一類三次微分系統(tǒng)中心存在的條件

唐 璐， 陸征一， 楊 靜,2

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066； 2. 中國(guó)科學(xué)院 成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所, 四川 成都 610041)

1 預(yù)備知識(shí)

在常微分方程的定性研究中,中心焦點(diǎn)問題是一個(gè)極為重要的課題.最受數(shù)學(xué)家們關(guān)注的是1900年Hilbert提出的著名的2個(gè)問題[1],其中第十六問題的后部分就是關(guān)于平面自治多項(xiàng)式系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的問題,它與中心焦點(diǎn)問題密切相關(guān).實(shí)際上,中心焦點(diǎn)問題也是一個(gè)困難的、有挑戰(zhàn)性的問題,吸引了眾多學(xué)者關(guān)注和研究.

對(duì)于一給定的具有線性中心的微分多項(xiàng)式系統(tǒng)：

(1)

系統(tǒng)原點(diǎn)為中心的條件一般需要通過計(jì)算焦點(diǎn)量得到.計(jì)算焦點(diǎn)量主要有Poincare后繼函數(shù)法及Poincare-Liapunov形式級(jí)數(shù)法.在計(jì)算機(jī)代數(shù)應(yīng)用于穩(wěn)定性理論之前,焦點(diǎn)量的計(jì)算是復(fù)雜易錯(cuò)的.而后由于計(jì)算機(jī)代數(shù)的發(fā)展和應(yīng)用,越來越多的學(xué)者致力于利用計(jì)算機(jī)計(jì)算焦點(diǎn)量.Wang[2]利用Poincare-Liapunov形式級(jí)數(shù)法得到多項(xiàng)式系統(tǒng)焦點(diǎn)量計(jì)算的算法.Gine等[3]給出了一種計(jì)算焦點(diǎn)量的遞推算法,比較了以往一些焦點(diǎn)量算法的優(yōu)劣.Lu等[4]給出線性部分非標(biāo)準(zhǔn)形式的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的焦點(diǎn)量的形式級(jí)數(shù)法的證明和算法.對(duì)于二次多項(xiàng)式系統(tǒng)的焦點(diǎn)基,中心條件已由文獻(xiàn)[5-7]及隨后的一些工作徹底解決.文獻(xiàn)[8]通過計(jì)算一個(gè)三次微分系統(tǒng)前6階焦點(diǎn)量找出了系統(tǒng)原點(diǎn)為中心的4組必要條件,并利用Darboux積分法和Poincare對(duì)稱原理驗(yàn)證了必要條件的充分性.桑波[9]利用后繼函數(shù)法給出焦點(diǎn)量遞推公式.文獻(xiàn)[10]采用極坐標(biāo)的形式計(jì)算焦點(diǎn)量,得到了形如P(2,2n)的Poincare系統(tǒng)中心的必要條件,利用旋轉(zhuǎn)變換和Poincare對(duì)稱原理證明了必要條件的充分性.

通過計(jì)算焦點(diǎn)量得到的中心條件是必要條件,需要驗(yàn)證這些必要條件的充分性.證明必要條件的充分性一般有2種方法,一種是通過尋找不變代數(shù)曲線,構(gòu)造積分因子,得到多項(xiàng)式系統(tǒng)的首次積分，即若存在函數(shù)R∈Ck(U),k≥1使得下列等式成立

(2)

近年來借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng),關(guān)于系統(tǒng)化求首次積分及其算法化的工作有文獻(xiàn)[11-15].文獻(xiàn)[16]中給出了構(gòu)造一種多項(xiàng)式乘積形式的積分因子算法,此算法主要通過待定參數(shù)法尋找不變代數(shù)曲線,進(jìn)而構(gòu)造首次積分.文獻(xiàn)[17]通過尋找不變代數(shù)曲線,構(gòu)造積分因子,得到多項(xiàng)式系統(tǒng)的首次積分.從而得到了一個(gè)二維Kolmogorov系統(tǒng)的中心條件.

另一種方法就是利用有理可逆性.利用有理可逆性產(chǎn)生中心就是通過代數(shù)映射,使得系統(tǒng)關(guān)于某一直線不變且時(shí)間反向,從而得到中心.文獻(xiàn)[18]考慮了時(shí)間可逆與中心問題的關(guān)系,指出了系統(tǒng)經(jīng)線性變換、雙線性變換、有理變換等變換下,成為Poincare對(duì)稱系統(tǒng)的充要條件,得到了系統(tǒng)為中心的充分條件.

本文在Wang[8]利用焦點(diǎn)量法得到中心的4組充分條件的基礎(chǔ)上,采用代數(shù)對(duì)稱法得到了不同于文獻(xiàn)[8]的3組新的中心的充分條件.

2 三次微分系統(tǒng)中心條件

考慮三次微分系統(tǒng)[8]:

(3)

文獻(xiàn)[8]通過焦點(diǎn)量法得到了系統(tǒng)(3)的4組充分條件.

定理2.1[8]三次微分系統(tǒng)(3)滿足以下條件之一,則原點(diǎn)必為系統(tǒng)中心：

1)A-B=F=E=D=C=0;

2)D+E=A-B=C+F=a-b=0;

3)D+E=A-B=C+F=a+b=0;

4)E+3C=D+3F=A-B=0.

系統(tǒng)在條件1)或4)下滿足首次積分

在條件2)下,系統(tǒng)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,在條件3)下,系統(tǒng)關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱,滿足Poincare對(duì)稱原理.

一個(gè)自然的問題,是否存在過原點(diǎn)的直線

sx+ty=0,s2+t2≠0

使得系統(tǒng)(3)關(guān)于該直線對(duì)稱?利用如下的定理2.2給出系統(tǒng)(3)存在中心的新條件.

定理2.2[9]向量場(chǎng)ζ關(guān)于過原點(diǎn)直線

sx+ty=0,s2+t2≠0

時(shí)間可逆的充要條件是存在非退化線性變換S:R2→R2,使得S(x,y)為(x,y)關(guān)于直線

sx+ty=0,s2+t2≠0

的對(duì)稱點(diǎn),且滿足

S(P(x,y),Q(x,y))=

-(P(S(x,y)),Q(S(x,y))),

(4)

其中

M1=-12As5t+40As3t3-12Ast5+12Bs5t-
40Bs3t3+12Bst5-4Es4t2+4Es2t4-
2Fs6+2Fs4t2-2Fs2t4+2Ft6,

M2=48As3t-48Ast3-48Bs3t+48Bst3+
Ds4+2Ds2t2+Dt4-2Es4+
8Es2t2-2Et4+3Fs4-6Fs2t2+3Ft4,

M3=3as2t-at3-bs3+3bst2,

M4=20As5t-152As3t3+20Ast5-20Bs5t+
152Bs3t3-20Bst5-2Es6+10Es4t2-
10Es2t4+2Et6-12Fs4t2+12Fs2t4,

M5=16As3t-16Ast3-16Bs3t+16Bst3-
Cs4-2Cs2t2-Ct4-Es4+
2Es2t2-Et4-4Fs2t2,

M6=16As3t-16Ast3-16Bs3t+
16Bst3+4Cs2t2+Ds4-2Ds2t2+Dt4+
Fs4+2Fs2t2+Ft4,

M7=20As5t-152As3t3+20Ast5-20Bs5t+
152Bs3t3-20Bst5+12Cs4t2-12Cs2t4+
2Ds6-10Ds4t2+10Ds2t4-2Dt6,

M8=48As3t-48Ast3-48Bs3t+
48Bst3-3Cs4+6Cs2t2-3Ct4+2Ds4-
8Ds2t2+2Dt4-Es4-2Es2t2-Et4,

M9=-12As5t+40As3t3-12Ast5+12Bs5t-
40Bs3t3+12Bst5+2Cs6-2s4t2+
2Cs2t4-2Ct6+4Ds4t2-4Ds2t4.

(5)

利用結(jié)式方法[19]對(duì)M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7、M8、M9關(guān)于s消元后,取M1與M2,M1與M5,M2與M4,M4與M5,M6與M7,M7與M8做結(jié)式后的非平凡因式分別記為Q1,Q2，…，Q6如下:

Q1=108A2D-216A2E-540FA2-216BDA+
432BEA+1 080FBA+108DB2-216EB2-540B2F-
D3+3D2E+6D2F-6DEF-9DF2-4E3-12E2F-9EF2,

Q2=12A2C+12A2E+32FA2-24ABC-24BEA-
64FBA+12B2C+12EB2+32B2F-C3-2C2E-
5C2F-CE2-6CEF-8CF2-E2F-4EF2-4F3,

Q3=140A2D+392A2E+420FA2-280BDA-
784BEA-840FBA+140DB2+392EB2+420B2F-
D3-D2E-6D2F-6DEF-9DF2-9EF2,

Q4=140A2C-84A2E-280ABC+168BEA+140B2C-
84EB2-9C3-6C2E-9C2F-CE2-6CEF-E2F,

Q5=84A2D-140FA2-168BDA+280FBA+84DB2-
140B2F+CD2+6CDF+9CF2+D2F+6DF2+9F3,

Q6=420A2C+392A2D+140A2E-840ABC-784BDA-
280BEA+420B2C+392DB2+140EB2-9C2D-
9C2E-6CDE-6CE2-DE2-E3.

(6)

再對(duì)Q1,Q2,…,Q6關(guān)于A兩兩做結(jié)式,取Q3與Q4,Q3與Q5,Q4與Q5,Q4與Q6,Q5與Q6做結(jié)式后的結(jié)果分別記為:

Q11=784(3C+D+E+3F)2(15C2D+42C2E+
45C2F-5CD2-9CDE-15CDF+14CE2+
15CEF+3D2E+9DEF+14E2F)2,

Q22=784(3F+D)4(14CE+15CF+5CD+
9EF+3ED+15F2+3D2)2,

Q33=784(C+F)2(27C2D-45C2F+5CD2+
18CDE+30CDF-30CEF+45CF2-3D2E+
3DE2-18DEF-5E2F-27EF2)2,

Q44=784(3C+E)4(15C2+15CF+
9CD+3E2+5EF+3ED+14FD)2,

Q55=784(3C+D+E+3F)2(14CD2+9CDE+
15CDF-15CEF+45CF2+14D2F+3DE2-
9DEF+42DF2-5E2F+15EF2)2.

最后,對(duì)Q11、Q22、Q33、Q44和Q55的第三個(gè)因子兩兩分別關(guān)于C、D、E、F做結(jié)式,并取Q22的第三個(gè)因子與Q44的第三個(gè)因子關(guān)于C、D、E、F做結(jié)式,其結(jié)果如下：

(7)

由(7)式可得:

(8)

將(8)式的第一組條件C=-F,E=-D代入M1、M2有:

R1=-12As5t+40As3t3-12Ast5+12Bs5t-
40Bs3t3+12Bst5+4Ds4t2-4Ds2t4-2Fs6+
2Fs4t2-2Fs2t4+2Ft6,

R2=3(s-t)(s+t)(16Ast-16Bst+
Ds2-Dt2+Fs2-Ft2).

特別地,對(duì)R1、R2關(guān)于s做結(jié)式有:

(A-B)4(-5F+3D)2(64A2-

128AB+64B2+D2+2FD+F2)2.

(9)

當(dāng)A-B=0或-5F+3D=0時(shí),(9)式為0.而A-B=0這一情形在文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)討論.因此,現(xiàn)在只需考慮-5F+3D=0.再由C=-F,E=-D代入(5)式得到:

T1=-2/3(s2-3t2)(3s2-t2)(6Ast-
6Bst+Fs2-Ft2),

T2=8(s-t)(s+t)(6Ast-6Bst+Fs2-Ft2),

T3=3as2t-at3-bs3+3bst2,

T4=2/3(5s4-38s2t2+5t4)(6Ast-6Bst+Fs2-Ft2),

T5=8/3(s-t)(s+t)(6Ast-6Bst+Fs2-Ft2),

T6=8/3(s-t)(s+t)(6Ast-6Bst+Fs2-Ft2),

T7=2/3(5s4-38s2t2+5t4)(6Ast-6Bst+Fs2-Ft2),

T8=8(s-t)(s+t)(6Ast-6Bst+Fs2-Ft2),

T9=-2/3(s2-3t2)(3s2-t2)(6Ast-
6Bst+Fs2-Ft2).

通過上式可以得到,當(dāng)Ti=0(i≠3)時(shí)必有

6(A-B)st+F(s2-t2)=0.

由T3=0得

3as2t-at3-bs3+3bst2=0.

消去s和t可得

54A3ab-162A2Bab+27A2FA2-27A2FB2+
162AB2ab-54ABFA2+54ABFB2-
18AF2ab-54B3ab+27B2FA2-
27B2FB2+18BF2ab-F3A2+F3B2.

(10)

從(8)式第一組解,(9)式第二個(gè)因式和(10)式可得到一組解:

C=-3/5D,E=-D,F=3/5D,
a=2,b=11,A=-3+B,D=20.

(11)

將其代入(5)式得

(12)

顯然W1,W2,…,W9的公因式為-2t+s.我們能找到這樣的直線2x+y=0,使得系統(tǒng)(3)關(guān)于該直線對(duì)稱.

類似地,由(8)、(9)和(10)式還可以得到另外2組參數(shù)條件

C=-3/5D,E=-D,F=3/5D,a=18,

b=26,A=-8+B,D=30,

(13)

和

C=-3/5D,E=-D,F=3/5D,a=9,

b=-46,A=-5+B,D=60.

(14)

系統(tǒng)在條件(13)、(14)下,分別關(guān)于直線

3x+y=0, 3x+2y=0

對(duì)稱.

定理2.3三次微分系統(tǒng)(3)滿足以下條件之一,則原點(diǎn)必為系統(tǒng)中心:

1)A=-3+B,C=-12,D=20,E=-20,F=12,a=2,b=11;

2)A=-8+B,C=-18,D=30,E=-30,F=18,a=18,b=26;

3)A=-5+B,C=-36,D=60,E=-60,F=36,a=9,b=-46.

由前面的討論可知,在1)、2)、3)條件下,系統(tǒng)分別關(guān)于直線

2x+y=0, 3x+y=0

和3x+2y=0對(duì)稱.

3 討論

平面系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判定問題及小擾動(dòng)極限環(huán)的構(gòu)造是研究熱點(diǎn),其所以受到廣泛持久的關(guān)注,源于它與Hilbert第十六問題及弱化Hilbert第十六問題之間存在密切的聯(lián)系.Wang[20]利用焦點(diǎn)量法得到了三次微分系統(tǒng)中心的4組充分條件.徐金亞[20]采用極坐標(biāo)的形式計(jì)算焦點(diǎn)量,得到了形如P(2,2n)Poincare系統(tǒng)原點(diǎn)為中心的條件.本文采用代數(shù)對(duì)稱法得到系統(tǒng)(3)新的三組中心充分條件.一個(gè)自然的問題,我們能否通過Darboux積分法得到系統(tǒng)(3)新的中心條件?這個(gè)問題可作為進(jìn)一步研究的課題.