非線性變階空間-時間分數階對流-擴散方程的全隱式有限差分格式

馬亮亮, 譚千蓉, 劉冬兵

(攀枝花學院 數學與計算機學院, 四川 攀枝花 617000)

近年來,隨著人們對微積分學的認識和研究的不斷深入,分數階微分方程引起了越來越多的關注.隨著分數階微分方程自身理論的迅速發展、完善，以及它在數學、物理、化學、生物、環境、工程建模、金融和應用軟件等學科的廣泛應用,分數階微分方程數值算法的研究也日益廣泛[1-4].作為分數階微分方程的一個重要分類,分數階對流-擴散方程可描述自然環境、工程裝備和生物中的多種物理現象(如氣體擴散、液體滲透、熱傳導和半導體材料中的雜質傳播等).然而，現實的工程問題往往很難找到其解析解,因此只能通過求解其數值解的途徑來獲取該問題的信息.目前,常用的數值求解分數階對流-擴散方程的方法主要有有限差分法、有限元法、有限體積法和譜方法等.在這些方法中,有限差分法以其求解問題時的易操作性、易理解和容易編程,在科學研究和工程計算中得到了廣泛的應用.因此,建立精確、穩定、高效的有限差分格式和求解算法,對于分數階對流-擴散方程問題的解決具有重要意義.關于分數階微分方程(特別是分數階對流-擴散方程)問題的求解,已經有了多種有限差分格式[5-8].

變階算子的概念是近年來發展起來的,它的出現帶來了分數階微分方程研究領域中新的范例[9].目前,在文獻中出現的變階算子的定義主要有Riemann-Liouville變階算子、Caputo變階算子、Marchaud變階算子、Coimbra變階算子和Grünwald變階算子等[10-14].當應用不同類型的變分數階導數算子解決變分數階微分方程時,就會誕生各種各樣的數值方法,且事實表明,對于復雜情形,變分數階微分方程的計算可為描述復雜事物、地理問題等提供更有效的數學架構[15-18].

本文考慮如下類型的非線性空間-時間分數階對流-擴散方程:

(1)

u(x,0)=u0(x), 0≤x≤L,

(2)

u(0,t)=u(L,t)=0, 0≤t≤T,

(3)

xRβ(x,t)是階數為β(x,t)的廣義Riesz分數階導數[20],

xRβ(x,t)u(x,t)=

關于變階分數階微分方程的數值解法,沈淑君[9]給出了變時間分數階擴散方程的一種數值模擬方法;于春肖等[18]通過對變分數階導數算子進行離散化處理得到了一種求解變分數階擴散方程的隱式差分解法;馬維元等[20]提出了一種變階非線性分數階擴散方程的全隱式差分格式;Zhuang等[21]給出了帶非線性源項變分數階對流- 擴散方程的顯式和半隱式差分格式;Lin等[22]給出了變階非線性分數階擴散方程的顯式差分格式.本文針對一類非線性變階空間-時間分數階對流- 擴散方程,在已有文獻的基礎上提出一種全隱式有限差分格式,并分析其穩定性和收斂性,最后通過數值算例驗證該差分格式的有效性與可行性.

1 數值逼近和全隱式有限差分格式

1.1非線性變階空間-時間分數階對流-擴散方程的數值逼近為了數值求解方程(1)～(3),首先對求解的區域進行網格剖分.考慮區域[0,L]×[0,T],給定等距剖分,選取正整數M、N,并令h=L/M,=T/N.記xi=ih,i=0,1,2,…,M,tn=nτ,n=0,1,2,…,N;0=x0

u(xi,tn+1-jτ)=

u(xi,tn+1-jτ)+O(τp),

(4)

其中p為正整數.為方便研究,取p=1,則(4)式變為

(5)

其中

(6)

其中

可以遞推計算

此外,廣義Riesz分數階導數xRβ(x,t)采用變階的移位Grünwald-Letnikov公式進行離散:

(7)

(8)

其中

1.2全隱式有限差分格式為了得到方程(1)～(3)的全隱式有限差分格式,給出如下約定,令

將(5)～(8)式代入方程(1),考慮如下形式的全隱式有限差分格式:

(9)

與此同時,初值和邊界條件分別等價地記作

(10)

(11)

進一步，(9)式可以改寫成如下的形式:

(12)

2 全隱式有限差分格式的穩定性和收斂性

定理1假設方程(1)～(3)的解u(x,t)是充分光滑的,則當τ充分小時,全隱式有限差分格式(9)～(11)是穩定的.

因此,全隱式有限差分格式(9)～(11)是穩定的.

定理2假設方程(1)～(3)的解u(x,t)是充分光滑的,則當τ充分小時,全隱式有限差分格式(9)～(11)的解依L∞-范數收斂到初邊值問題(1)～(3)的解,且收斂階為O(τ+h).

定理2得證,故全隱式有限差分格式(9)～(11)的解依L∞-范數收斂到初邊值問題(1)～(3)的解,且收斂階為O(τ+h).

3 數值實例

考慮如下的非線性變階空間-時間分數階對流-擴散方程

B(x,t)xRβ(x,t)u(x,t)+f(u,x,t),
0≤x≤1, 0≤t≤1,

其中

β(x,t)=2-sin(xt), 1<β(x,t)<2;

初值條件u(x,0)=10x2(1-x),0≤x≤1;邊值條件為u(0,t)=u(1,t)=0,0≤t≤1.當ρ=1,δ=0時,此方程有精確解u(x,t)=10x2(1-x)(t+1)2.

下面將通過圖1、圖2和表1提供的數據信息來驗證文中的全隱式有限差分方法的可行性與有效性.取定時間步長τ=0.000 1,空間步長h=0.02.圖1是在t=0.01時刻由全隱式有限差分格式(9)～(11)計算得到的數值解與精確解的平面圖,可以看出由全隱式有限差分方法得到的數值解可以很好地與精確解吻合,從而表明了文中所使用方法的可行性和有效性.圖2是利用全隱式有限差分格式(9)～(11)計算得到的數值解與空間軸、時間軸之間的三維立體圖,易得全隱式有限差分方法(9)～(11)所得數值解都可很好地逼近上述方程的精確解,表明文中所提出的全隱式有限差分格式是穩定的,繼而表明了該方法求解非線性變階空間-時間分數階對流-擴散方程問題的精確性與有效性.

圖 1 數值解與精確解比較圖

圖 2 三維立體圖

表 1 全隱式有限差分格式的誤差及收斂率

‖eN(h,τ)‖∞/‖eN(h2,τ2)‖∞‖eN‖∞/(h+τ)-0.218 796 4832.036 368 0660.214 888 9352.095 256 6470.205 119 4402.215 268 4820.185 186 9801.999 007 5500.185 278 9201.992 002 2710.186 022 800

4 結束語

論文主要研究非線性變階空間-時間分數階對流-擴散方程的初邊值問題,通過對變分數階導數算子的離散化處理,提出了求解該類問題的全隱式有限差分方法;而后,利用離散的能量方法證明了該方法的收斂性和穩定性;最后,通過一個數值例子驗證了文中全隱式有限差分方法求解非線性變階空間-時間分數階對流-擴散方程初邊值問題的可行性與實用性.

致謝攀枝花學院校級科研項目(2016ZD010、2014YB38、2013YB05和2012YB21)、攀枝花學院院級科研創新項目(Y2013-04)及攀枝花學院教育教學研究與改革青年項目(JJ1682)對本文予以了資助，謹致謝意.