摩擦因數對摩擦自激振動影響規律的數值分析

錢韋吉， 黃志強

(西南石油大學 機電工程學院，成都 610500)

在生產和工程領域以及人們的日常生活中，由摩擦引起的振動現象無處不在。例如機床高速切削時，刀具與工件之間產生的振動現象[1]；高速列車在過彎和加減速過程中產生的輪軌振動[2-3]；汽車在剎車過程中產生的尖叫噪聲[4]等，這些現象都與摩擦引起的自激振動息息相關。在大多數情況下，摩擦自激振動會加劇摩擦接觸面的磨損現象，并帶來噪聲等環境問題。因此，如何抑制和消除這些廣泛存在的摩擦自激振動現象一直是摩擦學研究中的一個重要主題。

為了揭示摩擦自激振動的產生機理，找到從源頭上抑制摩擦自激振動的方法，人們建立了一系列的摩擦模型來探索和解釋摩擦自激振動現象，例如黏滑摩擦模型[5]、摩擦力-相對滑動速度負斜率摩擦模型、自鎖-滑動摩擦模型[6]、模態耦合摩擦模型、摩擦力時滯效應摩擦模型[7]、含摩擦振子的混沌行為模型[8]等十余種摩擦模型。到目前為止，摩擦自激振動的產生機理任然未被深入揭示，大部分摩擦模型僅能解釋摩擦自激振動產生的過程中的個別現象，并未得到一種系統性的規律。然而，上述摩擦模型都有一個比較統一的結論是：摩擦因數的變化對摩擦自激振動現象的產生和消失起著至關重要的影響。

目前，對摩擦自激振動的研究主要通過試驗方法和數值模擬的方法進行[9-10]。試驗方法可以直觀準確的測定摩擦自激振動發生時的振動頻率、振幅和摩擦力等參數。但是，對于在摩擦自激振動產生過程中的一些關鍵參數，例如接觸表面之間的摩擦因數，很難進行精確的控制。為了解決實驗過程中難以控制關鍵參數的缺陷，數值模擬的方法也被廣泛應用于摩擦自激振動的研究當中[11-12]。有限元方法由于可以正確的反應系統的自然頻率和彈性模態，逐漸成為摩擦自激振動研究過程中的主要數值模擬方法[13-14]。摩擦自激振動的有限元分析法主要有兩種：復特征值分析(Complex Eigenvalue Analysis)[15-16]和瞬時動態分析(Dynamic Transient Analysis)[17]。復特征值分析的理論基礎是摩擦接觸面之間的一個線性假設。它只能在穩態滑動或接近穩態滑動的情況下能獲得比較精確的結果。針對復特征值分析方法的缺點，人們提出了一種非線性的瞬時動態分析方法，這種方法最早由Nagy等在1994年應用于汽車制動尖叫噪聲的有限元預測模型中。復特征值分析存在的很多缺點都可以使用瞬時動態分析來克服。

針對試驗過程中難以對摩擦因數進行有規律的調節的缺點，本文建立了金屬往復滑動試驗臺的有限元分析模型，分別采用瞬時動態分析和復特征值分析的方法，研究了在摩擦因數規律變化的條件下，摩擦自激振動在時域和頻域上的變化規律，及其對應的振動模態的變化規律。

1 金屬往復滑動摩擦試驗系統

金屬往復滑動摩擦試驗系統的基本結構，如圖1(a)所示。該裝置主要由力傳感器、主動和被動試件、試件支架、動作器和加速度傳感器等組成。力傳感器上端被固定在試驗臺的橫梁上，下端連接被動試件支架，被動試件被牢固的粘貼在被動試件支架上，主動試件使用螺栓夾緊的方式安裝在主動試件支架上，主動試件支架安裝在試驗臺的動作器上。動作器帶動主動試件做上下往復滑動，其位移按正弦規律變化。被動試件與主動試件之間的法向載荷施加在被動試件支架的背面，靠近被動試件上下對稱面位置。被動件和主動件的材料均為45號鋼，主動件尺寸為40 mm×40 mm×40 mm，被動件的尺寸為20 mm×10 mm×10 mm。主動試件和被動試件之間的接觸面的表面粗糙度均為Ra=0.1 μm。在被動試件支架的背面，分別安裝有兩個壓電加速傳感器，用于測量試驗系統在法向和切向上的振動加速度。試驗的往復滑動行程為：1 mm，振幅D= 0.5 mm，頻率f=2 Hz，法向力Fn=100 N，試驗是在開放式大氣環境條件下進行的。

當主動試件和被動試件之間產生往復滑動時，試驗系統很容易發生摩擦自激振動，試驗結果如圖2所示。從圖2(a)和圖2(b)可知，摩擦自激振動主要發生在主動試件向上滑動的過程中。這一現象可以用自鎖-滑動摩擦模型進行解釋。試驗系統的機構運動示意圖，如圖1(b)所示。由于力傳感器的剛度較小，可以被簡化為一個鉸支座；被動試件支架可以簡化為一根長度為l的彈性桿，它與主動試件滑動方向的夾角為θ；主動試件沿著豎直方向做上下往復滑動。被動試件在背面受到法向壓力P的作用，在接觸面上受到法向反力N的作用，當主動試件向上滑動時，被動試件所受摩擦力F豎直向上。在鉸支座的回轉中心點處，可以建立如下的力矩平衡方程

Plcosθ+Flsinθ-Nlcosθ=0

(1)

F=Nμ

(2)

式中：μ為摩擦因數；消去式(1)中的法向反力N，可得

F=μP/(1-μtanθ)

(3)

圖1 試驗裝置Fig.1 Test apparatus

當θ滿足一定的范圍時(tanθ→1/μ)，會使摩擦力F變得非常大。如果被動試件支架是一根剛性桿，系統將會發生自鎖現象。然而，實際上被動件支架為一根彈性桿，在較大的摩擦力的作用下，會發生彈性變形，進而形成“自鎖-變形-滑動”這一循環過程，從而產生摩擦自激振動。當主動件向下滑動時，被動試件所受摩擦力F方向向下，F=μP/(1+μtanθ)，不滿足系統自鎖的條件，因此沒有出現自激振動。圖2(c)和圖2(d)分別為圖2(a)和圖2(b)所示振動加速度的功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)分析結果。PSD分析顯示，試驗系統發生摩擦自激振動時，其主要振動頻率為3 403.32 Hz，切向振動頻率為3 437.5 Hz。這一分析結果表明當摩擦自激振動出現時，其法向振動頻率與切向振動頻率非常接近，法向振動與切向振動的耦合也可能是摩擦自激振動產生的一種原因。

圖2 試驗實測結果，Fn=100 N, f =2 Hz, D=0.5 mm, μ=0.38Fig.2 Experimental results, Fn=100 N, f =2 Hz, D=0.5 mm, μ=0.38

2 金屬往復滑動系統的有限元建模

通過對試驗系統的各主要部件(力傳感器、被動試件支架、主動試件支架、主動和被動試件)進行仔細測量，建立了試驗系統的1∶1有限元模型，如圖3(a)所示。有限元模型的參數設置如下：主動試件與被動試件采用相同的材料屬性，密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3。法向壓力和運動參數的設置與試驗相同。模型采用8節點六面體縮減積分單元，整個模型共有154 618個單元。有限元模型的邊界條件，如圖3(b)所示。力傳感器的中心孔被施加了固支邊界條件(encastre)，主動件支架的底部被施加了位移約束(X和Z方向)。速度邊界條件也被施加在了主動件支架的底部(Y方向)，主動試件的速度變化規律為正弦規律。法向載荷(X方向)被施加在了被動件支架的背部。

圖3 往復滑動系統的有限元模型Fig.3 Model of the reciprocating sliding system

3 瞬時動態分析

3.1 摩擦自激振動瞬時動態分析簡介

本文采用ABAQUS/ Explicit有限元分析軟件對摩擦自激振動現象進行瞬時動態分析。在分析過程中，兩個滑動表面之間的摩擦力Fi通過庫倫摩擦定律進行計算。其計算公式為[18]：

(4)

在有限元分析過程中，式(4)必須進行線性化，其線性化的過程是直接對摩擦力函數進行微分，式(4)的線性化表達式如下

dFi=(μ+(?μ/?p)p)nidp+

(5)

式中：第一項(μ+(?μ/?p)p)nidp將在摩擦系統的剛度矩陣中產生非對稱項，使系統具有產生模態耦合現象的可能性，進而產生摩擦自激振動；第二和第三項作用于摩擦系統的阻尼矩陣。

摩擦自激振動的時域響應采用顯式時間積分法進行計算，在此過程中，系統的平衡方程可以寫為如下形式

(6)

(7)

式中：[C]為系統的阻尼矩陣；[K+Kf]為系統的剛度矩陣，其中Kf為式(5)的第一項在剛度矩陣中產生的非對稱項。

使用中心差分法對式(6)進行顯式時間積分

(8)

(9)

3.2 有限元預測振動與實測振動的比較

為了驗證有限元分析模型能否正確地預測摩擦自激振動，作者對試驗實測結果和有限元瞬時動態分析結果進行了對比。有限元瞬時動態分析結果，如圖4所示。對比圖2和圖4可知，試驗結果和有限元瞬時動態分析結果在時域和頻域上都得到了很好的吻合。在時域上，試驗結果和有限元分析結果均顯示摩擦自激振動發生在主動試件向上運動的階段。并且，有限元分析結果和實測數據的振幅都在同一個數量級上。在0～0.25 s的上行程階段，實測振動加速度振幅的均方根為87.71 m/s2(法向)和14.84 m/s2(切向)。有限元預測的振動加速度振幅的均方根為95.54 m/s2(法向)和25.21 m/s2(切向)。在頻域上，實測數據顯示測試點的法向振動頻率為3 403.32 Hz，切向振動頻率為3 437.5 Hz。有限元分析結果顯示測試點的法向和切向振動頻率均為3 344.73 Hz。有限元分析結果更進一步的說明了，當摩擦自激振動產生時，系統的法向振動和切向振動發生了耦合。通過上述對比分析，可以說明有限元分析模型能準確的預測出摩擦自激振動的幅值和頻率，以及摩擦自激振動的出現時間，驗證了有限元分析模型的正確性。

圖4 有限元瞬時動態分析預測結果，Fn=100 N， f=2 Hz， D=0.5 mm， μ=0.38Fig.4 Dynamic transient analysis results, Fn=100 N， f=2 Hz， D=0.5 mm， μ=0.38

3.3 時域分析結果及討論

摩擦因數的變化對摩擦自激振動的產生有非常重要的影響。然而，在試驗過程中很難對接觸面之間的摩擦因數進行精確控制。在有限元分析過程中，這一問題迎刃而解。圖5顯示了金屬往復滑動系統在不同摩擦因數條件下的法向振動情況。當摩擦因數較小時(μ<0.25)，系統在往復滑動的過程中是穩定的，沒有摩擦自激振動現象產生，如圖5(a)所示。隨著摩擦因數的增大(0.25<μ<0.38)，金屬往復滑動系統逐漸產生了不連續的摩擦自激振動。并且，系統的振幅隨著摩擦因數的增大而增大，如圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)所示。隨著摩擦因數的繼續增大，當μ>0.38時，金屬往復滑動系統的摩擦自激振動現象由不連續變為連續，如圖5(e)和圖5(f)所示。

金屬往復滑動系統的振動加速度的振幅也隨著摩擦因數的增大而發生了改變，如圖6所示。從圖6可知，當摩擦因數0.25<μ<0.35時，測試點的振幅隨著摩擦因數的增大而緩慢增大。此時，金屬往復滑動系統產生不連續的摩擦自激振動。當摩擦因數0.35<μ<0.38時，系統產生的摩擦自激振動迅速的由不連續變為連續，在這一階段，摩擦自激振動的振幅也呈指數型增大。當摩擦因數0.38<μ<0.65時，系統發生連續的摩擦自激振動，在這一階段，隨著摩擦因數的增大，系統的振幅僅小幅增大。

圖5 測試點在不同摩擦因數條件下的法向振動加速度，Fn=100 N, f=2 Hz, D=0.5 mmFig.5 Evolution of vibration accelerations for different friction coefficient, Fn=100 N, f=2 Hz, D=0.5 mm

從上述分析可知，摩擦因數對摩擦振動的連續性和振幅有非常顯著的影響。當摩擦系統在摩擦力的作用下產生自激振動時，振動不是瞬間產生的，而是要經歷三個階段：產生不連續的小幅振動；振動由不連續變為連續且振幅劇烈增大；持續穩定的自激振動。產生這三個不同的振動階段的原因是：當摩擦因數較小時，摩擦力向系統輸入的能量較小，還不能使系統完全失穩，系統在短暫失穩以后會立刻回歸穩定，因此，此時產生的振動是不連續的，并且振幅較小。隨著摩擦因數的增大，摩擦力向系統輸入的能量逐漸變大，當摩擦因數增大到一定程度時，系統達到失穩的臨界點，此時系統的振幅快速增大，并且振動由不連續變為連續。最終，摩擦力的輸入能量與系統振動產生的耗散能量達到平衡，產生持續而穩定的摩擦自激振動。

隨著摩擦因數的改變，金屬往復滑動系統的摩擦自激振動頻率也發生了無規律的小幅變化，如圖7所示。從圖7可知，摩擦因數的變化對摩擦自激振動頻率的影響相對較小，其主要振動頻率集中于約3 300 Hz。

圖6 測試點法向振動的振幅在不同摩擦因數條件下的變化情況Fig.6 Variation of the amplitudes of the vibration acceleration with friction coefficient

圖7 測試點法向振動的頻率在不同摩擦因數條件下的變化情況Fig.7 Variation of the vibration frequencies with friction coefficient

4 復特征值分析

4.1 摩擦自激振動復特征值分析簡介

復特征值分析主要用于分析摩擦系統在頻域范圍內的穩定性，找到摩擦系統在一定條件下最容易發生摩擦自激振動的頻率以及對應的振動模態。復特征值分析的計算過程中，接觸表面之間摩擦力的計算方法同瞬時動態分析時采用的方法是一致的，同樣會在系統的剛度矩陣中產生非對稱項，其運動方程可以寫為如下形式

(10)

式中：[M]為系統的質量矩陣；[C]為系統的阻尼矩陣；[K+Kf]為系統的剛度矩陣；x為系統的節點位移向量；Kf為由包含摩擦力作用的非對稱項。式(10)對應的特征方程可寫為

([M]λ2+[C]λ+[K+Kf])φ=0

(11)

由于系統的剛度矩陣[K+Kf]為非對稱的，這使得式(11)的特征值有可能出現復數。因此，式(10)的通解即可寫為

x(t)=∑φiexp(αi+iωi)t

(12)

式中：t為時間；αi+iωi=λi為式(11)的特征值。從式(12)可知，當復特征值αi+iωi出現正實部時，系統可能會出現失穩現象。在這種條件下，一個非常小的擾動也會使系統產生振幅越來越大的自激振動，這種振動即為摩擦自激振動。因此，復特征值分析可以預測摩擦系統在某一頻率發生摩擦自激振動的可能性。一般采用等效阻尼比ζ的形式來表達摩擦系統產生摩擦自激振動的可能性。

ζ=-2Re(λ)/|Im(λ)|

(13)

等效阻尼比越小，摩擦系統越容易發生摩擦自激振動。

4.2 頻域分析結果及討論

在主動試件上行程階段，往復滑動系統第1階～第16階振動模態的頻率隨摩擦因數變化的情況，如圖8(a)所示。從圖8(a)可知，當主動試件與被動試件之間的摩擦因數μ≥0.3時，系統的第14階振動模態和第15階振動模態發生了耦合。在這種情況下，系統的復特征值實部會出現正值，從而引發系統失穩，產生自激振動。μ=0.3時，系統的摩擦自激振動頻率為3 423.2 Hz，隨著摩擦因數的增大，振動頻率發生了微小的變化。系統的等效阻尼比隨摩擦因數變化的情況，如圖8(b)所示。當摩擦因數μ<0.3時，系統的等效阻尼比為0，說明系統是穩定的。當摩擦因數μ=0.3時，模態耦合現象產生，系統的等效阻尼比ζ變為負值，系統出現了不穩定的自激振動。當摩擦因數0.3<μ<0.4時，等效阻尼比急劇減小，說明系統產生摩擦自激振動的可能性急劇增大。當摩擦因數μ>0.4時，系統的等效阻尼比變化趨于平緩。這一現象與瞬時動態分析結果(見圖6)相吻合。在主動試件下行程階段，復特征值分析顯示系統并未出現模態耦合現象，因此不會發生摩擦自激振動。

圖8 復特征值分析結果Fig.8 Complex eigenvalue analysis results

隨著摩擦因數的變化，金屬往復滑動系統的振動模態也隨之發生變化，如圖9所示。圖中U1，U2和U3這三個參數分別對應系統在X，Y和Z三個方向上節點的模態位移。復特征值分析結果顯示，當摩擦因數0.3<μ<0.36時，系統的振動模態，如圖9(a)所示，對應瞬時動態分析結果，系統此時發生的是不連續的摩擦自激振動。從圖9(a)可知，系統的振動主要發生在X(U1)方向和Y(U2)方向。當摩擦因數0.36<μ<0.38時，系統的振動模態發生了一定的變化，如圖9(b)所示。其振型變化主要發生在被動試件及其支架上，主動試件及其支架的振型變化不大。并且，系統的振動同樣主要發生在X方向和Y方向上。對應瞬時動態分析結果，摩擦自激振動此時正在由不連續變為連續。當摩擦因數0.38<μ<0.65時，系統的振動模態也發生了一定的變化，如圖9(c)所示。此時，主、被動試件及其支架的振型均發生了一定的變化，系統的振動同樣集中在X方向和Y方向上。對應瞬時動態分析結果，此時系統發生的是連續的摩擦自激振動。結合瞬時動態分析結果和復特征值分析結果，可以發現，隨著摩擦接觸面之間的摩擦因數μ的增大，當系統發生摩擦自激振動以后，會經歷不連續的小幅振動，振幅劇烈增大，連續穩定的自激振動三個階段。并且，在這三個階段中，系統的振動模態并不相同。在此過程中，摩擦自激振動的頻率和振動方向不會發生顯著變化。

圖9 在不同摩擦因數條件下的系統振動模態Fig.9 Evolution of mode shape of the reciprocating sliding system for different friction coefficient

5 結 論

本文分別使用瞬時動態分析法和復特征值分析法對金屬往復滑動系統產生的摩擦自激振動進行了有限元分析，研究了摩擦因數對摩擦自激振動的影響規律。結論歸納如下：

(1)隨著接觸面之間的摩擦因數的增大，當系統發生摩擦自激振動以后，會經歷以下三個階段：①發生不連續的摩擦自激振動，在這一階段摩擦自激振動的振幅較小且不連續；②摩擦自激振動由不連續變為連續，在這一階段摩擦自激振動的振幅呈指數型增大；③發生穩定連續的摩擦自激振動。

(2)在不同的階段，摩擦系統對應的振動模態會發生改變。

(3)摩擦因數的變化對摩擦自激振動的頻率和主要振動方向影響較小。