基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)原理的膨化機(jī)螺桿摩擦阻力分析及參數(shù)優(yōu)化

毛 君 魯 楠 謝 苗 盧進(jìn)南 賈 凱

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

擠壓膨化機(jī)因其獨(dú)特的加工方式和輸出結(jié)果，目前越來越受到飼料加工業(yè)和食品制造業(yè)的重視。通過擠壓膨化技術(shù)處理的原料利用率通常能夠達(dá)到80%甚至更多，因此大大地提高了產(chǎn)品的生產(chǎn)率和質(zhì)量[1-2]。擠壓加工技術(shù)最早出現(xiàn)在19世紀(jì)70年代的英國，并逐漸被應(yīng)用到橡膠工業(yè)中[3]，直到1936年第一臺單螺桿擠壓膨化機(jī)首次被意大利人應(yīng)用于方便谷物食品生產(chǎn)中[4]。現(xiàn)如今擠壓膨化加工技術(shù)己經(jīng)非常普遍地應(yīng)用于膨化玉米、大豆等谷物食品和飼料產(chǎn)品。但是如何不斷提高膨化機(jī)的生產(chǎn)效率、降低能耗一直是國內(nèi)外學(xué)者探討的重點(diǎn)課題，現(xiàn)已成為膨化機(jī)研究的熱點(diǎn)和關(guān)鍵問題。

近年來相關(guān)學(xué)者對如何優(yōu)化擠壓膨化機(jī)的設(shè)計(jì)進(jìn)而提高設(shè)備的生產(chǎn)效率降低能耗進(jìn)行了大量研究，但目前對擠壓膨化機(jī)的優(yōu)化研究仍略有局限性。張魁學(xué)等[5]通過正交多項(xiàng)式回歸設(shè)計(jì)法研究分析了螺桿轉(zhuǎn)速、物料溫度以及工作壓力等因素對機(jī)器生產(chǎn)率、耗電量、膨化率等的影響。鄒鳳等[6]利用動量定理推導(dǎo)出模孔徑長比、物料與模孔壁間摩擦因數(shù)和模孔兩端壓強(qiáng)差三者間理論關(guān)系式。李少華等[7]以油菜籽為原料采用響應(yīng)面分析法研究模孔直徑、膨化溫度、喂料速度和物料含水率對膨化預(yù)榨餅殘油質(zhì)量分?jǐn)?shù)的影響規(guī)律，并對參數(shù)進(jìn)行工藝優(yōu)化。楊凱等[8]建立了同向嚙合雙螺桿擠壓膨化機(jī)共軛型螺桿的力學(xué)模型及有限元模型，并運(yùn)用有限元分析方法對不同螺距和內(nèi)外徑比(SAR)的螺桿進(jìn)行了應(yīng)力分析。這些研究多是通過試驗(yàn)分析方法從擠壓膨化設(shè)備的模孔幾何參數(shù)、物料含水率、螺桿轉(zhuǎn)速、膨化溫度、喂料速度等工藝參數(shù)對膨化機(jī)進(jìn)行完善優(yōu)化，進(jìn)而提高擠壓膨化機(jī)的生產(chǎn)效率降低能耗，而沒有通過建立螺桿的摩擦力學(xué)模型然后運(yùn)用數(shù)值分析法直觀地分析螺桿多項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對摩擦阻力的影響。鑒于目前對螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與螺桿摩擦磨損之間關(guān)系的研究缺陷，本研究將結(jié)合遼寧祥和農(nóng)牧實(shí)業(yè)有限公司生產(chǎn)的9P-150B型秸稈膨化機(jī)，創(chuàng)新性地運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)原理建立螺桿旋轉(zhuǎn)擠壓物料的摩擦阻力模型，進(jìn)而對單螺桿秸稈膨化機(jī)的關(guān)鍵部件螺桿進(jìn)行系統(tǒng)的摩擦受力分析，以降低有害摩擦進(jìn)而提高螺桿的應(yīng)力強(qiáng)度與膨化機(jī)的實(shí)用性能。

1 螺桿的構(gòu)形要求及結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.1 螺桿的構(gòu)形要求

針對擠壓物料任務(wù)的螺桿主要功能：① 具備合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)以減小物料在擠壓過程中與螺桿產(chǎn)生的磨損；② 具備良好的結(jié)構(gòu)形態(tài)使物料在螺桿槽內(nèi)能夠得到充分的加工；③ 具備足夠的剛度和強(qiáng)度以滿足擠壓物料過程中沖擊振動等工況要求。本文主要針對物料與螺桿間產(chǎn)生的有害摩擦進(jìn)行研究[9]。

1.2 螺桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)

對螺桿的摩擦阻力進(jìn)行研究需要對其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行定義，以便建立其摩擦阻力的數(shù)學(xué)模型，螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)見圖1。

圖1 螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖Figure 1 Schematic diagram of screw structure parameters

2 螺桿摩擦阻力分析及其力學(xué)模型的建立

秸稈在膨化機(jī)內(nèi)的輸送及擠壓是一個相當(dāng)復(fù)雜的過程，若運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)原理進(jìn)行理論分析，需要做出以下幾點(diǎn)基本假設(shè)：

(1) 假定螺槽中運(yùn)動的物料為可壓縮的連續(xù)運(yùn)動體，密度僅沿螺槽方向有變化。

(2) 螺桿中的物料與螺槽底面、兩個側(cè)面和機(jī)筒內(nèi)表面同時緊密地接觸，物料和螺槽各表面之間的摩擦力只取決于法向應(yīng)力而與物料的位置和運(yùn)動無關(guān)。

(3) 假設(shè)料筒在圓周方向上作勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，機(jī)筒相對于物料微元的運(yùn)動方向角為φ，且忽略該夾角沿著物料運(yùn)動方向的變化。

(4) 軸向應(yīng)力(壓力)和法向應(yīng)力只沿物料運(yùn)動方向變化。

基于上述的基本假設(shè)和分析，螺桿在旋轉(zhuǎn)過程中受到物料產(chǎn)生的復(fù)雜摩擦力便可簡化分成簡單的兩部分：① 物料在螺旋槽底面上產(chǎn)生的摩擦阻力；② 螺旋槽前后側(cè)面與物料間產(chǎn)生的摩擦阻力[10]。

圖2 物料在螺桿槽內(nèi)的受力Figure 2 The force of material in the groove

2.1 物料在螺旋槽底面上產(chǎn)生的摩擦阻力

螺旋槽底面上物料微元產(chǎn)生的摩擦阻力：

dF1=fsdN1，

(1)

式中：

fs——物料與螺桿間的摩擦系數(shù)；

dF1——螺旋槽底面對物料微元的摩擦力，N；

dN1——螺旋槽底面對物料微元的支持力，N。

2.1.1 外機(jī)筒內(nèi)表面對物料微元的壓力 物料微元受到外機(jī)筒內(nèi)表面的壓力：

dN4=pBcosθdL，

(2)

式中：

p——外機(jī)筒作用于物料上的壓力，Pa；

B——螺槽軸向?qū)挾龋琺；

θ——螺桿螺旋升角，(°)。

查閱文獻(xiàn)[12]可得，外機(jī)筒作用于物料上的壓力與物料在加料斗處的初壓力有關(guān)：

p=p0eτL，

(3)

式中：

L——計(jì)算段的螺槽長度，m；

p0——物料在加料斗處的初壓力，Pa；

τ——比例系數(shù)。

由文獻(xiàn)[12]得：

(4)

(5)

式中：

D——螺桿螺旋外徑，m；

H——螺旋徑向高度，m；

fb——物料與機(jī)筒間的摩擦系數(shù)；

φ——物料微元相對于機(jī)筒運(yùn)動的方向角，(°)。

2.1.2 物料微元旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時受到的離心力 物料在高速旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的離心力：

(6)

式中：

ρ(z)——物料密度，kg/m3；

ω——物料在螺桿螺旋槽內(nèi)的轉(zhuǎn)速，r/min。

式(7)中螺旋微元長度dL與軸向微元距離dz的關(guān)系：

(7)

2.1.3 螺旋槽底面對物料微元的支持力 由圓周運(yùn)動受力平衡得：

dp+dN1=dN4。

(8)

所以

dN1=dN4-dp。

由式(1)～(8)得到：

(9)

2.2 物料在螺旋槽側(cè)面上產(chǎn)生的摩擦阻力

物料微元在螺旋槽側(cè)面上產(chǎn)生的摩擦阻力可分為前后兩部分，分別為dF2與dF3。

dF2=fsdN2，

(10)

dF3=fsdN3，

(11)

dN3=dN2+dN0。

(12)

其中dN0為螺旋推力，螺旋前側(cè)面法向作用力：

dN2=pHdL。

(13)

2.2.1 螺旋槽前側(cè)面對物料微元的摩擦力 由式(3)、(7)、(10)、(13)得：

(14)

2.2.2 螺旋推力的計(jì)算 求F3需要知道dN0。將物料微元受到的所有力分解成沿軸向方向與沿螺紋螺旋方向，由于物料微元在螺旋槽中的運(yùn)動是穩(wěn)定的，因此沿軸向方向的所有分力的總和等于零，即

(15)

將式(12)帶入式(15)得

dN0=dF4sin(φ+θ)。

(16)

又物料微元外表面上機(jī)筒產(chǎn)生的摩擦力：

dF4=fbdN4。

(17)

將式(17)帶入式(16)得

dN0=fbdN4sin(φ+θ)。

(18)

2.2.3 螺旋槽后側(cè)面對物料微元的摩擦力 由式(3)、(4)、(8)、(11)、(12)、(13)、(18)得:

(19)

由前述分析可知螺桿擠壓物料受到的摩擦阻力為式(9)、(14)、(19)之和，即

(20)

3 螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)與摩擦阻力關(guān)系影響分析

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知,決定膨化機(jī)螺桿結(jié)構(gòu)的參數(shù)主要有螺旋外徑D、軸向槽寬B、徑向齒高H以及螺旋升角θ。由式(20)可以很容易看出，螺桿受到的摩擦阻力隨著螺桿螺旋外徑D的增加而減少。螺旋外徑增大說明螺桿在高速旋轉(zhuǎn)下物料受到的離心力變大，導(dǎo)致螺桿底面對物料的擠壓力變小，二者之間的摩擦力變小。而螺桿的其他參數(shù)(軸向槽寬B、徑向齒高H、螺旋升角θ)對螺桿所受摩擦阻力的影響不能夠輕易看出。因此采用Matlab分析其他參數(shù)對螺桿所受摩擦力造成的影響。

3.1 螺槽軸向?qū)挾扰c摩擦阻力的關(guān)系

通過試驗(yàn)可以獲得螺桿和機(jī)筒與物料間的摩擦系數(shù)fs=fb=0.3。則由式(20)可以得出，螺桿受到物料的摩擦阻力與螺桿軸向槽寬的數(shù)學(xué)關(guān)系如式(21)。

Ff=f(B)=F1(B)+F2(B)+F3(B)。

(21)

如圖3所示，當(dāng)螺槽軸向?qū)挾仍龃髸r，螺桿受到的摩擦阻力呈增大趨勢。螺槽軸向?qū)挾仍黾诱f明螺旋槽容納的物料更多，物料與螺桿的接觸面積變大，摩擦阻力自然變大。但從圖3中可看出，螺槽軸向?qū)挾葘β輻U受到的摩擦阻力的影響較小。

圖3 螺桿摩擦阻力隨螺旋升角和徑向齒高變化關(guān)系

圖3 Relationship between screw friction resistance and screw rise angle and radial tooth height

3.2 螺桿徑向齒高與摩擦阻力的關(guān)系

由式(20)可以得出，螺桿受到物料的摩擦阻力與螺桿徑向齒高的數(shù)學(xué)關(guān)系見式(22)。

Ff=f(H)=F1(H)+F2(H)+F3(H)。

(22)

由圖4可知，螺桿所受摩擦力的絕對值隨徑向齒高的增加而增加。螺桿徑向齒高增加，說明螺槽內(nèi)的物料與螺槽側(cè)壁的接觸面積增大，因此螺桿所受摩擦力增大。相比于螺槽軸向?qū)挾龋輻U徑向齒對螺桿受到摩擦力的影響相對較明顯。

圖4 螺桿摩擦阻力隨螺旋升角和螺旋外徑變化關(guān)系

圖4 Relationship between screw friction resistance and screw rise angle and screw outer diameter

3.3 螺桿螺旋升角與摩擦阻力的關(guān)系

由式(20)可以得出，螺桿受到物料的摩擦阻力與螺桿螺旋升角的數(shù)學(xué)關(guān)系見式(23)。

Ff=f(θ)=F1(θ)+F2(θ)+F3(θ)。

(23)

螺桿螺旋升角的大小影響機(jī)構(gòu)工作時螺桿對物料的加工情況，螺旋升角過小時對物料的擠壓比較充分，但需要消耗很大功率才將物料排出；螺旋升角過大時物料填充率不高，且物料受到的擠壓不夠充分。由圖5可知，螺桿所受摩擦力隨螺旋升角的減小而增大，且升角越小變化率越大，因?yàn)槁菪菧p小導(dǎo)致螺旋槽對物料的軸向分力變大，而徑向分力減小，進(jìn)而由軸向擠壓力而產(chǎn)生的摩擦力隨之變大。相比于軸向槽寬與徑向齒高，螺旋升角的變化是對螺桿受到的摩擦力影響最為明顯的一個因素。

圖5 螺桿摩擦阻力隨徑向齒高和螺旋外徑變化關(guān)系

圖5 Relationship between screw friction resistance and radial tooth height and screw outer diameter

4 膨化機(jī)螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

4.1 目標(biāo)函數(shù)

通過前文的分析可知，螺桿受到物料產(chǎn)生的摩擦力與螺桿的多項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)均有不同程度的關(guān)系，因此運(yùn)用Matlab的optimization工具箱將螺桿的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)均考慮在內(nèi)，以式(20)中各個結(jié)構(gòu)參數(shù)乘以相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)所得的式(24)為目標(biāo)函數(shù)，對螺桿進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化使物料對螺桿產(chǎn)生的摩擦阻力有所降低。

Ff(X)=F(η1D，η2θ，η3B，η4H)，

(24)

式中：

η1——螺桿螺旋外徑權(quán)重系數(shù)；

η2——螺桿螺旋升角權(quán)重系數(shù)；

η3——螺桿軸向槽寬權(quán)重系數(shù)；

η4——螺桿徑向齒高權(quán)重系數(shù)。

4.2 約束條件

建立螺桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量見式(25)。

X=(x1x2x3x4)T=(DθBH)T，

(25)

式中：

D——螺桿螺旋外徑，m；

θ——螺桿螺旋升角，(°)；

B——螺桿軸向槽寬，m；

H——螺桿徑向齒高，m。

(1) 在實(shí)際生產(chǎn)中，彎曲力和扭矩力同時作用在螺桿上，但扭矩力要大于彎曲力，由材料力學(xué)可得：

(26)

式中：

[τ]——許用剪切應(yīng)力，取340 MPa；

Nmax——電機(jī)最大額定功率，取110 kW；

μ——機(jī)械效率，取0.923；

nmax——螺桿最高轉(zhuǎn)速，取157.1 r/min。

(2) 根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)中對生產(chǎn)效率的要求可給出螺桿螺旋外徑大致范圍：

0.1≤D≤0.2。

(27)

(3) 螺旋升角范圍：

10°≤θ≤30°。

(28)

(4) 由螺旋槽軸向?qū)挾刃∮诼輻U導(dǎo)程可得槽寬范圍：

0.1≤B≤P=πtanθ(D-H)。

(29)

(5) 螺桿徑向齒高小于螺旋外半徑，則齒高范圍：

(30)

4.3 螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)及參數(shù)約束條件的分析，可以將膨化機(jī)螺桿的尺寸參數(shù)優(yōu)化問題確定為非線性約束的多目標(biāo)最優(yōu)化問題，選用Matlab中optimization 工具箱里的 fminimax函數(shù)求解最優(yōu)值，經(jīng)整理后螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

minFf(X)=F(η1D，η2θ，η3B，η4H)，

(31)

X=(x1x2x3x4)T=(DθBH)T。

(32)

線性不等式約束:2x4-x1≤0。

非線性不等式約束：

x3-πtanθ(x1-x4)≤0；

綜合分析螺旋外徑、螺旋升角、軸向槽寬與徑向齒高在優(yōu)化目標(biāo)中的變化趨勢及范圍，在統(tǒng)一數(shù)值量級的條件下運(yùn)用層次分析法[14]在Matlab中經(jīng)多次仿真計(jì)算，選定權(quán)重系數(shù)η1=0.75、η2=0.05、η3=1.00、η4=1.23。

4.4 優(yōu)化計(jì)算及結(jié)果

利用Matlab對優(yōu)化過程計(jì)算，經(jīng)優(yōu)化取整后得到螺桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)D、θ、B、H分別為153 mm，24.29°，141 mm，48 mm。優(yōu)化后螺桿受到物料產(chǎn)生的摩擦力為0.975 2 N，比之前降低了51.38%。表1為優(yōu)化前后結(jié)果對比。

5 螺桿受到物料摩擦力的ANSYS分析驗(yàn)證

根據(jù)優(yōu)化后的參數(shù)對之前的螺桿三維有限元模型進(jìn)行修改，然后分別將修改前后的有限元模型導(dǎo)入到Ansys Workbench中進(jìn)行靜力學(xué)分析，根據(jù)前述的螺桿受力分析模擬物料在螺桿槽內(nèi)運(yùn)動產(chǎn)生的摩擦力對螺桿造成的影響，對上述優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

表1 優(yōu)化結(jié)果對比Table 1 The comparison results of optimization

圖6為螺桿優(yōu)化前后的等效應(yīng)力云圖。從圖6中可看出，螺桿的表面應(yīng)力由機(jī)頭向固定端逐漸變大，螺紋上的應(yīng)力是沿著螺旋線分布的，螺紋加載面上的應(yīng)力值從螺紋根部向螺紋外緣逐漸增大，螺紋根部的應(yīng)力值最大是由于彎矩及螺桿結(jié)構(gòu)突變引起的應(yīng)力集中。優(yōu)化前后物料與螺桿之間由于摩擦產(chǎn)生的最大應(yīng)力分別為6 368.7，2 039.6 MPa，優(yōu)化后螺桿的應(yīng)力有明顯的下降，說明前述優(yōu)化結(jié)果具有一定的可靠性。

圖7為螺桿優(yōu)化前后的變形云圖。從圖7中可看出，最大位移變形出現(xiàn)在受力端面，且從機(jī)頭向固定端方向變形量逐漸減小。優(yōu)化前后由于摩擦力對螺桿產(chǎn)生的最大變形值分別為21.928 0，8.197 6 mm，可看出優(yōu)化后因摩擦產(chǎn)生的變形量對螺桿的影響有明顯的改善，并不會因變形過大而導(dǎo)致與套筒內(nèi)壁之間發(fā)生劇烈的摩擦和碰撞作用，致使螺桿與套筒的間隙過大不能正常擠出物料而報廢，因此優(yōu)化后的螺桿在機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中的使用性能更加趨于平穩(wěn)。

圖6 螺桿優(yōu)化前后等效應(yīng)力分析云圖Figure 6 The equivalent stress analysis cloud chart before and after optimization of screw

圖7 螺桿優(yōu)化前后總變形分析云圖

圖7 The total deformation analysis cloud chart before and after optimization of screw

綜上，通過對優(yōu)化前后的螺桿模型進(jìn)行有限元仿真，得出該螺桿的模擬仿真結(jié)果基本能說明Matlab的數(shù)值優(yōu)化結(jié)果的正確性，進(jìn)一步表明所建立的螺桿受到物料摩擦阻力的力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

6 結(jié)論

(1) 本研究基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)原理，從螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)角度建立單螺桿膨化機(jī)螺桿旋轉(zhuǎn)擠壓物料的摩擦阻力模型，得到摩擦阻力隨螺桿的螺旋外徑與螺旋升角的增大而減小，隨著螺桿的軸向槽寬與徑向齒高的減小而減小，且螺旋升角的變化對摩擦力的影響最為明顯。

(2) 以螺桿受摩擦阻力為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化螺桿的各項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，結(jié)果表明在滿足膨化機(jī)生產(chǎn)效率的要求下優(yōu)化后的摩擦阻力降低了51.38%。

(3) 對優(yōu)化前后的螺桿進(jìn)行有限元分析驗(yàn)證，結(jié)果表明優(yōu)化后螺桿的應(yīng)力與變形均有所改善，進(jìn)一步表明所建力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

通過優(yōu)化分析計(jì)算出了單螺桿膨化機(jī)在物料加工過程中使螺桿受到物料的摩擦磨損最小時的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，基于該方法可以在保證膨化機(jī)中主要零部件——螺桿的可靠性及壽命的前提下，提高膨化機(jī)的生產(chǎn)效率，改善產(chǎn)品的使用性能，為產(chǎn)品的優(yōu)化、性能評價提供了一種全新的手段。