一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性

薛益民, 劉 潔, 戴振祥, 徐媛媛

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221018)

分?jǐn)?shù)階微分方程具有深刻的物理背景和豐富的理論內(nèi)涵,與整數(shù)階微分方程相比,分?jǐn)?shù)階微分方程能夠更真實(shí)地描述一些復(fù)雜的自然、物理、化學(xué)等現(xiàn)象和動態(tài)過程,因此,研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題,對解決現(xiàn)實(shí)生活中的非線性問題具有重要意義.分?jǐn)?shù)階微分方程作為非線性分析的一個非常重要的分支發(fā)展迅速,受到眾多學(xué)者關(guān)注[1-5],與此同時,分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題也日益得到重視,其在熱力學(xué)、流體力學(xué)、生物科學(xué)、擴(kuò)散過程等科學(xué)領(lǐng)域正在被廣泛應(yīng)用[6-9].

文獻(xiàn)[10]運(yùn)用錐上的不動點(diǎn)定理,得到以下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

文獻(xiàn)[11]借助于錐拉伸與壓縮不動點(diǎn)定理,給出如下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

文獻(xiàn)[12]利用錐上的不動點(diǎn)定理和Leray-Schauder非線性抉擇理論等方法,得到如下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

受文獻(xiàn)[10-12]啟發(fā),本文研究下列非線性分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

(1)

解的存在性,其中Dλ表示λ階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),λ∈{α,β,γ,δ},2<α,β≤3,1<γ,δ≤2,1+γ≤α,1+δ≤β,f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).利用格林函數(shù)的性質(zhì)和Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理,得到了該耦合系統(tǒng)解存在性的充分條件,并在文末舉例說明了定理的適用性.

1 預(yù)備知識

為研究需要,列出必要的定義和引理,詳見文獻(xiàn)[13-17].

定義1[13-14]函數(shù)f:R+→R的α>0階Riemann-Liouville積分為

其中右邊在R+上逐點(diǎn)定義.

定義2[13-14]函數(shù)f:R+→R的α>0階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)為

其中,n=[α]+1,[α]表示實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分,右邊在R+上逐點(diǎn)定義.

引理2[13]若α,β>0,f(t)∈L[0,1],則有:

(i)DβIαf(t)=Iα-βf(t),α>β；

(ii)DαIαf(t)=f(t)；

(i) ‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω2；

(ii) ‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω2，

引理4對于y(t)∈C[0,1],2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α,分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(2)

Gα(t,s)=

(3)

證明由引理2的(iii),方程(2)等價于積分方程

u(t)=-Iαy(t)+c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3=

c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3.

(4)

由u(0)=0,可得c3=0.由引理2的(i)和(iv)可得

由Dγu(0)=Dγu(1)=0有

將c1、c2、c3代入(4)式有

類似可得

Gβ(t,s)=

引理5假設(shè)G(t,s)=(Gα(t,s),(Gβ(t,s)),則G(t,s)滿足:

(i) 對?t,s∈[0,1],有G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])；

(ii) 對?t,s∈[0,1],有G(t,s)≥0,且對?t,s∈(0,1),有G(t,s)>0；

(iv) 對?s∈[0,1],存在μ∈(0,1),使得

其中

μ=min{μα=(1/2)α-1,μβ=(1/2)β-1}.

證明為敘述方便,在G(t,s)的表達(dá)式中,記

0≤s≤t≤1;

由G(t,s)的表達(dá)式,易知(i)和(ii)成立.下面主要證明(iii)和(iv).

由2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α可得α-γ-1≤α-2,從而有

0≤s≤t≤1;

0≤t≤s≤1,

因此Gα(t,s)關(guān)于t是單調(diào)增函數(shù).類似可得,Gβ(t,s)關(guān)于t也是單調(diào)增函數(shù),故(iii)成立.

由(iii)的證明過程有

(1/2)α-1Gα(1,s)=

(1/2)α-1Gα(1,s)=

因此

類似可得

故(iv)成立.

2 主要結(jié)論

借助格林函數(shù)的性質(zhì)和Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理,研究耦合系統(tǒng)(1)解的存在性.令X={u(t):u(t)∈C([0,1],[0,∞))},對?u∈X,定義范數(shù)

‖(u,v)‖=‖u‖+‖v‖,

易知(X×Y,‖(u,v)‖)是一Banach空間.定義錐U?X×Y為

U={(u,v)∈X×Y:u(t),v(t)≥0,

?t∈[0,1]},

定義錐V?X×Y為

其中μα和μβ由引理5的(iv)給出.對?(u,v)∈X×Y,定義算子T:X×Y→X×Y為

T(u,v)(t)=(Tαv(t),Tβu(t))=

(5)

由引理4知T的不動點(diǎn)即為耦合系統(tǒng)(1)的解.

引理6設(shè)f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),則算子T:U→U和T:V→V均是全連續(xù)的.

證明對(u,v)∈U,由f、g、Gα(t,s)和Gβ(t,s)的非負(fù)性,知Tαv(t),Tβu(t)≥0,因此T(U)?U,即T:U→U.接下來證明算子T:U→U一致有界.對?(u,v)∈U,由f、g、Gα(t,s)和Gβ(t,s)的連續(xù)性,知算子T是連續(xù)的.令

Ω={(u,v):(u,v)∈U,‖(u,v)‖≤h,

h>0,t∈[0,1]},

則Ω是U的一個非空有界閉子集.由f、g的連續(xù)性知,對?(u,v)∈Ω,t∈[0,1],存在K1,K2>0,使得

|f(t,v(t))|≤K1, |g(t,u(t))|≤K2.

由Gα(t,s)和Gβ(t,s)的非負(fù)性有

因此

‖T(u,v)‖≤

即T(Ω)一致有界.下面證明算子T:U→U等度連續(xù).對?t,s∈[0,1],由引理5的(i)知Gα(t,s)是連續(xù)的,從而Gα(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù).因此,對固定的s∈[0,1]和?ε>0,存在δ>0,當(dāng)t1,t2∈[0,1]且|t2-t1|<δ時,有

|Gα(t2,s)-Gα(t1,s)|<ε/2K1,

所以

|Tαv(t2)-Tαv(t1)|=

(6)

類似可得

|Tβu(t2)-Tβu(t1)|=

(7)

由(6)和(7)式可得

‖T(u,v)(t2)-T(u,v)(t1)‖<ε.

因此,算子T:U→U是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理知算子T:U→U是全連續(xù)的.下面證明T(V)?V.對?(u,v)∈U,t∈[1/2,1],由引理5的(iv),對?(u,v)∈U,t∈[1/2,1]有

(8)

由引理5的(iii)有

(9)

由(8)和(9)式可得

Tαv(t)≥μα‖Tαv‖, ?t∈[1/2,1].

類似可得

Tβu(t)≥μβ‖Tβu‖, ?t∈[1/2,1].

由U和T定義易知T(u,v)∈U.因此T(u,v)∈V,即T(V)?V.接下來,類似T:U→U的全連續(xù)證明過程,易證T:V→V是全連續(xù)的.

為敘述方便,記:

其中μ由引理5的(iv)給出.

定理1設(shè)f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),如果下列條件成立:

(I1)f0+=g0+=∞；

(I2) 存在常數(shù)a1,a2>0且a1+a2≤1滿足

0≤f∞

則耦合系統(tǒng)(1)至少有一個解.

證明由(I1)可知存在常數(shù)r滿足

f(t,v)≥M1v,

(t,v)∈[0,1]×[0,r],

(10)

和

g(t,u)≥M2u,

(t,u)∈[0,1]×[0,r],

(11)

其中

M1≥Lα, M2≥Lβ.

令

Ωr={(u,v):(u,v)∈X×Y,‖(u,v)‖

設(shè)(u,v)∈V∩?Ωr,對s∈[1/2,1],由V的定義有

類似可得

μβ‖u‖≥μ‖u‖.

(12)

設(shè)t∈[1/2,1],由(10)、(12)式和引理5的(iv),對?(u,v)∈V∩?Ωr,有

‖Tαv(t)‖≥Tαv(t)=

(13)

即

‖Tαv(t)‖≥‖v‖.

由(11)、(13)式和引理5的(iv),對?(u,v)∈V∩?Ωr有

‖Tβu(t)‖≥Tβu(t)=

即

‖Tβu(t)‖≥‖u‖.

因此

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≥

‖v‖+‖u‖=‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≥‖(u,v)‖,

?(u,v)∈V∩?Ωr.

另一方面,由(I2),可選擇充分小的正常數(shù)ε1和ε2滿足

0<ε1

0<ε2

因此,存在常數(shù)b>0滿足

f(t,v)≤(f∞+ε1)v,

(t,v)∈[0,1]×(b,∞),

(14)

和

g(t,u)≤(g∞+ε2)u,

(t,u)∈[0,1]×(b,∞).

(15)

由f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),可知存在非負(fù)常數(shù)Nα、Nβ使得

(16)

由(14)～(16)式可得

f(t,v)≤(f∞+ε1)v+Nα,

(t,v)∈[0,1]×[0,∞),

(17)

和

g(t,u)≤(g∞+ε2)u+Nβ,

(t,u)∈[0,1]×[0,∞).

(18)

令

ΩR={(u,v):(u,v)∈X×Y,‖(u,v)‖

其中

(19)

由引理5的(iii)、(17)和(19)式,對?(u,v)∈V∩?ΩR,t∈[0,1]有

因此

‖Tαv(t)‖≤a1‖(u,v)‖,

?(u,v)∈V∩?ΩR.

由引理5的(iii)、(18)和(19)式,對?(u,v)∈V∩?ΩR,t∈[0,1]有

因此

‖Tβu(t)‖≤a2‖(u,v)‖,

?(u,v)∈V∩?ΩR.

所以

‖T(u,v)‖=‖Tαv‖+‖Tβu‖≤

a1‖(u,v)‖+a2‖(u,v)‖=

(a1+a2)‖(u,v)‖≤‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≤‖(u,v)‖,

?(u,v)∈V∩?ΩR.

3 應(yīng)用舉例

下面給出一個例子以驗(yàn)證定理的適用性.

例1考慮如下非線性Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

0

0

u(0)=D3/2u(0)=D3/2u(1)=0,

v(0)=D5/4v(0)=D5/4v(1)=0,

(20)

其中

2<α=5/2,β=7/3≤3,

1<γ=3/2,δ=5/4≤2,

滿足

1+γ≤α, 1+δ≤β.

令

(t,v)∈[0,1]×[0,∞),

(t,u)∈[0,1]×[0,∞),

易知

f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),

f0+=g0+=∞,f∞=g∞=0.

根據(jù)定理1,耦合系統(tǒng)(20)至少有一個解.

致謝徐州工程學(xué)院培育項(xiàng)目(XKY2017113)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.