內(nèi)蘊(yùn)群范疇中的乘積性質(zhì)

張凱強(qiáng), 湯建鋼

(伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 伊寧 835000)

20世紀(jì)60年代,Ehresmann[1]提出了Internal Category理論,到目前為止已經(jīng)成為范疇理論的重要組成部分[1-7].Lawever[2]在他的論文中為了使范疇中的對(duì)象具有代數(shù)結(jié)構(gòu),引入了范疇中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象概念,進(jìn)一步揭示了事物的內(nèi)在特性.內(nèi)蘊(yùn)范疇理論是研究范疇中邏輯真實(shí)存在的內(nèi)蘊(yùn)結(jié)構(gòu),如代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及混合結(jié)構(gòu).群是具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)對(duì)象,利用范疇語(yǔ)言,可以在具有有限乘積范疇中表達(dá)群的代數(shù)結(jié)構(gòu),也就是內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象.

內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象在不同的范疇中有不同的表示,如在集合范疇中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象就是通常所說(shuō)的群,在群范疇中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象則是2-群[3-4],在拓?fù)淇臻g范疇中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象就是拓?fù)淙?在Hausdorff空間范疇中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象就是Hausdorff群,而在Diff范疇中的群對(duì)象則是李群[5-6].

結(jié)合文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)定理及思路,本文從范疇的角度出發(fā)[9-11],引入了內(nèi)蘊(yùn)群范疇的概念,討論了內(nèi)蘊(yùn)群范疇中的乘積性質(zhì),證明了關(guān)于乘積封閉的范疇的內(nèi)蘊(yùn)群范疇也是乘積封閉的.

本文引用文獻(xiàn)[3,11]中的記號(hào).

1 預(yù)備知識(shí)

本文中用C表示具有有限乘積的范疇,T表示其終對(duì)象,I表示以集合元素為指標(biāo)的指標(biāo)集.

參考文獻(xiàn)[3]引入內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象以及內(nèi)蘊(yùn)群范疇的概念.

定義1.1[3]設(shè)范疇C具有有限乘積,T是范疇C中的終對(duì)象.

1) 四元組G=(C,μ,η,ζ)被稱為C中的一個(gè)群對(duì)象,如果C是范疇C中的一個(gè)對(duì)象,乘積態(tài)射μ、單位態(tài)射η和逆態(tài)射ζ分別是范疇C中的態(tài)射,μ:CΠC→C,η:T→C,ζ:C→C,使得下圖交換:

2) 設(shè)G=(C,μ,η,ζ)和G′=(C′,μ′,η′,ζ′)是范疇C中的2個(gè)群對(duì)象.一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)群同態(tài)φ:G→G′是C中的態(tài)射φ:C→C′,使得下圖交換:

3) 設(shè)G=(C,μ,η,ζ),G′=(C′,μ′,η′,ζ′)和G″=(C″,μ″,η″,ζ″)是范疇C中的群對(duì)象,φ:G→G′和ψ:G′→G″是范疇C中的內(nèi)蘊(yùn)群同態(tài),則φ和ψ的復(fù)合是內(nèi)蘊(yùn)群同態(tài)φ°ψ:G→G″,由范疇C中的態(tài)射φ°ψ:C→C″所定義.

4) 設(shè)G=(C,μ,η,ζ)是范疇C中的一個(gè)群對(duì)象.單位內(nèi)蘊(yùn)群同態(tài)idG:G→G被定義為范疇C中的單位態(tài)射idC:C→C.

定理1.1[7]設(shè)C是一個(gè)具有有限乘積的范疇,則以C中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象為對(duì)象,以內(nèi)蘊(yùn)群同態(tài)為態(tài)射構(gòu)成一個(gè)范疇,記作Grp(C).

在討論內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中的乘積時(shí),為了討論方便,統(tǒng)一地給出在一個(gè)一般范疇C中的乘積定義.

定義1.2[8]設(shè)C是一個(gè)范疇,{Ci}i∈I? Obj(C)是范疇C中的對(duì)象族,則諸Ci的一個(gè)乘積為集合{C,pi|i∈I},其中C∈Obj(C),pi∈Mor(C,Ci),i∈I,使得如果B∈Obj(C),gi∈Mor(B,Ci),i∈I,則存在唯一的r∈Mor(B,C),使得?i∈I,下圖交換,即?i∈I,pi°r=gi.

引理1.1[9]設(shè)范疇C存在任意乘積.{fi:Ai→Bi|i∈I}是C中的一族態(tài)射(I是集合),{pj:ΠAi→Aj|j∈I}與{qj:ΠBi→Bj|j∈I}分別是{Ai}i∈I與{Bi}i∈I的乘積,則存在唯一的態(tài)射Πfi:ΠAi→ΠBi使得下圖交換成立:

引理1.2設(shè)范疇C存在任意乘積,{Ai}i∈I與{Bi}i∈I是范疇C中的對(duì)象族,{pj:ΠAi→Aj|j∈I}與{qj:ΠBi→Bj|j∈I}分別是對(duì)象族{Ai}i∈I與{Bi}i∈I的乘積,那么{(pj,qj):(ΠAi)×(ΠBi)→Aj×Bj|j∈I}是對(duì)象族{Ai×Bi}i∈I的乘積.

則下面圖也交換:

故原命題成立,證畢.

引理1.3設(shè)范疇C存在任意乘積,{Ai}i∈I與{Bi}i∈I是范疇C中的對(duì)象族,{pj:ΠAi→Aj|j∈I},{qj:ΠBi→Bj|j∈I}和{rj:Π(Ai×Bi)→Aj×Bj|j∈I}分別是對(duì)象族{Ai}i∈I、{Bi}i∈I與{Ai×Bi}i∈I的乘積,則存在唯一的同構(gòu)δ:(ΠAi)×(ΠBi)→Π(Ai×Bi)使得下圖交換:

證明只需注意到{rj:Π(Ai×Bi)→Aj×Bj|j∈I}是乘積對(duì)象族{Ai×Bi}i∈I的乘積,利用引理1.2和定理1.2即得結(jié)論.

推論1.1設(shè)范疇C存在任意乘積,{Ai}i∈I與{Bi}i∈I是范疇C中的對(duì)象族,則存在唯一同構(gòu)δ:(ΠAi)×(ΠBi)→Π(Ai×Bi).

由定義1.2和引理1.3可以得到以下結(jié)論.

引理1.4設(shè)范疇C存在任意乘積,{Ai}i∈I、{Bi}i∈I和{Ci}i∈I是范疇C中的對(duì)象族,{fi:Ai×Bi→Ci|i∈I}是范疇C中的一族態(tài)射,則存在唯一的態(tài)射f:(ΠAi)×(ΠBi)→ΠCi使得下圖交換:

定理1.3[11]若T與T′是范疇中的2個(gè)終對(duì)象(初始對(duì)象),則T與T′同構(gòu).

引理1.5設(shè)T是范疇C中的終對(duì)象,ΠT是其終對(duì)象的乘積,則ΠT≌T.

證明由于ΠT是若干T在范疇C中的乘積,故存在態(tài)射t:T→ΠT使得下圖對(duì)于任意的i∈I交換：

又由于T是范疇C中的終對(duì)象,故存在態(tài)射s:ΠT→T使得下圖也交換:

把t和s復(fù)合后,關(guān)于每個(gè)i∈I都有以下的交換圖:

根據(jù)定理1.3唯一性條件,必須有s°t=idT,類似地有t°s=idΠT.因此ΠT≌T.

2 主要結(jié)果

定理2.1若范疇C關(guān)于任意乘積封閉,則內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)關(guān)于任意乘積也封閉.

證明設(shè){Ci}i∈I是內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中的一族對(duì)象,則{Ci}i∈I是范疇C的一族對(duì)象.由于范疇C存在任意乘積,所以{Ci}i∈I在范疇C中存在乘積,不妨設(shè)乘積為{pi:C→Ci|i∈I}.由于諸Ci為內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象,根據(jù)定義1.1,可設(shè)內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象Ci的乘積態(tài)射為μi:Ci×Ci→Ci,單位態(tài)射為ηi:T→Ci,逆態(tài)射為ζi:Ci→Ci,記C=ΠCi,μ=Πμi:Π(Ci×Ci)→ΠCi,η=Πηi:ΠT→ΠCi,ζ=Πζi:ΠCi→ΠCi.根據(jù)引理1.3可知,Π(Ci×Ci)?(ΠCi)×(ΠCi),不妨設(shè)為δ:(ΠCi)×(ΠCi)→Π(Ci×Ci),根據(jù)引理1.4,則下圖是交換的:

即μ=(Πμi)°δ,在同構(gòu)意義下μ=Πμi.

現(xiàn)在證明G=(ΠCi,μ,η,ζ)是范疇C中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象,即G∈Obj(Grp(C)).

由于Gi=(Ci,μi,ηi,ζi)∈Obj(Grp(C)),根據(jù)定義1.1,所以下圖是交換的:

因此,下圖也可換:

根據(jù)引理1.3,對(duì)于?i∈I,Π(Ci×Ci×Ci)≌(ΠCi)×(ΠCi)×(ΠCi),Π(Ci×Ci)≌(ΠCi)×(ΠCi).再由引理1.4,所以可以得到下圖是交換的:

于是得到圖1是可交換的:

圖 1

由于對(duì)于?i∈I,有下圖交換:

所以下圖也交換:

根據(jù)引理1.3以及引理1.5可知,對(duì)于?i∈I,Π(T×Ci)≌(ΠT)×(ΠCi)≌T×(ΠCi),Π(Ci×T)≌(ΠCi)×(ΠT)≌(ΠCi)×T,再由引理1.4,故可以推出下圖是可交換的:

于是能得到圖2是可交換的

圖 2

對(duì)于?i∈I,由定義1.1推廣可以得到下圖是可交換的:

那么能知道下圖也是可交換的:

由引理1.5可知ΠT≌T,則下圖是交換的:

再根據(jù)引理1.3和引理1.4,故能推出下圖是可交換的:

因此,圖3也是可交換的.

圖 3

由于圖1～3分別可交換,對(duì)應(yīng)于定義1.1中的1),對(duì)于?i∈I,即ΠCi∈Obj(Grp(C)),因此G=(ΠCi,μ,η,ζ)是范疇C中的內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象.

以下證明投射所構(gòu)成的態(tài)射族{pi:ΠCi→Ci|i∈I}是內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中的態(tài)射族,首先證明圖4交換：

圖 4

即?i∈I,μi°(pi×pi)=pi°μ.

根據(jù)引理1.1、引理1.3以及引理1.4,可知下圖是可交換的:

ri是Π(Ci×Ci)→Ci×Ci的投射所構(gòu)成的態(tài)射族.因此,圖4是可交換的.

其次,令μ=Πμi:Π(Ci×Ci)→ΠCi,η=Πηi:T→ΠCi,ζ=Πζi:ΠCi→ΠCi,由于?i∈I,ηi:T→Ci為單位態(tài)射,η=Πηi,根據(jù)引理1.1,則下圖是交換的:

圖 5

又由于?i∈I,ζi:Ci→Ci為逆態(tài)射,ζ=Πζi,根據(jù)引理1.1,則圖6是交換的.

圖 6

圖4～6分別可換,對(duì)應(yīng)于定義1.1中的2),故{pi:ΠCi→Ci|i∈I}?Mor(Grp(C)).

任取一族內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象Ci∈Obj(Grp(C)),i∈I,由于內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)是范疇C的子范疇,所以Ci∈Obj(C),i∈I,又由于范疇C對(duì)任意乘積封閉,所以諸Ci在范疇C中存在乘積,不妨設(shè)為{pi:ΠCi→Ci|i∈I}.由于Ci∈Obj(Grp(C)),根據(jù)以上的證明可知,ΠCi∈Obj(Grp(C)),i∈I,pi∈Mor(Grp(C)),i∈I.

以下證明{pi:ΠCi→Ci|i∈I}是諸Ci在內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中的乘積.

由于{pi:ΠCi→Ci|i∈I}是范疇C中的乘積,如果在內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中任取對(duì)象B和態(tài)射族{gi:B→Ci|i∈I},則B是范疇C中的對(duì)象,pi是范疇C中的態(tài)射,因?yàn)榉懂燙存在任意乘積,不妨設(shè)為{gi:B→Ci|i∈I}.根據(jù)定義1.2,故在范疇C中存在唯一的態(tài)射r:B→ΠCi,使得下圖是交換的:

要證明{pi:ΠCi→Ci|i∈I}是內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中的乘積,只需證明r∈Mor(Grp(C))即可.令內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象B的乘積態(tài)射為μ′:B×B→B,單位態(tài)射為η′：T→B,逆態(tài)射為ζ′:B→B.由于內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象Ci,i∈I的乘積態(tài)射為μi:Ci×Ci→Ci,根據(jù)定義1.1,則對(duì)于?i∈I有下圖是可交換的:

又由于圖4是交換的,故能得到下圖也交換:

因此對(duì)于?i∈I有如下式子成立:

pi°r=gi,

(1)

μi°(pi×pi)=pi°μ,

(2)

μi°(gi×gi)=gi°μ′.

(3)

根據(jù)(1)～(3)式可推出

pi°r°μ′=gi°μ′=

μi°(gi×gi)=

μi°((pi°r)×(pi°r))=

μi°((pi×pi)°(r×r))=

pi°μ°(r×r).

由于?i∈I,pi°r°μ′=pi°μ°(r×r),根據(jù)pi的集體單性質(zhì),有r°μ′=μ°(r×r)成立,即有圖7是交換的.

由于η′:T→B是內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象B的單位態(tài)射,ηi:T→Ci是內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象Ci的單位態(tài)射,根據(jù)定義1.1,因此對(duì)于?i∈I有下圖是交換的:

又由于圖5是交換的,所以有下圖是交換的:

因此對(duì)于?i∈I有如下式子成立:

pi°r=gi,

(4)

gi°η′=ηi,

(5)

pi°η=ηi.

(6)

根據(jù)(4)～(6)式可推出

pi°r°η′=gi°η′=ηi=pi°η.

由于?i∈I,pi°r°η′=pi°η,根據(jù)pi的集體單性質(zhì),有r°η′=η式成立,即有圖8是交換的:

圖 8

由于內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象B的逆態(tài)射為ζ′:B→B,內(nèi)蘊(yùn)群對(duì)象Ci的逆態(tài)射為ζi:Ci→Ci,根據(jù)定義1.1,因此有下圖是交換的:

又由于圖6是交換的,所以下圖是交換的:

因此對(duì)于?i∈I有如下式子成立:

pi°r=gi,

(7)

gi°ζ′=ζi°gi,

(8)

ζi°pi=pi°ζ.

(9)

根據(jù)(7)～(9)式可推出

pi°r°ζ′ =gi°ζ′=ζi°gi=

ζi°pi°r=pi°ζ°r.

由于?i∈I,pi°r°ζ′=pi°ζ°r,根據(jù)pi的集體單性質(zhì),有r°ζ′=ζ°r式成立,即有圖9是交換的.

圖 9

圖7～9分別可交換,對(duì)應(yīng)于定義1.1中的2),故r∈Mor(Grp(C)).由定理1.2,態(tài)射r在范疇C的唯一性,可知態(tài)射r在內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中也唯一.因此,內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中存在唯一的態(tài)射r使得下圖交換:

綜上所述,諸Ci∈Obj(Grp(C)),i∈I在范疇C中的乘積{pi:ΠCi→Ci|i∈I}也是內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)中的乘積,即內(nèi)蘊(yùn)群范疇Grp(C)關(guān)于任意乘積是封閉的.證畢.

致謝伊犁師范學(xué)院2016研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(2016YSY011)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.