無(wú)限板孔邊裂紋問(wèn)題的高精度解析權(quán)函數(shù)解

趙曉辰，吳學(xué)仁, *，童第華，徐武，陳勃，胡本潤(rùn)

1. 中國(guó)航發(fā) 北京航空材料研究院，北京 100095 2. 上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240

無(wú)限板中的圓孔邊徑向裂紋是工程實(shí)際中常見(jiàn)的一類裂紋幾何，該裂紋問(wèn)題的求解方法在航空航天、機(jī)械運(yùn)載、土木建筑、油氣開(kāi)采等工業(yè)領(lǐng)域中有非常廣泛的需求。孔邊裂紋在各種復(fù)雜載荷下的高精度應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)K和裂紋面張開(kāi)位移(COD)等關(guān)鍵斷裂力學(xué)參量，是計(jì)算和預(yù)測(cè)含孔邊裂紋結(jié)構(gòu)的疲勞壽命和剩余強(qiáng)度的重要前提[1]。雖然有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)和邊界元法(Boundary Element Method，BEM)等數(shù)值方法能求解各種復(fù)雜載荷情況下的孔邊裂紋問(wèn)題，但數(shù)值方法對(duì)計(jì)算資源和使用者的經(jīng)驗(yàn)均有頗高的要求。特別是在需要求解裂紋長(zhǎng)度變化不斷和(或)多種復(fù)雜載荷情況的裂紋問(wèn)題時(shí)，數(shù)值方法的計(jì)算和校驗(yàn)工作量都很大，經(jīng)濟(jì)性較差。因此，尋求高效準(zhǔn)確的孔邊裂紋問(wèn)題求解方法有重要的實(shí)際意義。

權(quán)函數(shù)法(WFM)是求解裂紋問(wèn)題的一種高效手段[2-6]。它把影響應(yīng)力強(qiáng)度因子的變量——裂紋體的幾何(包括載荷/位移邊界劃分)和所承受的載荷作了分離。權(quán)函數(shù)僅與裂紋幾何及載荷/位移邊界(ST/SU)的劃分相關(guān)，一旦確定，則僅需通過(guò)對(duì)權(quán)函數(shù)和假想裂紋處應(yīng)力分布的乘積作簡(jiǎn)單積分就能夠得到作為裂紋長(zhǎng)度的函數(shù)的K和COD。因此在處理復(fù)雜載荷情況或同一裂紋幾何多種載荷情況的裂紋問(wèn)題，或?qū)υS多裂紋長(zhǎng)度(例如疲勞裂紋擴(kuò)展)求解時(shí)，權(quán)函數(shù)法可以在極大地提高計(jì)算效率的同時(shí)，保證結(jié)果的高精度。

權(quán)函數(shù)法總體上可以分為解析法和數(shù)值法2種。在解析權(quán)函數(shù)法方面，目前主要有：①Wu-Carlsson基于一種參考載荷下的K和CMOD參考解的權(quán)函數(shù)[4]；②Fett-Munz[5]、Glinka-Shen[6]分別發(fā)展的基于多種(一般為2種)參考載荷下的K求得的權(quán)函數(shù)。Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)法能夠直接得到作為裂紋長(zhǎng)度α連續(xù)函數(shù)形式的權(quán)函數(shù)，不但能方便地求解連續(xù)變化α的K和COD，而且所得權(quán)函數(shù)受參考載荷形式及參考解精度的影響很小[7-8]，在現(xiàn)有解析權(quán)函數(shù)法中，其求解精度和魯棒性均具有明顯優(yōu)勢(shì)。在數(shù)值權(quán)函數(shù)方面，除了采用傳統(tǒng)有限元法求解權(quán)函數(shù)外，Wagner-Millwater[9]近年來(lái)提出了一種基于復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的權(quán)函數(shù)(Weight function Complex Taylor Series Expansion，WCTSE)法。這種方法基于復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)理論，結(jié)合復(fù)變有限元計(jì)算，能夠得到任意裂紋體幾何的寬α范圍離散裂紋長(zhǎng)度的數(shù)值形式權(quán)函數(shù)。Jing和Wu[10]通過(guò)對(duì)WCTSE法的深入研究，進(jìn)一步提高了其求解精度。在對(duì)復(fù)變有限元及裂紋問(wèn)題建模方面積累了豐富經(jīng)驗(yàn)的前提下，WCTSE法所求得的數(shù)值權(quán)函數(shù)具有很高的精度[7-8, 11]。但由于WCTSE法本質(zhì)上是一種數(shù)值方法，對(duì)每個(gè)裂紋尺寸都需要進(jìn)行一次復(fù)變有限元計(jì)算，因此其求解效率遠(yuǎn)低于解析權(quán)函數(shù)法。而WCTSE法的高精度特點(diǎn)，則使得它在對(duì)通過(guò)其他方法得到的權(quán)函數(shù)的精度評(píng)價(jià)驗(yàn)證方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此可以作為評(píng)價(jià)解析權(quán)函數(shù)精度的“基準(zhǔn)”。

本文利用Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)法求得了無(wú)限板孔邊單裂紋(N=1)和對(duì)稱雙裂紋(N=2)的權(quán)函數(shù)；并通過(guò)與權(quán)函數(shù)直接對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)(Green’s Function，GF)，分別與Shivakumar-Forman[12]和Newman[13]的高精度擬合表達(dá)式以及WCTSE數(shù)值權(quán)函數(shù)結(jié)果作了全面對(duì)比驗(yàn)證。此外，還指出了近期文獻(xiàn)中的孔邊裂紋權(quán)函數(shù)[14-15]的明顯錯(cuò)誤。在此基礎(chǔ)上用得到的解析權(quán)函數(shù)公式計(jì)算了孔邊裂紋在多種典型載荷作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，為復(fù)雜受載的孔邊裂紋問(wèn)題提供了形式統(tǒng)一、便捷高效的高精度求解手段。

1 無(wú)限板孔邊裂紋的解析權(quán)函數(shù)

考慮無(wú)限板圓孔邊的徑向裂紋問(wèn)題，即單裂紋(N=1)和對(duì)稱雙裂紋(N=2)，如圖1所示。

根據(jù)權(quán)函數(shù)理論[2-6]，對(duì)權(quán)函數(shù)m(α,γ)和無(wú)裂紋體在假想裂紋處的應(yīng)力分布σ(ξ)的乘積沿裂紋長(zhǎng)度作積分，即可得到任意載荷條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

(1a)

(1b)

式中：α=a/W,ξ=x/W,γ=ξ/α,a和x分別為裂紋的長(zhǎng)度和坐標(biāo)；W為裂紋體的特征尺寸；σ(ξ)為無(wú)裂紋體在假想裂紋處的應(yīng)力分布；σ0為σ(ξ)的歸一因子。對(duì)于無(wú)限板孔邊裂紋，取孔的半徑作為特征尺寸，即W=R，相關(guān)參量定義見(jiàn)圖1。這里采用Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)法對(duì)孔邊裂紋問(wèn)題進(jìn)行分析。作為一種邊緣裂紋，孔邊裂紋的Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)形式為[4]

(2)

(3)

式(2)表明，βi(α)是確定權(quán)函數(shù)m(α,γ)的前提，而βi(α)又由函數(shù)Fi(α)確定。所以Fi(α)的推導(dǎo)成為Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，確定邊緣裂紋Fi(α)的條件一般可包括：① 裂紋尖端的COD-K關(guān)系；② 參考載荷情況的K的自洽條件；③ 參考載荷作用下的裂紋嘴張開(kāi)位移(CMOD)。Wu-Carlsson利用條件①和條件②在其權(quán)函數(shù)專著中給出了孔邊裂紋的解析權(quán)函數(shù)[4]，并進(jìn)而求解得到各種復(fù)雜載荷情況下的孔邊裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子[4, 16]。多位學(xué)者基于這2個(gè)條件，成功應(yīng)用Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)方法求解了各種孔邊裂紋問(wèn)題。近年來(lái)的典型例子有：有限寬板圓孔邊單/雙裂紋分析以及對(duì)參考應(yīng)力強(qiáng)度因子擬合方法的改進(jìn)[17]、無(wú)限板孔邊不等長(zhǎng)雙裂紋的混合型問(wèn)題的KI和KII以及裂紋張開(kāi)位移[18]、周期性孔邊共線裂紋的K和COD[19]。

本文研究發(fā)現(xiàn)，增加條件③能明顯提高α較小時(shí)的求解精度。值得注意的是，裂紋面位移曲線在裂紋嘴處的曲率為0同樣適用于邊緣裂紋，但對(duì)多連域裂紋問(wèn)題，此條件對(duì)精度的影響很小，且會(huì)增加求解的復(fù)雜性。這里采用條件①、條件②和條件③推導(dǎo)孔邊裂紋的解析權(quán)函數(shù)。推導(dǎo)Fi(α)所需前提為：同一種參考載荷下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子fr(α)和裂紋嘴張開(kāi)位移Vr(α)的解。

以裂紋面均布應(yīng)力(σ(ξ)/σ0=1)作為參考載荷，則有

F1(α)=4fr(α)

(4a)

(4b)

(4c)

式中：

(5)

(6)

(7)

為避免影響后續(xù)積分計(jì)算，將Φ(α)中的變量α替換為s；ρn和τn分別為fr和Vr的擬合多項(xiàng)式系數(shù)。考慮到當(dāng)無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度α>2.0時(shí)，孔對(duì)裂尖K的影響很小，此時(shí)可把孔視為裂紋長(zhǎng)度的一部分作為無(wú)限板中心裂紋問(wèn)題處理。因此本文僅考慮α≤2.0范圍的解析權(quán)函數(shù)。α=0時(shí)，邊緣裂紋的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴張開(kāi)位移有精確解，分別為[20]：fr(0)=1.121 5，Vr(0)=2.908 6。用有限元法計(jì)算在裂紋面均布載荷作用下，α=0.1～3.0范圍內(nèi)多個(gè)裂紋長(zhǎng)度的K和CMOD，結(jié)合α=0的精確解進(jìn)行擬合，得到式(6)中fr(α)和式(7)中Vr(α)的多項(xiàng)式系數(shù)(如表1所示)，且多項(xiàng)式的最大擬合誤差約為0.1%。

由式(6)可計(jì)算出式(5)，然后將式(5)～式(7)代入式(4)求得Fi(α)，進(jìn)而由式(3)確定系數(shù)βi(α)，再由式(2)便能求得無(wú)限板孔邊裂紋(N=1，2)的解析權(quán)函數(shù)m(α,γ)。表2給出了部分裂紋長(zhǎng)度的βi(α)值。

為方便工程應(yīng)用，對(duì)由式(3)計(jì)算得到的βi(α)值用式(8)作擬合：

(8)

式中:多項(xiàng)式系數(shù)bin在表3中給出。

以上多項(xiàng)式的擬合誤差，除βi→0的局部區(qū)域外，均不超過(guò)1.0%；用式(8)計(jì)算的格林函數(shù)與式(3)相比，偏差不超過(guò)0.3%。

表1 無(wú)限板孔邊裂紋無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋嘴張開(kāi)位移的多項(xiàng)式系數(shù)Table 1 Fitted coefficients of dimensionless SIFs and CMODs for radial crack(s) at circular hole in infinite plate

表3 無(wú)限板孔邊裂紋解析權(quán)函數(shù)系數(shù)βi(α)的擬合多項(xiàng)式系數(shù)Table 3 Fitted polynomial coefficients for βi(α) of radial crack(s) at circular hole in infinite plate

2 無(wú)限板孔邊裂紋解析權(quán)函數(shù)精度檢驗(yàn)

為保證在任意載荷作用下K和COD的求解精度，必須對(duì)第1節(jié)得到的孔邊裂紋權(quán)函數(shù)的精度作檢驗(yàn)確認(rèn)。文獻(xiàn)中通常的檢驗(yàn)方法是：用所求得的權(quán)函數(shù)計(jì)算在某些載荷情況下的K并與文獻(xiàn)中的高精度解比較。盡管這種比較K的方法可以作為評(píng)價(jià)權(quán)函數(shù)的一種間接手段，但實(shí)際上存在著嚴(yán)重的弊端。因?yàn)閮H對(duì)某些載荷情況的K進(jìn)行比較，并不能真實(shí)和全面地反映權(quán)函數(shù)自身的精度。其主要原因是：① 由于在權(quán)函數(shù)的推導(dǎo)中對(duì)參考載荷情況使用了K自洽條件，故當(dāng)新的載荷情況與參考載荷沒(méi)有明顯差別時(shí)，用權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的K必然與參考解K的精度很接近(某種形式的“遺傳性”)。但當(dāng)新的載荷情況與參考載荷有明顯差別時(shí)，用權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的K就可能出現(xiàn)較大甚至非常大的誤差；②K是由權(quán)函數(shù)m(α,γ)和裂紋面應(yīng)力σ(ξ)的乘積沿整個(gè)裂紋長(zhǎng)度α積分得到的，權(quán)函數(shù)的正/負(fù)誤差可能會(huì)由于積分的平均效應(yīng)相互抵消，從而降低了K的誤差。所以用某些載荷情況下K的良好符合性來(lái)證明權(quán)函數(shù)本身的高精度，這種把多個(gè)因素交織在一起的做法，很可能造成假象并引起誤導(dǎo)。

解決權(quán)函數(shù)精度評(píng)價(jià)問(wèn)題的唯一可靠途徑，是對(duì)與之相對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)進(jìn)行比較[4,7-8,10]。格林函數(shù)表示在裂紋面受一對(duì)單位集中力(點(diǎn)載荷)P作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子。利用格林函數(shù)評(píng)價(jià)權(quán)函數(shù)是對(duì)整個(gè)裂紋長(zhǎng)度α范圍(即0≤γ≤1.0)逐點(diǎn)進(jìn)行比較，所以能排除權(quán)函數(shù)對(duì)參考載荷情況的偏向性和基于K的積分平均效應(yīng)。這種基于格林函數(shù)的評(píng)價(jià)方法由于采用逐點(diǎn)檢驗(yàn)的方式，因此能夠準(zhǔn)確反映權(quán)函數(shù)在裂紋面任意位置的精度。格林函數(shù)G(α,γ)與權(quán)函數(shù)m(α,γ)之間的關(guān)系非常簡(jiǎn)單[4]：

(9)

2.1 無(wú)限板孔邊單裂紋的Shivakumar-Forman格林函數(shù)[12]

Shivakumar和Forman采用Muskhelishvili的復(fù)變函數(shù)理論[21]，得到了無(wú)限板孔邊單裂紋(N=1)的格林函數(shù)值，并擬合給出了包含30個(gè)系數(shù)的二重多項(xiàng)式[12]。采用本文的變量定義，其擬合式為

(10)

式中：

多項(xiàng)式C(δ,γ)中的系數(shù)Cm,n如表4所示。

表4 式(10)中的系數(shù)Cm,nTable 4 Coefficients Cm,n in Eq. (10)

2.2 無(wú)限板孔邊雙裂紋的Newman格林函數(shù)[13]

Newman用邊界配位法計(jì)算得到了無(wú)限板孔邊雙裂紋(N=2)封閉形式的格林函數(shù)擬合表達(dá)式[13]。采用本文的變量定義，其擬合式為

(11)

式中：

2.3 基于復(fù)變函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)理論(WCTSE)的孔邊裂紋權(quán)函數(shù)

Wagner和Millwater在2012年提出了一種基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)理論和復(fù)變函數(shù)有限元分析的高精度數(shù)值權(quán)函數(shù)(WCTSE)法[9]。Jing和Wu對(duì)這種方法作了深入研究，進(jìn)一步提高了其求解精度[10]。對(duì)共線中心裂紋和圓盤邊緣裂紋等具有解析解的裂紋幾何的驗(yàn)證表明，WCTSE法有很高的精度和魯棒性[7-8, 10-11]。

WCTSE法給出的權(quán)函數(shù)是數(shù)值形式的，需要通過(guò)擬合才能得到封閉形式的權(quán)函數(shù)表達(dá)式。Jing和Wu[10]的研究表明，對(duì)邊緣裂紋使用式(12)形式的擬合多項(xiàng)式能使權(quán)函數(shù)獲得最佳精度：

M2(1-γ)2+…+Mn(1-γ)n]

(12)

本文利用WCTSE法，對(duì)孔邊裂紋(N=1, 2)進(jìn)行了復(fù)變有限元計(jì)算和權(quán)函數(shù)擬合。表5給出了按式(12)擬合的系數(shù)Mi。

2.4 無(wú)限板孔邊裂紋Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)的精度驗(yàn)證

將式(2)和式(12)分別代入式(9)可得到Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)和WCTSE數(shù)值權(quán)函數(shù)的格林函數(shù)，并與Shivakumar-Forman(式(10))和Newman(式(11))的結(jié)果進(jìn)行比較。

表5無(wú)限板孔邊裂紋(N=1，2)WCTSE法權(quán)函數(shù)(式(12))的擬合系數(shù)Mi

Table5WCTSEcoefficientsMi(Eq.(12))ofradialcrack(s) (N=1,2)atcircularholeininfiniteplate

孔邊單裂紋(N=1)Mii=1i=2i=3i=4α=0.1 0.417 4 0.198 8α=0.2 0.347 8-0.308 9 0.865 0-0.462 7α=0.5 0.048 2-0.093 0 0.442 6-0.247 5α=1.0-0.174 5 0.148 2-0.036 8α=1.5-0.199 0 0.019 4 0.012 4α=2.0-0.230 2-0.030 7 0.024 4孔邊雙裂紋(N=2)Mii=1i=2i=3α=0.10.331 90.394 6-0.117 9α=0.20.292 20.197 5α=0.50.167 40.149 5α=1.00.138 20.117 3α=1.50.144 30.109 3α=2.00.157 20.105 9

2.4.1 孔邊單裂紋

對(duì)于孔邊單裂紋(N=1)，本文得到的Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)與Shivakumar-Forman[12](式(10))和WCTSE法的結(jié)果均符合良好(見(jiàn)圖2(a))。所對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)與式(10)的差別基本在±2.0%以內(nèi)(見(jiàn)圖2(b))；與WCTSE法最大差別約為2.0%(見(jiàn)圖2(c))。

這里需要指出，本文的解析權(quán)函數(shù)(N=1)和WCTSE法在γ=0時(shí)的格林函數(shù)符合很好(見(jiàn)圖2(c))，而Shivakumar-Forman公式[12]結(jié)果比其他2種方法偏高約3%，見(jiàn)表6。由此可以推斷，圖2(b)中在γ=0附近稍大的差別很可能是文獻(xiàn)[12]的精度偏低造成的。

αWu-CarlssonWCTSEDifference/%Shivakumar-Forman[12]Difference/%0.51.629 51.626 8-0.171.676 12.91.01.325 11.325 0-0.011.367 03.21.51.174 91.177 8 0.241.207 32.8

2.4.2 孔邊雙裂紋

對(duì)于孔邊雙裂紋(N=2)，本文得到的Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)與Newman[13]和WCTSE法的結(jié)果均符合良好(見(jiàn)圖3(a))，所對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)與Newman的式(11)以及WCTSE格林函數(shù)的差別都不超過(guò)2%(見(jiàn)圖3(b)和圖3(c))。

以上比較表明，本文求得的孔邊單/雙裂紋Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)不但具有很高的精度，而且是以無(wú)量綱裂紋長(zhǎng)度α為變量的封閉解，能夠方便確定任意裂紋長(zhǎng)度(0≤α≤2.0)的權(quán)函數(shù)解，這對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展和壽命預(yù)測(cè)計(jì)算是十分有利的。采用這種統(tǒng)一的權(quán)函數(shù)解法，僅需變換K和CMOD參考解的多項(xiàng)式擬合系數(shù)即可分別求解孔邊單/雙裂紋問(wèn)題。

最近Jin等[14-15]采用Glinka-Shen的基于2種參考載荷應(yīng)力強(qiáng)度因子解的方法[6]得到了孔邊裂紋(N=1, 2)數(shù)值形式的權(quán)函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)擬合給出了封閉形式的孔邊裂紋權(quán)函數(shù)表達(dá)式。Jin等利用這些權(quán)函數(shù)計(jì)算的幾種其他載荷情況的K與文獻(xiàn)中的解符合良好，進(jìn)而據(jù)此認(rèn)為其權(quán)函數(shù)的精度得到了驗(yàn)證。如前所述，實(shí)際上這種基于K的“驗(yàn)證”很容易誤導(dǎo)。本文作者通過(guò)對(duì)權(quán)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)比較，對(duì)文獻(xiàn)[14-15]給出的權(quán)函數(shù)(表格數(shù)值和擬合公式)逐點(diǎn)進(jìn)行了精度檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其孔邊單/雙裂紋的權(quán)函數(shù)均存在顯著誤差：孔邊單裂紋結(jié)果與Shivakumar-Forman[12]及本文的解析權(quán)函數(shù)最大差別達(dá)±200%，如圖4所示；孔邊雙裂紋與Newman解[13]的差別雖然明顯小于單裂紋情況，但也達(dá)-8%～14%，如圖5所示。圖6則進(jìn)一步給出了孔壁楔形加載時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子差別，可見(jiàn)文獻(xiàn)[15]的孔邊單裂紋結(jié)果與其他3種權(quán)函數(shù)的結(jié)果差別極大。本文作者已對(duì)Jin等孔邊裂紋權(quán)函數(shù)[14-15]的精度問(wèn)題提出質(zhì)疑[22]。在此提請(qǐng)讀者注意。

3 應(yīng)用高精度解析權(quán)函數(shù)求解孔邊裂紋問(wèn)題

利用本文得到的高精度解析權(quán)函數(shù)可以高效求解各種復(fù)雜載荷情況下的孔邊裂紋問(wèn)題，下文給出代表性的3種載荷情況的K計(jì)算結(jié)果。

3.1 裂紋嘴楔形載荷

考慮孔邊裂紋承受楔形載荷(即作用在裂紋嘴處的一對(duì)集中力P)，如圖6所示。該集中力可以表示為σ(ξ)/σ0=Pδ(0)，δ(0)是Dirac函數(shù)。此時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子實(shí)際上就是孔邊裂紋在γ=0點(diǎn)的格林函數(shù)。用式(2)和式(3)確定的解析權(quán)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果如圖6所示。Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)結(jié)果與Shivakumar-Forman[12](N=1)和Newman[13](N=2)的解，以及與WCTSE結(jié)果之間的差別均不超過(guò)2%。而Jin權(quán)函數(shù)結(jié)果則明顯偏離，其單裂紋的K在α=0～0.16范圍甚至為負(fù)值(見(jiàn)圖6(a))，這顯然有悖于物理規(guī)律。

3.2 裂紋面多項(xiàng)式分布載荷

考慮裂紋面承受如圖7所示的冪函數(shù)分布應(yīng)力。該載荷形式可以表示為

σ(ξ)/σ0=ξn

(13)

將式(13)和式(2)分別代入式(1)即可得到孔邊裂紋無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)解fn。經(jīng)適當(dāng)化簡(jiǎn)，fn可以寫成包含系數(shù)βi(α)的解析表達(dá)式[4, 7-8]為

(14)

將式(3)的βi(α)代入式(14)得到孔邊裂紋在冪函數(shù)分布應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子fn。為方便使用，表7列出了部分結(jié)果。

在很多情況下，連續(xù)分布的裂紋面應(yīng)力可用無(wú)量綱坐標(biāo)ξ的多項(xiàng)式表示。根據(jù)疊加原理，若孔邊裂紋裂紋面承受多項(xiàng)式分布載荷為

σ(ξ)/σ0=∑Cnξn

(15)

則對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子可由冪函數(shù)應(yīng)力引起的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子fn計(jì)算得到：

f=∑Cnfn

(16)

需要注意的是，式(14)中的積分上下限分別為0和α，因此表7中給出的fn僅適用于應(yīng)力分布在整個(gè)裂紋面上的情況(0≤ξ≤α)。

表7 孔邊裂紋在裂紋面冪函數(shù)分布載荷(σ(ξ)/σ0=ξn)下的無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子fnTable 7 Dimensionless SIFs fn of radial crack(s) at circular hole under power stress (σ(ξ)/σ0=ξn) on crack surfaces

3.3 冷擠壓殘余應(yīng)力場(chǎng)K的Wu-Carlsson權(quán)函數(shù)法求解

為延長(zhǎng)帶圓孔飛機(jī)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，常采用過(guò)盈配合的銷釘冷擠壓技術(shù)(或干涉配合)引入殘余應(yīng)力。由于其自平衡特性，殘余應(yīng)力場(chǎng)在近孔壁環(huán)形區(qū)域內(nèi)為壓縮，遠(yuǎn)離孔邊則為拉伸。文獻(xiàn)[23]針對(duì)彈性理想塑性材料，基于塑性不可壓縮和平面應(yīng)變條件給出了正則化的冷擠壓殘余應(yīng)力分布：

[0.5+ln(1+ρ)](1+ξ)-2}/[2ln(1+ρ)]

ξ≤ρ

(17a)

ξ>ρ

(17b)

式中：ρ為塑性區(qū)圓環(huán)的無(wú)量綱寬度(以孔半徑R作無(wú)量綱處理)，ρ=0.3，0.6，1.0時(shí)的裂紋面殘余應(yīng)力分布如圖8所示。

當(dāng)裂紋長(zhǎng)度α≤ρ時(shí)，直接將式(17a)和式(2)代入式(1)即可求出孔邊裂紋在擠壓殘余應(yīng)力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子；當(dāng)α>ρ時(shí)，需要將式(17a)和式(17b)分別代入式(1)，并對(duì)應(yīng)力和權(quán)函數(shù)的乘積進(jìn)行分段積分(也可以采用分區(qū)段線性化求和的方法[4])：

(18)

在式(17)的擠壓殘余應(yīng)力下，用式(18)計(jì)算得到的孔邊單裂紋的無(wú)量綱殘余應(yīng)力強(qiáng)度因子(k=f·(πα)1/2)如圖9所示。值得注意的是，k(α)曲線隨著裂紋長(zhǎng)度的增加趨于零，這是殘余應(yīng)力場(chǎng)的自平衡性決定的k曲線固有特征[4]。

以上用解析權(quán)函數(shù)求解冷擠壓孔邊殘余應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法，同樣也可用來(lái)高效準(zhǔn)確地求解圓孔由于過(guò)盈配合和噴丸引起的殘余應(yīng)力場(chǎng)中的孔邊裂紋問(wèn)題。

4 結(jié) 論

利用3個(gè)求解條件推導(dǎo)得到了無(wú)限板孔邊單/雙裂紋的Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)，并與文獻(xiàn)中采用其他方法以及基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)和復(fù)變函數(shù)有限元法(WCTSE)求得的權(quán)函數(shù)作了廣泛對(duì)比驗(yàn)證。得到以下主要結(jié)論：

1) 本文求得的孔邊單/雙裂紋Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)具有高精度。其對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)分別與基于Muskhelishvili復(fù)變函數(shù)理論的Shivakumar-Forman和邊界配位法的Newman擬合公式，以及WCTSE法的結(jié)果高度符合，最大差別在2.0%以內(nèi)。

2) 裂紋嘴張開(kāi)位移CMOD條件能夠進(jìn)一步提高孔邊單/雙裂紋Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)的精度，特別是當(dāng)α值較小時(shí)。

3) 利用權(quán)函數(shù)計(jì)算某些載荷情況的K值并據(jù)此對(duì)權(quán)函數(shù)精度進(jìn)行驗(yàn)證的做法，不僅不能準(zhǔn)確全面反映權(quán)函數(shù)的真實(shí)精度，而且會(huì)得到誤導(dǎo)的結(jié)論。基于格林函數(shù)值的逐點(diǎn)對(duì)比是評(píng)價(jià)權(quán)函數(shù)精度的唯一正確途徑。

4) 對(duì)裂紋嘴楔形集中力、冪函數(shù)分布應(yīng)力和冷擠壓殘余應(yīng)力場(chǎng)孔邊裂紋問(wèn)題的求解表明，本文的孔邊裂紋Wu-Carlsson解析權(quán)函數(shù)為工程結(jié)構(gòu)的孔邊裂紋問(wèn)題提供了高效高精度的求解手段。