數彈孔的數學大師

楊誠邁

2018年高考語文全國卷II的作文題給了這么一個資料：“二戰期間，為了加強對戰機防護，英美軍方調查了作戰后幸存飛機上的彈痕的分布，決定哪里彈痕多就加強哪里，然而統計學家沃德力排眾議，指出更應該注意彈痕少的部位，因為這些部位收到重創的戰機，很難有機會返航，而這部分數據被忽略了，事實證明，沃德是正確的。”

這個沃德是一位二戰期間隱居在戰場幕后的英雄，他不僅用自己的數學天才挽救了無數空軍飛行員的生命，而且用數學理論提升了美國軍隊后勤補給的驗收效率，為美國贏得戰爭做出了非常重要的貢獻。

為避難遠走美國

1902年，亞伯拉罕·沃德出生于奧匈帝國（今羅馬尼亞）的克盧日—納波卡市的一個猶太家庭。上學讀書時，沃德偏愛數學，很有天分，考入了斐迪南一世國王大學（1948年改稱巴貝什·博堯依大學）數學系。大學畢業后在數學專業一路深造，1931年，沃德拿到了數學博士學位，掌握了多門深奧的數學理論，培養了良好的數學思維習慣。

然而，沃德完成學業的日子卻正好趕上了納粹勢力崛起的時期，毗鄰德國的奧地利，也掀起了迫害猶太人的風暴。1938年，納粹德國吞并了奧地利，為了避難，沃德不得不離開歐洲，前往美國。

在美國，沃德這樣的人才是深受歡迎的。美國企業家新近創立的“考爾斯經濟學研究委員會”很快就向沃德發出邀請，招聘他做計量經濟學領域的研究員。不久，二戰爆發了，沃德又被美國政府召入“統計學研究小組”。

“統計學研究小組”是美國政府為打贏二戰而成立的數學家智囊團，其成員包括控制論的創始人諾伯特·維納、哈佛大學統計系的創建者弗雷德里克·莫斯特勒以及建立現代貨幣數量論的米爾頓·弗里德曼等等。

“統計學研究小組”的辦公室設在哥倫比亞大學，每天，美國軍方都會在這里丟給沃德和“諾伯特·維納”們一堆“作戰任務”：計算轟炸機炸彈的彈道，幫助轟炸機投彈手鎖定目標；根據德國、日本大型軍艦的照片建模，測算敵艦的航速和轉彎能力；設計為運輸船隊護航的美國海軍的編隊規模和航行路線，降低運輸船在大西洋遭遇德國潛艇的概率……這些都是戰爭帶給數學家們的課題，顯然，這些課題也只有精通密碼學、運籌學、概率論、統計學和計算科學的頂尖數學家才能勝任。

數彈孔挽救空軍

1943年的一天，沃德正在哥倫比亞大學畫著各種方程和數學矩陣，新的任務又分派下來了。美軍飛行員在德國天空正遇到強勁的挑戰，戰機頻頻被擊落。為了減少損失率，美國空軍決定給戰機增加防彈裝甲。但裝甲笨重，又會降低戰機的機動性，所以，最好只在戰機上最需要補強的部位提供裝甲。空軍長官們想知道，到底哪里才是戰機最需要補強（增加裝甲）的部位。

沃德開始搜集數據，他觀察了大量被子彈擊中卻幸運“跛行”返航的B29轟炸機，那些轟炸機已經千瘡百孔，被美軍飛行員戲稱為“瑞士奶酪”。通過閱讀大量的彈孔記錄，沃德發現，B29龐大的機身上彈孔最多，其次是機翼，而發動機和燃油系統處的彈孔數量還不到機身彈孔數量的一半。情況似乎很清楚了——B29機身受到子彈攻擊的概率更高，而且是安置電子設備和投彈手的艙室，最需要補充裝甲——空軍長官的第一反應也是這樣的。但是，這種觀點是錯誤的，沃德也知道它為什么錯了。

隨后，沃德向美國國防部提交了調查報告，認為發動機和燃油系統才是B29最需要保護的“核心部位”。他在報告中解釋道，機身和機翼大量的彈孔表明，這里容易被擊中，但也意味著，即使這里承受了大量的火力，B29還是可以返航的。在B29的“核心部位”很少發現彈孔，并不是因為這里不容易中彈，而是因為這里只要被打中，B29就會墜落，飛不回來。即，美軍看到的B29的彈孔記錄只是來自于幸存者，僅僅依靠幸存者所做的判斷是不科學的，那些被忽視了的非幸存者才是關鍵，他們根本就沒有飛回來。這就好比醫生去醫治經過槍擊而活下來的人，他們會發現傷者的手部、腿部中彈的很多，而頭部和心臟中彈的情況少之又少，正說明了人的頭部和心臟更需要保護。

美國空軍采用了沃德的建議，加強了對于發動機和燃油系統的防護，這在后來被證明是無比正確的決策，美軍戰機的損失率大大降低。

“序貫分析”節省軍用物資

二戰中，美國軍用物資的消耗量大得驚人。對于習慣奢侈的美國大兵們來說，汽油、彈藥、火炮、巧克力、香煙一個都不能少，他們每天都要在戰場上“燒”掉數千萬美金。美國政府雖然財大氣粗，也不得不考慮軍需節省的事情。但是，美國軍方十分重視士兵的生命安全，自然不會削減軍隊的后勤補給，他們希望能夠在軍用物資的驗收環節做到一些節省。于是，1944年，軍方把這個課題拋給了沃德，讓他想想辦法。

沃德明白，軍用物資的驗收一定要保證準確性，因為軍用物資的質量有可能會到影響一場戰役的勝負。然而，驗收時要提高準確性，往往會帶來物資的浪費。

比如，工廠生產了1萬枚炮彈，如果想知道合格率，你可以挨個地把這1萬枚炮彈全部打完，做一個統計表——這樣的做法最準確，但全部炮彈都被浪費了。所以，正常情況下，軍隊采用的是抽樣檢查。驗收的一方，先定下一個標準，假設定為“合格率必須大于99%”。根據這個標準，設定合適的樣本數量，比如500枚樣本或者1000枚樣本，抽取兩組，分別做測試，計算平均合格率。最后，用樣本的合格率，估算所有炮彈的合格率。但這樣的檢查屬于固定抽樣，做一次驗收就需要打完1000枚或者2000枚炮彈，花費太高。為了減少浪費，沃德開創性地提出了“序貫分析”理論。

所謂序貫分析，是一種靈活的抽樣方案。驗收的一方，不事先規定總的抽樣的數量，而是先抽少量樣本，根據其結果，再決定“停止抽樣”或“繼續抽樣”“抽多少”。如此進行下去，直至決定停止抽樣為止。比如，1萬枚炮彈，要求合格率必須大于99%，這意味著100枚炮彈里，最多只能有1枚不合格。那么，驗收方先抽樣100枚出來，進行測試。如果不合格的炮彈的數量大于1，那么這批炮彈極可能不符合要求，就不用接著測試了；如果不合格的炮彈的數量少于1，可以通過數學計算，判斷接下來還要不要繼續抽樣，需要抽多少。因此，序貫分析邊抽邊檢、不斷調整后續行動。這樣，就能充分利用抽樣檢查的結果，既能保證準確性，又能大量地減少浪費。

在序貫分析理論用于軍隊補給驗收的當月，其威力就顯現出來，美軍軍用卡車輪胎的供應量一下子比上個月提升了6.37%。在后續的戰爭期間，序貫分析為美國軍方節省了大量軍火物資，其價值遠遠超過了美國政府投入“統計學研究小組”的全部研究經費。