改進(jìn)方程教學(xué)促進(jìn)中小銜接

冷滿紅

在小學(xué)階段，解題多用算術(shù)方法。這與學(xué)生在小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)有關(guān)：1.小學(xué)階段，使用算術(shù)方法的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于方程方法，學(xué)生更習(xí)慣于用算術(shù)方法解答；2.方程方法書寫繁瑣，算術(shù)方法程序簡便；3.使用分析法或綜合法尋找解題路徑得到的訓(xùn)練充足，學(xué)生熟練程度高。而從分析數(shù)量關(guān)系入手解題，學(xué)生卻感到陌生和困難；4.小學(xué)階段的應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系比較簡單，學(xué)生對方程方法解題的優(yōu)勢體會(huì)不深；5.對于未知數(shù)較多的題目，不知道該用字母表示哪個(gè)未知數(shù)，等等。

到了初中，一方面題目中未知數(shù)增多，數(shù)量關(guān)系趨于復(fù)雜，方程方法解題成為必需；另一方面，代數(shù)已成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容。兩個(gè)學(xué)段，教學(xué)上的差異，要求上的不同，造成了學(xué)生在從算術(shù)走向代數(shù)過程中的諸多困難。

“教學(xué)生6年，為學(xué)生想60年”。作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)跳出小學(xué)數(shù)學(xué)的框子，站到更高的高度來看待和反思自己的教學(xué)，通過改進(jìn)方程的教學(xué)，讓學(xué)生在小升初后的學(xué)習(xí)更加順暢。

一、抓住本質(zhì)，著眼關(guān)系學(xué)方程

從本質(zhì)來看，算術(shù)學(xué)習(xí)，重在對“數(shù)量”的理解。代數(shù)學(xué)習(xí)，重在對“關(guān)系”的探討。然而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，代數(shù)的學(xué)習(xí)在很多課堂上并沒有體現(xiàn)出應(yīng)有的特點(diǎn)。

1.比。在教材中，比被解釋為“兩個(gè)數(shù)相除，又叫作兩個(gè)數(shù)的比”。于是很多老師注重將比與除法或者分?jǐn)?shù)進(jìn)行聯(lián)系和溝通。事實(shí)上，比是兩個(gè)數(shù)之間關(guān)系的一種表示形式。在教學(xué)中，教師卻往往沒有抓住比的這個(gè)實(shí)質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行比的概念教學(xué)。

2.用字母表示數(shù)。兒子的年齡用x來表示，父親的年齡則用（x+26）來表示。需要指出的是，（x+26）實(shí)際上有兩種含義。一是表示父親的年齡，二是表示父親與兒子的年齡之間的關(guān)系，即年齡差永遠(yuǎn)為26歲。教學(xué)中，教師往往對第一種含義比較重視，第二種含義卻經(jīng)常被忽略。

3.方程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材上，方程被解釋為：含有未知數(shù)的等式。這個(gè)描述并未體現(xiàn)出方程的本質(zhì)特點(diǎn)。方程的核心價(jià)值，在于尋找未知數(shù)與已知數(shù)之間的聯(lián)系，從而建立起數(shù)量之間的相等關(guān)系。

如果說，算術(shù)解法體現(xiàn)的是一個(gè)過程，等號(hào)表示運(yùn)算的開始，那么方程方法體現(xiàn)的是一個(gè)相等的關(guān)系，等號(hào)表示這種等量關(guān)系的確立。

在方程教學(xué)中，教師經(jīng)常讓學(xué)生觀察天平的狀態(tài)，并列式。

如，師：天平左邊放著兩個(gè)20克的砝碼，右邊放著一個(gè)40克的砝碼。天平平衡了。你會(huì)用算式表示嗎？學(xué)生列式為20+20=40。

盡管算式很正確，但是天平的教學(xué)價(jià)值卻體現(xiàn)不夠。在學(xué)生的心中，這仍是一個(gè)計(jì)算的過程，即從左邊的20+20，通過計(jì)算，得到右邊的40。等號(hào)在這里，仍然是執(zhí)行運(yùn)算的標(biāo)志。

抓住天平的平衡狀態(tài)展開教學(xué)，讓天平“住”進(jìn)學(xué)生心中，很多老師進(jìn)行了有益的探索。全國賽課一等獎(jiǎng)獲得者紀(jì)子成老師在教學(xué)這個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，追問：“（這里的相等）你是算出來的，還是看出來的？”一個(gè)“算”與一個(gè)“看”，一字之差，卻道出了本質(zhì)上的不同：是運(yùn)算的過程還是特定關(guān)系的提煉。

二、梳理關(guān)鍵，分類指導(dǎo)列方程

如前所述，尋找等量關(guān)系是建立方程的前提。然而，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這個(gè)方面卻沒有獲得足夠的重視，學(xué)生尋求等量關(guān)系的能力偏弱，這直接導(dǎo)致了學(xué)生對用方程解題感到困難。如果梳理小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，并對學(xué)生加以分類指導(dǎo)，會(huì)有事半功倍的效果。

1.根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系列方程。

例如，兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)開鑿一條長500米的隧道，各從一端相向施工。甲隊(duì)每天開鑿12米。甲隊(duì)施工2天后，乙隊(duì)開始施工。甲、乙兩隊(duì)同時(shí)施工20天后隧道打通，乙隊(duì)每天開鑿多少米？

從題目可知，甲隊(duì)的工作效率是12米/天，甲隊(duì)的工作時(shí)間是（2+20）天，乙隊(duì)的工作時(shí)間是20天。工作總量是500米。根據(jù)工作效率×工作時(shí)間=工作總量，可以列出方程。

在小學(xué)階段，常見的數(shù)量關(guān)系還有：速度×?xí)r間=路程，單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

2.按照計(jì)算公式列方程。

例如，一個(gè)圓柱的底面半徑是2cm，把它削成一個(gè)最大的圓錐。這個(gè)圓錐的體積是50.24cm3，這個(gè)圓柱的高是多少cm

從題目可知，這個(gè)圓錐和圓柱是等底等高的。求圓柱的高也就是求圓錐的高。依據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式：V=πr2h，可以列出方程。

在小學(xué)階段，計(jì)算公式大致有以下四類：一是關(guān)于周長的計(jì)算公式，如，長方形的周長=（長+寬）×2等；二是關(guān)于面積的計(jì)算公式，如圓的面積=πr2等；三是關(guān)于體積的計(jì)算公式，如圓柱的體積計(jì)算公式：V=πr2h；四是關(guān)于特殊量的計(jì)算公式，如利息=本金×利率×存期，圖上距離：實(shí)際距離=比例尺等。

3.緊扣關(guān)鍵語句列方程。

例如，甲、乙兩人共同植樹，甲植了60棵，比乙所植的樹的多8棵，乙植樹多少棵？

這道題目中，數(shù)量關(guān)系句是“（甲）比乙所植的樹的多8棵”，根據(jù)數(shù)量關(guān)系句，可以寫出等量關(guān)系式：乙植樹的棵數(shù)×+8=60，從而列出方程。

4.抓住不變量列方程。

例如，小芳讀一本書，如果每天讀40頁，6天可以讀完。如果想8天讀完，那么平均每天要讀多少頁？

這道題目中，讀書的天數(shù)隨著每天讀的頁數(shù)的變化而變化，而這本書的總頁數(shù)卻是不變的，由此可以列出方程。到了六年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)正比例和反比例的知識(shí)后（人教版教材），對于這類問題則可以借助比例來解答。

三、遴選題組，價(jià)值對比用方程

在教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)詢問老師：“這道題要用方程做嗎？”這句問話道出了方程教學(xué)的尷尬：方程方法不是學(xué)生的自覺需要，而是被強(qiáng)加的要求。追問背后的原因，最主要的還是學(xué)生沒有體會(huì)到方程方法解題的優(yōu)勢所在：一方面，過于簡單的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)常被要求用方程解題，導(dǎo)致方程方法在學(xué)生心中被異化；另一方面是方程方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中沒有得到足夠的重視，顯得零碎和突兀。這些直接造成學(xué)生在初中學(xué)習(xí)方程時(shí)情感上準(zhǔn)備的不足與思維建構(gòu)上的尷尬。

梳理小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，實(shí)際上很多問題用方程解會(huì)更加簡便。教師應(yīng)有意識(shí)地開展題組訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生對方程方法形成正確的認(rèn)識(shí)。

1.雞兔同籠問題。

例如，某班買來兩種筆記本共37個(gè)，一共花了68元。一種筆記本的價(jià)格是1.5元，另一種筆記本的價(jià)格是2元。買來的兩種筆記本各有多少個(gè)？

在人教版教材中，雞兔同籠問題編排在四年級(jí)下冊，方程的內(nèi)容編排在五年級(jí)上冊。在學(xué)習(xí)方程之前，學(xué)生一般用假設(shè)法解題，列式為：（37×2-68）÷（2-1.5）或（68-37×1.5）÷（2-1.5），難度可想而知。

學(xué)習(xí)方程后，教師如能引導(dǎo)學(xué)生用方程方法解題，在對比中，學(xué)生則可以體會(huì)方程方法的優(yōu)勢。

2.和倍（差倍）問題。

例如，一張桌子的價(jià)格是一把椅子的5倍，買這樣一套桌椅需要720元，一張桌子多少元？椅子呢？

在這個(gè)問題中，由于桌子和椅子的價(jià)格都是未知數(shù)，學(xué)生用算術(shù)方法求解比較困難。如果不借助線段圖，學(xué)生對算理的理解可能會(huì)陷入困頓。

教師讓學(xué)生用算術(shù)方法和方程方法解題，對解題的過程進(jìn)行辨析，方程的優(yōu)勢便呼之欲出了。

3.“標(biāo)準(zhǔn)量”未知的題目。

例如，父親今年36歲，比兒子年齡的3倍還多3歲，兒子今年多少歲？

在這個(gè)問題中，學(xué)生用算術(shù)方法思考時(shí)，經(jīng)常會(huì)因?yàn)閷Α岸?歲”的理解不對而做錯(cuò)，出現(xiàn)“（36+3）÷3”之類的算式。如果用方程方法解，抓住數(shù)量關(guān)系句列方程，則會(huì)變得很簡單。

再如：某校六年級(jí)原有學(xué)生370名學(xué)生，今年男生轉(zhuǎn)出10%，女生轉(zhuǎn)出5%，這時(shí)男女人數(shù)一樣多。現(xiàn)在該校六年級(jí)共有學(xué)生多少人？

這道題中，男、女生人數(shù)都是未知的，造成了算術(shù)方法解題困難。如果用方程方法，用字母x表示男生人數(shù)，女生人數(shù)為（370-x），則可以列出方程：x×（1-10%）=（370-x）×（1-5%）。

如上幾類問題，教師如能采用題組的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩種方法的對比，學(xué)生在深刻體會(huì)各自特點(diǎn)基礎(chǔ)上，便能在解題中靈活選擇并加以應(yīng)用了。