基于軌跡成型的攻擊角度與時間控制

張友安，梁勇，劉京茂，孫玉梅

1. 煙臺南山學(xué)院 電氣與電子工程系，煙臺 265713 2. 海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院，煙臺 264001 3. 山東南山國際飛行有限公司，煙臺 265713

隨著艦艇反導(dǎo)防御系統(tǒng)的發(fā)展和升級，反艦導(dǎo)彈要想突破其層層防御，可以采用飽和攻擊策略。這要求參與攻擊的多枚反艦導(dǎo)彈能夠從不同方向同時到達(dá)目標(biāo)，即反艦導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)必須具有控制導(dǎo)彈攻擊時間和攻擊角度的能力。近年來，以飽和攻擊為應(yīng)用背景的導(dǎo)彈攻擊時間與攻擊角度控制等多約束末制導(dǎo)與協(xié)同制導(dǎo)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注[1-5]。文獻(xiàn)[6-18]的方法都屬于時間與角度反饋控制方法，不屬于軌跡成型方法，這里不再詳細(xì)地展開介紹。文獻(xiàn)[19-20]的方法屬于軌跡成型方法。相比一般的時間與角度反饋控制方法，軌跡成型方法基于幾何學(xué)原理，具有方法簡明直觀、無需假設(shè)接近碰撞三角等優(yōu)點。Zhao等[19]通過軌跡成型的方法來實現(xiàn)同時對攻擊時間和攻擊角度的控制，但該方法仍然不可避免地需要通過復(fù)雜的計算過程實時地計算出待飛軌跡的長度，而且該計算方法默認(rèn)假設(shè)彈道傾角為小角度，但實際的彈道傾角可能為大角度，這時采用這種方法的估計誤差將會比較大。Tsalik和Shima[20]根據(jù)“當(dāng)導(dǎo)彈從初始點沿著圓弧軌跡向固定目標(biāo)點運動時，導(dǎo)彈的當(dāng)前位置與導(dǎo)彈初始點和固定目標(biāo)點所形成的圓周角(Inscribed Angle)為常值”的原理，提出了一種新的三點軌跡成型制導(dǎo)，該軌跡成型制導(dǎo)概念可以看成是對經(jīng)典的三點視線制導(dǎo)概念的推廣，但是該方法沒有考慮對攻擊時間的控制。

本文以氣動舵作為控制執(zhí)行機構(gòu)的反艦導(dǎo)彈為研究對象，并假設(shè)其能夠提供圓弧段所需的法向過載,基于Tsalik和Shima[20]的部分研究成果，提出一種軌跡成型方法，在此基礎(chǔ)上，提出一種虛擬目標(biāo)跟蹤控制方法，可以同時對攻擊角度和攻擊時間進行控制。相比于Tsalik和Shima[20]的工作，本文的貢獻(xiàn)在于，既考慮了對攻擊角度的控制，又考慮了對攻擊時間的控制，而Tsalik和Shima[20]的方法沒有考慮對攻擊時間的控制。

相比于Zhao等[19]的軌跡成型方法，本文的方法是通過一段圓弧加一段直線來進行軌跡成型的，而Zhao等[19]的軌跡成型方法是通過一個特別的擬合多項式來實現(xiàn)的。另外，本文提出的虛擬目標(biāo)跟蹤控制方法,不同于現(xiàn)有的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引方法[21]，因為現(xiàn)有的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引方法沒有考慮對時間的控制問題，而本文的虛擬目標(biāo)跟蹤控制方法既考慮了對所規(guī)劃軌跡的跟蹤，又考慮了對時間的控制問題。這里需要注意的是，雖然通過軌跡成型所規(guī)劃的飛行軌跡考慮了對時間的控制，但這只是時間控制的第一步。為了實現(xiàn)時間控制，第二步是設(shè)計一個合適的虛擬目標(biāo)沿所規(guī)劃的軌跡運動(注意虛擬目標(biāo)在所規(guī)劃軌跡上的位置是具有時間標(biāo)記的)，通過適當(dāng)?shù)目刂圃O(shè)計使導(dǎo)彈跟蹤虛擬目標(biāo)，從而實現(xiàn)對時間的控制。而一般的軌跡跟蹤控制只需要將導(dǎo)彈控制到規(guī)劃的軌跡上，不考慮軌跡上不同點的時間標(biāo)記問題。

1 軌跡成型

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，容易得到

ξ=∠AST+∠ATS

(1)

∠ATS=η-θf

(2)

(3)

(4)

(5a)

(5b)

導(dǎo)彈沿整條規(guī)劃軌跡飛行的時間tf滿足：

tf=T1+T2

(6)

2 迭代求解算法

(7)

(8)

(9)

y=yT+kL(x-xT)

(10)

kL=tanθf

(11)

因此，有

ya=yT+kL(xa-xT)

(12)

將式(8)～式(12)代入式(7)，可得

tfVM≈

(13)

假設(shè)xT>xa，該假設(shè)表示待定的點A(xa,ya)處于目標(biāo)點T(xT,yT)的左側(cè)，因此，式(13)可進一步寫為

(14)

將式(14)兩邊平方，上述二次方程恰好簡化為一次方程:

bxa+c≈0

(15)

式中：

(16)

(17)

容易求出式(15)的唯一的近似解為

xa≈-c/b

(18)

將該近似解記為

(19)

(20)

根據(jù)式(6)，可得

(21)

為方便，式(21)進一步寫成

(22)

(23)

(24)

(25)

首先處理式(25)右邊的最后一項，即

(26)

式中：

(27)

考慮到式(28)和式(29):

Δya=kLΔxa

(28)

(29)

式(26)可進一步簡化為

(30)

同理，處理式(25)右邊的第1項，可得

(31)

(32)

(33)

將式(30)～式(31)代入式(25)，可得

(34)

由式(34)和式(28)可得

(35)

Δya=kLΔxa

(36)

逼近A(xa,ya)的迭代算法可總結(jié)如下：

1) 給定導(dǎo)彈起點S(x0,y0)、目標(biāo)點T(xT,yT)、導(dǎo)彈飛行速度VM；指定導(dǎo)彈攻擊時間tf和導(dǎo)彈末端攻擊角度θf；給定攻擊時間估計的精度ε。

2) 計算下列各式

kL=tanθf

η=arctan[(y0-yT)/(x0-xT)]

(yT-y0-kLxT)2

3) 計算下列各式

∠ATS=η-θf

Δya=kLΔxa

4) 按步驟3)再算一遍，類似算得

5) 計算均值

7) 迭代結(jié)束。

上述迭代算法實質(zhì)上是先將非線性代數(shù)方程在近似解處線性化(注意當(dāng)近似解誤差較大時，線性化模型誤差也較大)，再通過求解線性代數(shù)方程得到近似解與精確解之間的偏差，并利用這一偏差對近似解進行修正(更新)，得到一個較精確的近似解，再將非線性代數(shù)方程在這個較精確的近似解處線性化(較精確的近似解處對應(yīng)的線性化模型誤差也較小)，隨著迭代過程的進行，線性化模型誤差越來越小，最終可得到一定逼近精度的數(shù)值解。這里的迭代算法依據(jù)直觀的經(jīng)驗法則，雖然未能針對迭代算法給出嚴(yán)格的收斂性分析與證明，但實踐證明這種處理方法的確非常有效。本文迭代算法的處理思路與文獻(xiàn)[22]的處理思路有點類似，但要解決的問題不同,文獻(xiàn)[22]是為了估算慣性導(dǎo)航位置誤差。

3 軌跡跟蹤

假想虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈同時從導(dǎo)彈起點S(x0,y0)出發(fā)，它們的飛行速度大小相同。虛擬目標(biāo)嚴(yán)格沿著規(guī)劃的軌跡飛行。如果導(dǎo)彈與虛擬目標(biāo)的初始速度方向相同，它們受到的側(cè)向加速度也相同，則導(dǎo)彈也嚴(yán)格沿著規(guī)劃的軌跡飛行，虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的位置在任何時刻都是重合的。但在實際飛行中，虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的初始速度方向可能不相同，使其飛行軌跡偏離規(guī)劃的軌跡。

本文針對圓弧段提出一種基于虛擬目標(biāo)的跡跟蹤控制方案——一種前饋加反饋的復(fù)合控制方案，前饋控制量即虛擬目標(biāo)的側(cè)向加速度，反饋控制即虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的飛行航跡角之差的比例控制。考慮到軍艦是可以移動的，且反艦導(dǎo)彈的命中精度又必須足夠高，因此，通過圓弧段虛擬目標(biāo)軌跡跟蹤控制、基本滿足到達(dá)時間和攻擊角度的要求之后，在直線段必須切換到導(dǎo)引頭末端導(dǎo)引——一種帶角度控制的比例導(dǎo)引方案，直接攻擊真實目標(biāo)，以保證足夠的命中精度。

1) 圓弧段的軌跡跟蹤控制

虛擬目標(biāo)的運動方程為

虛擬目標(biāo)的初始條件為

初始位置：(xt(0),yt(0))=(x0,y0)。

∠ATS=η-θf

ξ(0)=∠AST+∠ATS

虛擬目標(biāo)的初始飛行航跡角為

θt(0)=ξ(0)+∠AST+η

T1=(2R/VM)ξ(0)

導(dǎo)彈的運動方程為

導(dǎo)彈運動的初始條件為

(xM(0),yM(0))=(x0,y0)

θM(0)=θt(0)+ΔθM(0)

式中：ΔθM(0)為假設(shè)的導(dǎo)彈的初始航向誤差。

轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律為

aM=at+kp(θM-θt)

(37)

下面基于Lyapunov穩(wěn)定性理論對式(37)所示的轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律進行嚴(yán)格證明。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，制導(dǎo)律式(37)能夠迫使導(dǎo)彈沿著圓弧段飛行且使θM→θt。

2) 在直線段帶角度控制的比例導(dǎo)引

(38)

4 可能的軌跡成型情形及可行的攻擊時間

根據(jù)彈目相對位置關(guān)系及落角的正負(fù)，有4種可能的軌跡成型情形：情形A、情形B、情形C、情形D(詳見下文)。

情形A對應(yīng)于圖1，目標(biāo)點T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點S(x0,y0)的右邊，xT>0,yT≥0或者yT≤0,θf<0，這時

π/2>∠ATS=η-θf>0

θt(0)=ξ(0)+∠AST+η

情形B對應(yīng)于圖1關(guān)于橫坐標(biāo)軸鏡像對稱，目標(biāo)點T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點S(x0,y0)的右邊，xT>0,yT≥0或者yT≤0,θf>0，這時

π/2>∠ATS=θf-η>0

θt(0)=-ξ(0)-∠AST+η

情形C對應(yīng)于圖1關(guān)于縱坐標(biāo)軸鏡像對稱，目標(biāo)點T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點S(x0,y0)的左邊，xT<0,yT≥0或者yT≤0,θf>0，這時

π/2>∠ATS=θf-η>0

θt(0)=π-ξ(0)-∠AST+η

情形D對應(yīng)于圖1先關(guān)于縱坐標(biāo)軸鏡像對稱，再關(guān)于橫坐標(biāo)軸鏡像對稱，目標(biāo)點T(xT,yT)在導(dǎo)彈起點S(x0,y0)的左邊，xT<0,yT≥0或者yT≤0,θf<0，這時

π/2>∠ATS=η-θf>0

θt(0)=π+ξ(0)+∠AST+η

下面估算可行的攻擊時間范圍。

可行的攻擊時間tf的取值范圍為

tf≥tf,min

(39a)

tf,min=(dST/VM)×(∠ATS/sin∠ATS)

(39b)

式(39a)～式(39b)雖然是由圖1得到的，但對于情形A～情形D都是適用的。

5 仿真分析

不失一般性，取導(dǎo)彈M為原點(0,0) m，取迭代算法中攻擊時間估計的精度ε=0.01 s,仿真步長取為0.001 s。軌跡跟蹤控制與末制導(dǎo)律中，取kp=2 000,kz,p=2.5,kz,d=2.5。本節(jié)對文中4種情形均進行了仿真驗證。

5.1 情形A

取目標(biāo)T(5 000, 1 500) m，θf=-30°,tf=13 s，導(dǎo)彈初始飛行方向相對于理想規(guī)劃軌跡的偏差為ΔθM(0)=30°，導(dǎo)彈速度VM=500 m/s。仿真結(jié)果如圖2所示。用迭代算法迭代2次得到逼近點A(xa,ya)的坐標(biāo)為(4 017.6, 2 067.2) m，ξ(0)為57.2°，導(dǎo)彈的時間控制誤差不超過0.124 5 s。導(dǎo)彈相對于目標(biāo)的脫靶量為0.236 9 m(實際脫靶量應(yīng)該遠(yuǎn)小于該值，因為其值受到所取仿真步長大小的影響)。

本文仿真過程中沒有考慮導(dǎo)彈過載受限的情況。如果導(dǎo)彈過載受限,必然會延長將導(dǎo)彈實際飛行軌跡控制到理想飛行軌跡的時間，從而產(chǎn)生一定的時間控制誤差。當(dāng)導(dǎo)彈過載受限不大時，例如，在圖2(b)中，如果導(dǎo)彈過載限幅是8g，則導(dǎo)彈過載出現(xiàn)飽和的時間很短，約為0.1 s，這時對時間控制誤差的影響不大。但如果導(dǎo)彈過載能力嚴(yán)重不足，例如限幅到2g，則導(dǎo)彈過載出現(xiàn)飽和的時間較長，達(dá)到約0.6 s，這時對時間控制誤差的影響較大。為了避免出現(xiàn)這種情況，需要盡量減小導(dǎo)彈初始速度方向誤差，使其盡量與規(guī)劃軌跡的初始切線方向一致，從而降低初始時刻導(dǎo)彈的過載需求。

5.2 情形B～情形D

情形B的仿真分析取目標(biāo)T(5 000, -1 500) m，θf=30°，其他參數(shù)同情形A。仿真結(jié)果如圖3所示。用迭代算法迭代2次得到逼近點A(xa,ya)的坐標(biāo)為(4 017.6, 2 067.2) m，ξ(0)=57.2°。

情形C的仿真分析取目標(biāo)T(-5 000, -1 500) m，θf=30°，其他參數(shù)同情形A。仿真結(jié)果如圖4所示。用迭代算法迭代2次得到逼近點A(xa,ya)的坐標(biāo)為(-841.1, 901.2) m，ξ(0)=77.0°。

情形D的仿真分析取目標(biāo)T(-5 000, -1 500) m，θf=-30°，其他參數(shù)同情形A。仿真結(jié)果如圖5所示。用迭代算法迭代3次得到逼近點A(xa,ya)的坐標(biāo)為(-4 018.8, -2 066.5) m，ξ(0)=57.2°。

由仿真曲線可以看出，各種情形都得到了正確的仿真結(jié)果。

6 結(jié) 論

1) 給出了一種同時滿足攻擊角度和攻擊時間約束的軌跡成型方法及其迭代求解算法。

2) 給出了一種基于虛擬目標(biāo)跟蹤的圓弧段軌跡跟蹤復(fù)合控制方法，結(jié)合直線段的帶角度控制比例導(dǎo)引方法, 可以在滿足時間與角度控制約束前提下準(zhǔn)確命中目標(biāo)。

3) 分析總結(jié)了4種可能的軌跡成型情形及可行的攻擊時間范圍。

導(dǎo)彈在實際飛行過程中，除了虛擬目標(biāo)與導(dǎo)彈的初始速度方向可能不一致之外，導(dǎo)彈還可能受到外界的干擾(例如風(fēng)的干擾)，導(dǎo)彈的飛行速度也可能是時變的，目標(biāo)也可能是運動的，這些因素都會直接導(dǎo)致產(chǎn)生時間控制誤差。如何進一步將本文的離線軌跡成型算法擴展成為在線軌跡成型算法，以消除上述因素產(chǎn)生的時間控制誤差，是值得進一步研究的問題。