航空輸流管道動力學的非參模型研究

曹建華， 劉永壽， 劉 偉

(1. 西北工業大學 力學與土木建筑學院，西安 710029; 2. 黃山學院 機電工程學院，安徽 黃山 245021)

輸流管道在工業和日常生活中應用非常廣泛，其流致振動現象引起了眾多的研究，取得了很大的成果。Paidoussis[1]在其專著中總結了輸流管道研究結果，并細致分析了各類線性和非線性的問題。Yu等[2]研究在有外部移動載荷的情況下，彈性基礎上的輸流循環管道的振動波傳播。Chang等[3]建立了基于軸線不可伸縮時三維非線性直管微分方程，并研究在基礎激勵下管道響應。Kheiri等[4-5]采用廣義哈密頓方法推導輸流管道的運動方程，并與其他方程進行對比。Qian等[6]分析了輸流直管在非線性基礎上的動力學行為。王琳等[7-8]采用伽遼金方法研究了輸流直管在軸向分布力作用下的顫振失穩問題。Ghayesh等[9]推導了基于軸線可伸縮假充下三維非線性直管微分方程，并與軸線不可伸縮假設相對比。

目前，大部分輸流管道研究都是參數確定的動力學分析，然而，在航空工業中，輸流管道一般是由卡箍支承，由于各種不確定性因素存在，比如卡箍的材料、結構和力學性能等因素，導致數值計算誤差較大，需采用考慮系統誤差的模型，如非參模型(Nonparametric Model)[10-11]，以便更加準確地預測管路振動特性。本文針對兩端由卡箍夾緊的航空輸流直管，考慮不確定性，采用非參方法進行輸流管道的動力學研究。在航空系統中，支承輸油管道的卡箍，一般簡化為簡單支撐，在本文中，將卡箍簡化為簡支和扭轉彈簧，在此不采用參數隨機的方法時行仿真，而采用不確定性的非參模型方法[12-13]建模，研究輸流直管的振動特性。非參方法已經被Ritto等[14-15]應用于求解流速的不確定性求解。

1 輸流管道的均值模型有限元格式

如圖1所示，水平放置的輸流管道長為L，單位長度的流體質量和管道質量分別為mf,mp，兩端有扭轉彈簧，其扭轉剛度為kt，管內流體流速為U，忽略重力影響，根據Hamilton原理[16]

圖1 兩端有扭轉剛度的輸流管道模型Fig.1 The geometry of a fluid-conveying pipewith clamps at two ends

(1)

其中,

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：E為彈性模量;I為截面慣性矩。經過變分可得控制微分方程為

(6)

式(6)與Paidoussis研究中的直管方程一致。邊界條件為

z=0,w(0)=0,EIw″(0)=ktw′(0)
z=L,w(L)=0,EIw″(L)=-ktw′(L)

(7)

本文采用小波有限元對輸流管道進行離散。利用尺度j為3，階數m為4的樣條小波尺度函數作為插值函數，其理論參考文獻[17-20]，其位移表達式為

(8)

定義單元qe為

qe=[w(ξ1)w′(ξ1)/lew(ξ2) …w(ξn)w(ξn+1)w′(ξn+1)/le]T

(9)

式中:le為單元長度；ξi=(i-1)/2j,i=1, …, 2j+1。

將式(9)代入式(8)，可以得到

qe=Reae

(10)

其中，

Re=[ΦT(ξ1)Φ′T(ξ1)/leΦT(ξ2) …ΦT(ξn)ΦT(ξn+1)Φ′T(ξn+1/le)]T

(11)

將式(10)代入式(8)

w(ξ,t)=Φ(Re)-1qe=Nqe

(12)

式中：N=Φ(Re)-1為形函數。

采用傳統有限元方法過程，將式(6)進行離散，得到單元矩陣，單元離散方程為

(13)

式中：小波單元質量矩陣、小波單元阻尼矩陣、小波單元剛度矩陣和小波單元受力向量分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：()’為關于ξ的導數；()為對時間t的微分;ξ=ze/le(0≤ξ≤1);le為單元長度;ze(0≤ze≤le)為單元局部坐標。

(18)

均值(參數確定)模型的輸流管道頻率響應為

(19)

(20)

2 輸流管道剛度矩陣的隨機模型

(21)

隨機矩陣[Kg]可以表示為

(22)

采用最大熵原理，構建[G]的概率密度函數表達式為

(23)

式中:n為矩陣[G]的維數，CG表達式為

(24)

式中：δ為耗散因子，其表達式為

(25)

在系統中，系統質量矩陣Mg和系統阻尼矩陣Cg不變，僅有[Kg]為隨機矩陣。由式(22)可知，當[G]為單位矩陣時，非參模型即退化為均值模型。輸流管道的隨機模型為

(26)

式中：Q(t)為相應輸流管道隨機模型的隨機響應，其頻域形式為

(27)

3 數值仿真

輸流管道幾何尺寸如下：L=2.032 m, 內徑為ri=0.122 m，ro=0.132 m。材料參數如下：流體密度為1 000 kg/m3，管道密度為7 850 kg/m3，管道的彈性模量E為210 GPa。本節采用非參模型，首先對兩端有扭轉彈簧的輸流管道時頻率響應，以及頻率隨流速的變化進行分析，其次對邊界不確定情況下的輸流管道非參模型研究。

為了方便，定義無量綱頻率

(28)

無量綱流速表達式為

(29)

式中：ω為頻率。

圖2 均值模型和可信區間為99%非參模型的輸流管道頻率響應曲線Fig.2 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖3 輸流管道無量綱頻率實部隨流速變化比較(參數確定模型和可信區間為99%非參模型)δ[K]=0.001Fig.3 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖4 輸流管道無量綱頻率虛部隨流速變化(參數確定模型和可信區間為99%非參模型)δ[K]=0.001Fig.4 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖5中粗線表示可信區間為99%的頻率響應曲線，即在非參方法中，頻率響應有99%的概率在粗線包含區域中。均值模型的頻率響應曲線(虛線)被完整地包含在此區域中(見圖5)。由圖5也可知，隨著頻率增大，可信區域增大，不確定性對高階頻率影響大。

圖5 均值模型和可信區間為99%非參模型的輸流管道頻率響應曲線Fig.5 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖6 輸流管道無量綱頻率實部隨流速變化比較(參數確定模型和可信區間為99%非參模型)δ[K]=0.1Fig.6 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖7 輸流管道無量綱頻率虛部隨流速變化 (參數確定模型和可信區間為99%非參模型)δ[K]=0.1Fig.7 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

增大耗散因子δ數值，進一步分析其對數值結果的影響。當δ[K]=0.4時，非參模型的99%可信區間不能完美地包含均值模型的響應曲線(見圖8)。在非參模型中，頻率實部的可信區間總體上包含均值模型的曲線(見圖9)，而由圖10可知，頻率虛部的99%可信區間包含不了均值模型的曲線。增大耗散因子δ，并沒有像文獻[16]中針對Timoshenko梁，耗散因子越大，其均值模型就越穩定地被包含在非參模型的可信區間中。對于輸流管道，在文獻[14]中，其數值結果也僅僅考慮耗散因子δ=0.1。

圖8 參數確定模型和可信區間為99%非參模型的輸流管道頻率響應曲線Fig.8 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖9 輸流管道無量綱頻率實部隨流速變化比較(參數確定模型和可信區間為99%非參模型)δ[K]=0.4Fig.9 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

圖10 輸流管道無量綱頻率虛部隨流速變化 (參數確定模型和可信區間為99%非參模型)δ[K]=0.4Fig.10 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

4 結 論

針對兩端由卡箍夾緊的航空輸流管道，將卡箍簡化為簡支和扭轉彈簧，采用小波有限元方法將輸流管道系統進行離散，考慮不確定性，以非參方法進行輸流管道的動力學研究。

從數值結果可知，非參模型的可信區間完美包含均值模型的的頻率響應曲線，隨著頻率增大，不確定性對高階頻率影響大。對于頻率隨流速變化曲線，非參模型的可信區間完美地包含均值模型，隨著流速增大，不確定性對每階頻率的實部影響越來越小，而對每階頻率的虛部影響越來越大，且不確定性對發散和顫振失穩幾乎沒有影響。

對于輸流管道系統，耗散因子數值越大，其均值模型并不能更加穩定地被包含在非參模型的可信區間中。