(s))對任意的x,y,z∈X,s,t≥0都成立.

其中Fx,y表示F在點(x,y)處的值.

定義 1.4[4]設X是一個非空集合,G:X×X×X→R+為一函數,且滿足以下條件:

(1)G(x,y,z)=0?x=y=z;

(2)G(x,x,y)>0,?x,y∈ X 且 x ?=y;

(3)G(x,x,y)≤ G(x,y,z),?x,y,z∈ X 且 z?=y;

(4)G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,z,x)= ···,?x,y,z ∈ X;

(5)G(x,y,z)≤ G(x,a,a)+G(a,y,z),?x,y,z,a∈ X.

則稱函數G是X 上的一個廣義度量,簡稱為X上的一個G-度量,并稱(X,G)是一個廣義度量空間,簡稱為G-度量空間.

定義1.5[5]Menger概率G-度量空間(簡稱Menger PGM-空間)是一個三元組(X,G?,?),其中X是非空集合,?是連續的t-范數,G?:X×X×X→D是滿足下列條件的映射:

(PGM-2) ?x,y,z ∈ X,z ?=y,t>0,

(PGM-4) ?x,y,z,a ∈ X,s,t≥ 0,

例 1.1[5]設 X=R,G(x,y,z)=|x?y|+|y?z|+|x?z|,?x,y,z∈X.則(X,G)是一個G-度量空間.令

則 (X,G?,?m)是一個 Menger PGM-空間.

定義 1.6[5]設 (X,G?,?)是一個 Menger PGM-空間,x0∈X.?ε>0,0< δ<1,定義 x0的 (ε,δ)-鄰域如下:

這意味著Nx0(ε,δ)是X 中滿足x0到 y的距離小于ε的概率大于1?δ的所有 y的集合.

定義 1.7[5]設(X,G?,?)是一個Menger PGM-空間,{xn}是X 中的序列,x∈X.

(1) 若對任意的 ε>0,0< δ<1,存在正整數 Mε,δ,使得當 n>Mε,δ時,xn∈ Nx(ε,δ),則稱{xn}收斂于點x,記為=x或者xn→x(n→∞).

(2)若對任意的 ε>0,0<δ<1,存在正整數 Mε,δ,使得當 n,m,l>Mε,δ時,

則稱{xn}是X中的一個柯西列.

(3)若X 中所有的柯西點列都收斂于X 中的某點,則稱(X,G?,?)是完備的.

引理 1.1[6]設(X,G?,?)是一個Menger PGM-空間,{xn}是X 中的序列.則以下敘述等價:

(1){xn}收斂于x∈X;

引理 1.2[6]設 (X,G?,?)是一個具有連續t-范數?的Menger PGM-空間,{xn},{yn}和{zn}是X 中的三個序列,x,y,x∈X.如果xn→x,yn→y,zn→z(n→∞),則有

特別的，如果t0是函數Gx,y,z(·)的連續點，則

定義 1.8[9]? 稱為是一個 H-型 t-范數,若函數族在 t=1處是等度連續的,即對任意 ε∈(0,1),存在 δ∈(0,1),使得 t>1?δ? ?n(t)>1?ε,n∈Z+.其中 ?1(t)= ?(t,t),?m(t)= ?(t,?m?1(t)),m=2,3,···,t∈ [0,1].

引理 1.3[10]設 (X,G?,?)是一個 Menger PGM-空間.對任意 λ∈(0,1],定義函數如下:

則以下結論成立:

定義 1.9[13]設?:R+→R+,滿足下述條件:

(1)?是非減的;

(2)?是右上半連續的;

記Φ為所有滿足上述條件(1)-條件(3)的函數?的集合.

定義 1.10[12]設F1,F2∈D,F1和F2的代數和F1⊕F2定義為:

其中t∈R.

定義 1.11[6]設S和T是Menger PGM-空間(X,G?,?)中的自映射.S和T稱為是弱相容的,如果S和T在重合點處是可交換的,即{u∈X:Tu=Su}?{u∈X:TSu=STu}.

引理 1.4[6]設(X,G?,?)是一個Menger PGM-空間,x,y,z∈X.如果存在?∈Φ,使得

則x=y=z.

引理 1.5[13]設 (X,G?,?m)是一個 Menger PGM-空間,x,y,z∈X.如果存在 ?∈Φ,使得

則x=y.

引理 1.6[10]設(X,G?,?)是一個Menger PGM空間,?是連續的t-范數,則下面兩個敘述等價:

(1)序列{xn}是柯西列;

(2)對任意ε>0,0<λ<1,存在M ∈Z+使得(ε)>1 ? λ,n,m>M.

2 主要結果

引理 2.1 設 (X,G?,?)是一個 Menger PGM-空間,{G?λ}λ∈(0,1]是由 (1)式所定義的 X上的函數族.如果?是H-型t-范數,則對任意λ∈(0,1],存在μ∈(0,λ],使對任意m∈Z+,x0,x1,···,xm∈ X,有

證明 由 ? 是 H-型 t-范數,故對任意 m∈Z+,x0,x1,···,xm∈X,存在 μ∈(0,λ],使得

使用(3)式-(4)式和(PGM-4)可得

引理 2.2 設 (X,G?,?)是一個 Menger PGM-空間,其中 ? 是連續的 H-型 t-范數,{yn}?X.若存在函數?∈Φ,使得

則{yn}是X中的柯西列.

證明 設 {G?λ}λ∈(0,1]是引理 1.3中所定義的函數族,對任意 λ∈(0,1],n∈Z+,令

下面證明:

由于?是右上半連續的,所以對?ε>0和每個an,存在pn>an,使得?(pn)

于是,由引理1.3(1)可得

再由ε的任意性,可知

(7)式得證.

重復使用(7)式,對任意n∈Z+,有

由 ? 是H-型t-范數和引理 2.1可知,對任意λ∈(0,1],存在μ∈(0,λ],使得

所以,由上式知,對任意m,n∈Z+,m>n≥n0,有(ε)>1? λ. 再由引理 1.6可知{yn}是X中的柯西列.

定理 2.1 設(X,G?,?m)是一個Menger PGM-空間,其中?是連續的H-型t-范數,假設映射f,g,h,R,S,T:X→X滿足下列條件:

?x,y,z∈X,t>0,其中?∈Φ.如果下列條件被滿足:

(i)f(X)?T(X),g(X)?R(X),h(X)?S(X);

(ii)S(X),T(X)和R(X)是X的完備子空間.

則映射對(f,S),(g,T)和(h,R)在X 中有公共重合點.進一步,若映射對(f,S),(g,T)和(h,R)是弱相容的,則f,g,h,R,S和T在X中有唯一公共不動點.

證明 任取x0∈X,由條件(i)知,存在x1,x2,x3∈X,使得

反復使用(i),可得X 中的序列{xn}和{yn},使得

若 y3n=y3n+1,則有 gx=Tx,其中 x=x3n+1.若 y3n+1=y3n+2,則有 hx=Rx,其中 x=x3n+2.若 y3n+2=y3n+3,則有 fx=Sx,其中 x=x3n+3.因此,不失一般性,可令 yn?=yn+1,?n ∈ N.

接下來證明{yn}是X 中的柯西列.事實上,由(11)式可得

同理可證

組合(12)式 -(13)式和(4)式,可得

再由引理2.2可得{yn}是X中的柯西列.

下面證 (f,S)有重合點.不妨設 S(X)是 X的完備子空間.因為 {yn}是 X中的柯西列,則存在 p∈X,使得 yn→ p,進而 y3n→ p,y3n+1→ p,y3n+2→ p(n→ ∞).由 y3n+2=Sx3n+3→p,所以存在t∈X,使得p=St.由 (11)式得

令n→∞,則可得

則由引理1.4可知St=ft=p.

下證(f,S)有不動點.因為St=ft=p且(f,S)是弱相容的,所以有fp=Sp.由(11)式可得

下證 (g,T)有重合像.因為 f(X)?T(X)和 p=fp?f(X),所以存在 v∈X,使得 p=fp=Tv.由(11)式可得

下證(g,T)有不動點.因為gv=Tv=p且(g,T)是弱相容的,所以有gp=Tp.由(11)式可得

令n→∞,則可得到

則由引理1.5可知p=gp,因此gp=Tp=p,即p是(g,T)的不動點.

同理可得:hp=Rp=p.因此有fp=Sp=Tp=gp=hp=Rp=p.即f,g,h,S,T和R有公共不動點p.

下證唯一性.假設q是f,g,h,S,T和R的另一個公共不動點.由(11)式可得

則由引理1.5可知p=q,因此p是f,g,h,S,T和R的唯一的公共不動點.

若T(X)或R(X)是X 完備子空間,證明過程相似.

例 2.1 設 X=[0,1],定義函數 G?:X3×[0,1]→[0,1]為

其中 G(x,y,z)=|x?y|+|y?z|+|x?z|,x,y,z∈X,t>0.容易證得 (X,G?,?m)是一個 Menger PGM-空間,令 ?(t)=t,?∈Φ,又定義f,g,h,S,T和R:X →X 如下:

容易得到f,g,h,S,T和R在X中不是G-連續的,f(X)?T(X),g(X)?R(X),h(X)?S(X),

S(X),T(X)和R(X)都是X的完備子空間.

下面證明映射f,g,h,S,T和R滿足定理2.1中的(11)式,設

因此,定理2.1的所有條件全部滿足,從而由定理2.1知,f,g,h,R,S和T在X中有唯一的公共不動點.事實上,可以驗證:是它們唯一的公共不動點.

在定理2.1中,令S=T=R=I,I是恒等映射,則可得到如下推論.

推論 2.1(X,G?,?m)是一個完備的 Menger PGM-空間,其中 ? 是連續的 H-型 t-范數,假設自映射f,g,h:X→X滿足下列條件:

其中x,y,z∈X,t>0,且?∈Φ.則f,g和h在X 中有唯一的公共不動點.

在定理2.1中,令 ?(t)=kt,0

推論 2.2(X,G?,?m)是一個Menger PGM-空間,其中 ?是連續的H-型t-范數,假設自映射f,g,h,R,S,T:X→X滿足下列條件:

(i)f(X)?T(X),g(X)?R(X),h(X)?S(X);

(ii)S(X),T(X)和R(X)有一個是X的完備子空間.

則映射對(f,S),(g,T)和(h,R)在X中有存在公共的重合.更進一步的,若映射對(f,S),(g,T)和(h,R)是弱相容的,則f,g,h,R,S和T在X中有唯一的公共不動點.

在推論2.2中,令S=T=R=I,I是恒等映射,則可得到如下推論.

推論 2.3(X,G?,?m)是一個完備的 Menger PGM-空間,其中 ? 是連續的 H-型 t-范數,假設自映射f,g,h:X→X滿足下列條件:

注 2.2 本文定理2.1與文獻[6]的定理3.1相比,主要創新在于:文獻[6]的定理3.1要求三對映射中至少有兩對滿足公共(E.A)性質,而本文定理2.1的條件中并不需要映射對滿足公共(E.A)性質.另外,本文定理2.1的壓縮條件也不同于文獻[6]的定理3.1.

下面給出一個不能使用文獻[6]的定理3.1,但可以使用本文定理2.1的例子,用以說明本文定理2.1的重要性.

例 2.2設X=[0,1],定義函數

為

其中

容易證得 (X,G?,?m)是一個 Menger PGM-空間,令 ?(t)=,?∈ Φ,又定義 f,g,h,S,T和R:X→X如下:

容易得到映射對(f,S)和(g,T),(g,T)和(h,R),(f,S)和(h,R)都不滿足公共(E.A)性質,因此不滿足文獻[6]中定理3.1的條件.

顯然,映射f,g,h,S,T和R在X中不是G-連續的,

且S(X),T(X)和R(X)都是X的完備子空間.因此滿足定理2.1中的(i)(ii).

下面證明映射f,g,h,S,T和R滿足定理2.1中的(11)式,設

因此,滿足定理2.1的(i)(ii)和條件(11),從而由定理2.1知,映射對(f,S),(g,T)和(h,R)在X中有公共重合點.事實上,易知1就是它們的公共重合點.