基于Kalman濾波的GM(1,1)-AR模型在高層建筑物沉降變形分析中的應(yīng)用

陳 晨，魏冠軍，寇瑞雄，高志鈺

(1.蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070)

變形監(jiān)測(cè)分析的意義主要是掌握各種建筑物和地質(zhì)構(gòu)造的穩(wěn)定性，為安全診斷提供必要的信息，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并采取措施。近年來(lái)，隨著建設(shè)水平和施工技術(shù)的提高，越來(lái)越多的建筑物向著高層、超高層發(fā)展。建筑物增高必然引起荷載增加，在上部結(jié)構(gòu)和地基基礎(chǔ)的共同作用下，建筑物將會(huì)發(fā)生不均勻的沉降，影響使用的安全性。因此，定期對(duì)大型建筑物進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，掌握其變形規(guī)律，并對(duì)其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)具有重要的意義。

變形監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)分析與建模方法主要有：回歸分析法、時(shí)間序列分析、灰色系統(tǒng)分析、卡爾曼濾波模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[1]。各種方法都有自身的優(yōu)缺點(diǎn)，隨著變形檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展，單一的模型分析已不能滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)的要求。在當(dāng)今的變形監(jiān)測(cè)中，多數(shù)采用組合模型對(duì)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。黃寧等人將灰時(shí)序組合模型運(yùn)用到建筑物沉降變形分析中，唐爭(zhēng)氣等人將灰時(shí)序組合模型運(yùn)用到基坑監(jiān)測(cè)中，都發(fā)現(xiàn)灰時(shí)序GM-AR組合模型無(wú)論是擬合還是預(yù)測(cè)精度相對(duì)于單一模型有明顯的提高[10-11]。但是，灰時(shí)序GM-AR組合模型雖然在一定程度上對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行改正與優(yōu)化，但非線(xiàn)性GM(1,1)-AR組合模型并不能對(duì)非平穩(wěn)、含噪時(shí)間序列信號(hào)進(jìn)行優(yōu)化處理。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種基于卡爾曼濾波的GM(1,1)-AR模型的新算法，其數(shù)據(jù)分析和建模預(yù)測(cè)的思路是：首先是運(yùn)用卡爾曼濾波算法對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波消噪處理，獲取有效地實(shí)際變形量，然后利用GM(1,1)模型對(duì)濾波值進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，提取其中的趨勢(shì)項(xiàng)，再利用AR時(shí)間序列模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。運(yùn)用此算法到高層建筑物沉降的工程實(shí)例中，將得到的預(yù)測(cè)結(jié)果與單一的GM(1,1)模型和GM(1,1)-AR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相比，其模型綜合精度和模型可靠性均有所提高。

1 基于Kalman濾波的GM(1,1)-AR模型

1.1 GM(1,1)模型

我國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授于上世紀(jì)80年代提出GM(1,1)模型，其意在研究少數(shù)據(jù)、小樣本、貧信息等不確定性問(wèn)題[2-7]。該模型的基本原理：

設(shè)有一組非負(fù)初始數(shù)據(jù)序列x(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，其中，n為序列長(zhǎng)度，k=1,2,…,n。對(duì)該原始序列進(jìn)行第一次累加生成序列(1-AGO)：

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}.

(1)

對(duì)式(1)進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)建立一階線(xiàn)性微分方程，此方程也稱(chēng)為GM(1,1)模型的影子方程或白化方程

(2)

式中：a，b為待定系數(shù)，a稱(chēng)為發(fā)展灰數(shù)，它反映了數(shù)據(jù)序列估計(jì)值(包括預(yù)側(cè)值)的發(fā)展態(tài)勢(shì)，b稱(chēng)為灰作用量，它的大小反映數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，在系統(tǒng)中相當(dāng)于作用量。由文獻(xiàn)[2]對(duì)方程(2)求解，可得到影子方程的時(shí)間響應(yīng)式：

(3)

最后經(jīng)過(guò)累減以后還原數(shù)據(jù)，生成GM(1,1)預(yù)測(cè)模型：

(4)

1.2 AR自回歸模型

設(shè)時(shí)間序列{yk}是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的序列。其自回歸模型為[8-11]

yk=φ1yk-1+φ2yk-2+…+φpyk-p+ak.

(5)

式中：φ1，φ2，…，φp是自回歸模型參數(shù)，ak為白噪聲序列，p為模型階數(shù)，p的取值為正整數(shù)。

令k=p+1，p+2，…，N，則：

(6)

對(duì)p取值，令p=1，則可得AR(1)的模型為

(7)

以此類(lèi)推，可得到AR(2)，AR(3)，…，AR(p)。

其次，企業(yè)經(jīng)營(yíng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)并非是憑借一己之力即可完成的事情，是企業(yè)各部門(mén)、員工之間團(tuán)結(jié)努力，共同實(shí)現(xiàn)績(jī)效目標(biāo)的過(guò)程。激勵(lì)管理是促進(jìn)績(jī)效提升的重要手段，因此需要通過(guò)績(jī)效考核來(lái)提高企業(yè)員工的凝聚力，讓他們可以將個(gè)人發(fā)展與企業(yè)發(fā)展結(jié)合到一起，盡快找到自己在團(tuán)隊(duì)中的所處地位，從而激發(fā)出更多的工作積極性，擴(kuò)大上升空間。

對(duì)于AR模型的參數(shù)估計(jì)，一般采用最小二乘的方法，對(duì)于模型階數(shù)p的確定采用最小信息準(zhǔn)則(AIC)，即

AIC(p)=N·Inσ2+2p.

(8)

式中：p為序列數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)，使上式的值達(dá)到最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的p為最佳階數(shù)，p的數(shù)值一般是不大于5的，σ2為各階數(shù)對(duì)應(yīng)的殘差方差。

1.3 卡爾曼濾波原理

卡爾曼濾波一種利用線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過(guò)系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法[12-15]。它的數(shù)學(xué)模型分為狀態(tài)方程和觀測(cè)方程兩部分，其離散化形式表示為

Xk=Φk/k-1Xk-1+Fk-1Wk-1，

(9)

Lk=HkXk+Vk.

(10)

式中：Xk為tk時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量(n維)；Lk為tk時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的觀測(cè)向量(m維)；Φk/k-1為時(shí)間tk-1～tk的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(n×n)；Wk-1為tk-1時(shí)刻的動(dòng)態(tài)噪聲(r維)；Fk-1為動(dòng)態(tài)噪聲矩陣(n×r)；Hk為tk時(shí)刻的觀測(cè)矩陣(m×n)；Vk為tk時(shí)刻的觀測(cè)噪聲(m維)。

根據(jù)最小二乘原理，可以推得離散隨機(jī)系統(tǒng)的Kalman濾波的遞推公式，預(yù)測(cè)值為

(11)

預(yù)測(cè)值的方差矩陣為

(12)

狀態(tài)估計(jì)值為

(13)

狀態(tài)估計(jì)值的方差矩陣為

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1.

(14)

(15)

初始狀態(tài)條件為

1.4 基于Kalman濾波的GM(1，1)-AR預(yù)測(cè)算法

前面分別敘述了GM(1，1)模型、AR模型和卡爾曼濾波算法的基本原理。基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR算法結(jié)合卡爾曼濾波算法能有效地減弱隨機(jī)噪聲的干擾、GM(1，1)模型對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)的擬合強(qiáng)度大和AR模型善于分析平穩(wěn)、零均值的隨機(jī)信號(hào)等特點(diǎn)。基本過(guò)程是首先利用卡爾曼濾波對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，消除隨機(jī)誤差干擾噪聲的影響。再利用GM(1，1)模型對(duì)濾波后數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)提出趨勢(shì)項(xiàng)，得到殘差序列，最后利用AR模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。該算法的流程如圖1所示。

圖1 基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR算法流程

2 工程實(shí)例分析

2.1 工程簡(jiǎn)介

某高層建筑物在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行了一系列觀測(cè)。由于本論文篇幅有限，選取2號(hào)沉降點(diǎn)前12期沉降監(jiān)測(cè)值為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試。以前6期數(shù)據(jù)作為原始序列，首先運(yùn)用卡爾曼濾波對(duì)其建模數(shù)據(jù)進(jìn)行消噪處理，然后用GM(1，1)-AR模型對(duì)濾波值建模，再對(duì)后6期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以得到原始監(jiān)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的殘差，以殘差的大小來(lái)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)模型的可靠性。

表1 2號(hào)沉降點(diǎn)前12期沉降監(jiān)測(cè)值

2.2 模型預(yù)測(cè)與精度評(píng)定

根據(jù)變形監(jiān)測(cè)的規(guī)范要求，高層建筑物沉降監(jiān)測(cè)按照四等沉降變形測(cè)量的技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，故取觀測(cè)噪聲方差Rk=1，動(dòng)態(tài)噪聲方差Qk=4。把監(jiān)測(cè)點(diǎn)的初始位置和變化速率當(dāng)作狀態(tài)參數(shù)，根據(jù)前2期監(jiān)測(cè)值的平差值可求得初期狀態(tài)向量X0及其相應(yīng)的方差陣P0，其結(jié)果：

運(yùn)用MATLAB設(shè)計(jì)卡爾曼濾波程序，對(duì)前六期數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，得到的結(jié)果如表2所示。

表2 原始數(shù)據(jù)濾波值

通過(guò)表2可以看出，實(shí)測(cè)值與濾波值殘差的絕對(duì)值從第2期開(kāi)始收斂，變化趨勢(shì)越來(lái)越小，漸漸趨近于0，表明原始數(shù)據(jù)變化波動(dòng)變小，其隨機(jī)誤差噪聲得到了有效地減弱。在此基礎(chǔ)上，利用GM(1，1)模型對(duì)濾波值進(jìn)行建模預(yù)測(cè)提出趨勢(shì)項(xiàng)，得到殘差序列，最后利用AR模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模，同時(shí)預(yù)測(cè)后6期觀測(cè)數(shù)據(jù)。預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

三種模型預(yù)測(cè)結(jié)果圖如圖2所示。

圖2 各模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

表3 三種模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較 mm

從圖2可以看出基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相比其它兩種模型，該曲線(xiàn)更加光滑、變化波動(dòng)更小，且隨著時(shí)間的增加，該模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的結(jié)果越來(lái)越接近。

根據(jù)表3的模型預(yù)測(cè)結(jié)果和表4的模型預(yù)測(cè)精度相比較來(lái)看，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR模型的平均絕對(duì)誤差為-0.049 9 mm，殘差方差為0.001 9 mm，這個(gè)結(jié)果相比于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型和GM(1，1)-AR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)精度有明顯的提高。這說(shuō)明卡爾曼濾波的效果良好，可以有效地減弱隨機(jī)誤差噪聲對(duì)于預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。

表4 三種模型預(yù)測(cè)精度比較

3 結(jié) 論

本文介紹卡爾曼濾波、灰色GM(1,1)模型和AR模型的基本原理。在這三種模型的基礎(chǔ)上建立一種基于卡爾曼濾波的GM(1,1)- AR的新模型，并將其應(yīng)用到高層建筑物沉降的工程實(shí)例中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于卡爾曼濾波的GM(1,1)- AR模型相比與其它三種模型的預(yù)測(cè)效果更好。卡爾曼濾波在一定程度上消除隨機(jī)誤差噪聲的干擾，且保留原始數(shù)據(jù)的特征，同時(shí)又結(jié)合灰色GM模型對(duì)于趨勢(shì)項(xiàng)提取的規(guī)律性和AR模型隨機(jī)預(yù)測(cè)性等優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)三種模型的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，在一定程度上彌補(bǔ)單一模型的缺陷。由此可見(jiàn)，這種新模型在測(cè)量環(huán)境較為復(fù)雜的高層建筑物沉降變形分析中有較強(qiáng)的適用性。