基于范數歸一化和稀疏正則化約束的結構損傷檢測

駱紫薇， 余 嶺，2， 劉煥林， 潘楚東

(1.暨南大學 力學與建筑工程學院，廣州 510632； 2.暨南大學 重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣州 510632)

結構損傷檢測對結構安全和服役有著重要的意義，近年來引起眾多學者的廣泛關注和研究[1-5]。一些學者通過分析模態參數對結構參數改變的敏感度建立基于靈敏度分析的結構損傷識別方法[6-7]。由于損傷往往發生在結構局部，因此，將l1范數正則化方法運用到靈敏度分析能產生稀疏解，提高識別精度，改善問題的不適定性。但是，計算得到的靈敏度矩陣各列數值范圍相差較大，會致使稀疏求解過程計算效率和識別精度降低；同時，測量噪聲等因素影響導致識別結果出現損傷折減系數大于1或者小于0等不合理的情況。

本文通過增加范數歸一化與稀疏正則化約束，提出了一種結構損傷檢測方法。該方法在靈敏度矩陣修正的過程中，每次迭代均對靈敏度矩陣進行范數歸一化，并分別對稀疏求解過程、損傷折減系數改變量以及總損傷折減系數增加約束。稀疏求解過程的約束能限制迭代的方向，使得求解過程指向更加明確；牛頓迭代法約束通過減少步長來提高識別精度；總剛度折減系數約束能改善結果的不合理性。最后，通過三種不同結構數值仿真算例驗證了所提方法的有效性。懸臂梁結果表明范數歸一化能有效減少迭代成本，增加模型約束能明顯提高方法魯棒性；兩層剛架和二維桁架數值仿真進一步驗證了新方法的適用性和魯棒性。

1 結構損傷識別

1.1 靈敏度分析法

由于在實際工程中，結構發生損傷往往可以忽略質量變化，僅考慮剛度變化，因此，本文通過對彈性模量E的折減來描述結構單元的損傷過程。由有限元理論可得，結構的整體剛度矩陣可假設為

(1)

式中：Ki,αi分別為結構第i個單元的單元剛度矩陣和損傷折減系數；N為結構的單元數。

由此可得結構第r階特征值和第r階振型關于損傷折減系數的一階靈敏度計算公式分別為

(2)

(3)

式中：λr,φr(r= 1, 2, …,n)分別為結構的第r階特征值和第r階振型；n為結構的總自由度數，則一階靈敏度識別公式為

(4)

式中：Δfλ= {Δλ1, Δλ2, …, Δλm}T和Δfφ= {Δφ1, Δφ2, …, Δφl}T分別為結構損傷前后的特征值之差和振型差；m和l分別為計算時所采用的特征值階數和模態振型階數；Δα= {Δα1, Δα2, …, ΔαN}T為損傷折減系數改變量所構成的向量；S為結構的一階靈敏度矩陣。

由于SΔα和Δf是近似相等的關系，因此，需要對靈敏度矩陣進行迭代修正，即采用牛頓迭代法進行求解得到更精確的Δα。

1.2 稀疏正則化

由Tibshirani[8]提出的LASSO正則化方法(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，LASSO)，下文簡稱l1正則化方法，通過對回歸系數向量進行l1范數罰來壓縮回歸系數，并使絕對值較小的回歸系數被置零，從而實現回歸系數向量的稀疏化。對式(4)添加l1范數罰

min‖Δα‖1subject to‖SΔα-Δf‖2≤ε

(5)

式中：ε為識別結果與理論結果之間的允許誤差，其與測量噪聲有關。

式(5)可等價于以下的l1范數正則化問題

(6)

式中：β> 0為正則化參數；N為稀疏向量Δα的維數。

本文采用基于近似梯度方法及其變種形式的稀疏優化問題求解軟件包SLEP(Sparse Learning with Efficient Progections)[9]對式(6)進行求解，并采用最小信息準則[10](Akaike Information Criterion，AIC)選取最優正則化參數。

2 方法優化

2.1 范數歸一化

模態參數對各單元損傷的靈敏度不同，導致靈敏度矩陣各列的數值范圍可能存在較大差距。當用近似梯度方法進行迭代求解時，會導致梯度方向偏離最優解方向，使識別精度和速度受到影響。據此，本文對靈敏度矩陣各列進行范數歸一化處理，令每個迭代步的梯度方向基本指向最優。歸一化具體過程如下：假設把單元1～單元N的損傷折減系數改變量逐次設為1，可以得到此過程的損傷折減系數改變量矩陣為

(7)

式中：Δαnorm為N×N的單位矩陣; Δαi(i= 1, 2, …,N)為結構第i個單元發生完全損傷，其他單元無損時對應的損傷折減系數改變量。

把Δαnorm各列分別代入式(4)可得

SΔαnorm=[Δf1, Δf2, …, ΔfN]

(8)

式中：Δfi(i= 1, 2, …,N)對應于Δαi的結構模態變化量。

可以選取任意p(p≥ 1)范數進行范數歸一化，本文選取2-范數進行范數歸一化，定義范數歸一化向量為

P={‖Δf1‖2, ‖Δf2‖2, …， ‖ΔfN‖2}T

(9)

式中：║·║2為向量的2-范數。

對一階靈敏度矩陣S進行范數歸一化

(10)

式中:Si(i= 1, 2, …,N)為一階靈敏度矩陣S中第i列的所有元素；Se為范數歸一化后的一階靈敏度矩陣。ΔR和Δα之間的關系為

(11)

式中：ΔRi(i= 1, 2, …,N)為ΔR中第i個元素。

2.2 模型約束

2.2.1 稀疏正則化約束

上述方法對噪聲比較敏感，魯棒性較差。近似梯度法在噪聲的影響下，其搜索方向波動較大，容易出現誤判。本文創新性地對近似梯度法的每次迭代初值進行約束，使其只在約束區域內取值，保證了迭代方向的正確性，達到提高識別精度、減少誤判的目的。

稀疏正則化的迭代約束為

(12)

在軟件包SLEP求解Δαi的過程中，通過在每次迭代求解前設置初值約束，可達到約束迭代方向的目的。

2.2.2 牛頓迭代法約束

損傷結構的模態參數改變量與損傷折減系數改變量之間是非線性關系，采用靈敏度矩陣修正的靈敏度分析方法實際是利用牛頓迭代法把非線性關系近似為線性關系來尋求問題的解。計算過程中，牛頓迭代法的步長可能比實際損傷折減系數改變量大。加上噪聲的影響，由l1正則化方法求得的步長是不合理的，因此需要對牛頓迭代法的步長增加約束

-k≤Δαj≤k

(13)

式中:Δαj為牛頓迭代法第j次迭代的步長；k為牛頓迭代法每次迭代過程的步長范圍值，k越小則步長越小，但需要花費更多的迭代時間。

2.2.3 總損傷折減系數約束

由于噪聲對實測模態參數的影響，在靈敏度分析過程中，損傷折減系數有可能出現負值，這代表著結構損傷狀態的剛度大于無損狀態，是不合理的。因此，需要對每次迭代求得的總損傷折減系數增加約束

s≤γi≤1

(14)

式中：γi= 1-αi為某次迭代求得的第i個單元的總損傷折減系數；s=1-t為總損傷折減系數的最小值。

以上結構損傷檢測新方法流程圖如圖1所示。

圖1 結構損傷檢測流程圖Fig.1 Flow chart of structural damage detection

3 數值仿真

3.1 范數歸一化仿真結果分析

為了驗證所加范數歸一化的有效性，采用如圖2所示的懸臂梁數值算例。懸臂梁長0.7 m、寬0.05 m、高0.01 m，共分為10個單元，圈內數字為單元編號，其余為節點編號。各單元的彈性模量和密度分別是2.01×1011N/m2和7 800 kg/m3。對懸臂梁設置單損傷工況，第2單元損傷5%，取前三階頻率和振型作為輸入。在無噪聲的情況下考察范數歸一化對結構損傷識別結果的影響。識別結果的誤差計算公式為

(15)

(16)

圖2 懸臂梁有限元模型Fig.2 Finite element model of cantilever beam

識別結果如表1和圖3所示。歸一化前后靈敏度矩陣各列的范數值如圖4所示。從圖4可知，靈敏度矩陣各列的范數值隨著靈敏度矩陣修正過程而增大；雖然從圖3可知，在無噪聲的情況下，無范數歸一化和有范數歸一化的識別結果大致相同，但從表1可知，范數歸一化處理后能明顯減少迭代時間，提高識別精度。

表1 范數歸一化前后懸臂梁的損傷識別結果比較

圖3 懸臂梁的損傷識別結果(無歸一化與歸一化)Fig.3 Identified damage results of cantilever beam (non-normalization and normalization)

圖4 懸臂梁的范數歸一化向量結果圖(無歸一化與歸一化)Fig.4 Final norm normalized vector diagram of cantilever beam (non-normalization and normalization)

3.2 約束仿真結果分析

為了進一步驗證模型約束的有效性，在范數歸一化的基礎上，對懸臂梁設置單損傷工況，第5單元損傷60%，同樣取前三階頻率和振型作為輸入，在15%的噪聲水平下考察不同約束對識別結果的影響。

為了便于討論，本文在以下數值算例均考慮t=k=1-s的情況，且認為損傷率達到90%時，結構失效。

本文考慮噪聲的能量與頻率和振型改變的能量有關，將參與計算的頻率和振型按如下方式添加噪聲

(17)

(18)

所設置工況如表2所示。由于實際損傷程度未知，因此無法確定t的合適取值范圍，為方便起見，取t=0.9，即結構失效。其中工況2～工況4是只加稀疏正則化約束進行損傷識別；工況5是加稀疏正則化約束和牛頓迭代法約束進行損傷識別；工況6是同時添加三種約束進行損傷識別。

由圖5、圖6和表2、表3所示的識別結果可以看出，在無約束情況下，損傷識別結果嚴重失真，出現個別單元剛度強化(數值增長)和損傷單元剛度為負等不合理情況。比較工況2～工況4可知：當t過大，約束不夠強，損傷單元的識別精度并沒有很大的改善；當t過小，約束太強，近似梯度法在被限制的范圍內搜索不到最合適的解。比較工況3和工況5可以看出，在t和k的約束下，受損單元誤差和總誤差都降低了。在雙約束的基礎上，增加總損傷折減系數約束，避免了αi<0的不合理情況，且有效地減少了誤判。

表2 不同約束下懸臂梁的損傷識別結果比較

表3 懸臂梁工況1第一次迭代所得損傷折減系數

圖5 無約束下懸臂梁的損傷識別結果Fig.5 Identified damage results of cantilever beam under unconstraint condition

圖6 增加約束后懸臂梁的損傷識別結果Fig.6 Identified damage results of cantilever beam via adding constraint

3.3 方法適用性數值分析

t,k和s的取值影響到損傷識別結果，為了確定t,k和s的取值，先在t=k=1-s=0.9的約束下得到損傷識別結果，再由識別得到的單元最大損傷率δ得到t,k和s的取值：t=k=1-s≈δ+0.05。

3.3.1 懸臂梁模型損傷識別

如表4所示設置損傷工況，取懸臂梁前六階頻率和振型作為輸入，在不同的噪聲水平下考察噪聲對識別結果的影響。識別結果如表4和圖7所示。從中可知，噪聲對損傷識別結果影響不大，沒有誤判且能精確識別出結構的損傷程度，表明優化后的算法對懸臂梁進行損傷識別有較強的抗噪性。

圖7 懸臂梁工況3的損傷識別結果(10%的噪聲水平)Fig.7 Identified damage results of cantilever beam under case 3 with noise 10%

工況損傷程度/%t , k取值噪聲水平5%10%15%15單元損傷100.1510.04110.07810.1025單元損傷100.259.9619.9229.8848單元損傷2019.96619.93119.90035單元損傷50.254.9434.8914.8428單元損傷2019.96219.92119.8882單元損傷109.9489.9069.858

3.3.2 剛架模型損傷識別

進一步考察本文提出方法在圖8所示二層剛架模型[11]的適用性。

每層剛架的高和寬均為1.41 m。共分為18個單元，框內數字為單元編號，其余數字為節點編號，剛架其它參數見表5。取前六階頻率和振型作為輸入，如表6對剛架設置損傷工況，在不同的噪聲水平下考察噪聲對識別結果的影響。從圖9和表6識別可知，在噪聲的影響下，識別精度隨著噪聲水平的增大而下降，局部單元有損傷率較小的誤判出現，計算損傷與實際損傷存在上下波動，但仍能較為準確地識別損傷。

表5 剛架參數

圖8 剛架有限元模型Fig.8 Finite element model of rigid frame

圖9 剛架工況3的損傷識別結果(10%的噪聲水平)Fig.9 Identified damage results of rigid frame under case 3 with noise 10%

工況損傷程度/%t , k取值噪聲水平5%10%15%117單元損傷200.2520.00019.98919.982217單元損傷200.2520.01219.97219.9508單元損傷1010.14610.06510.287317單元損傷50.455.0765.087 65.047 18單元損傷4040.09540.24140.4055單元損傷109.7479.5539.272

3.3.3 桁架模型仿真

同樣，進一步以圖10所示二維桁架驗證所提損傷識別方法的適用性。

桁架總長為5 m，高0.5 m。共分為40個單元，其中圈內數字為單元編號，其余為節點編號。材料的彈性模量、密度和橫截面積分別是2.1×1011N/m2，7 800 kg/m3和0.003 m2。取前六階頻率和振型作為輸入，在不同的噪聲水平下考察噪聲的影響，如表7設置桁架的損傷工況。識別結果如表7和圖11所示。由表7和圖11可以看出雖然損傷識別結果出現少量誤判，但損傷識別結果精度較高，基本不受噪聲的影響。

表7 桁架損傷工況及損傷單元識別結果(損傷率%)

圖10 二維桁架有限元模型Fig.10 Finite element model of truss

圖11 桁架工況3的損傷識別結果(10%的噪聲水平)Fig.11 Identified damage results of truss under case 3 with noise 10%

3.3.4 仿真結果分析

由上述三個仿真算例的損傷識別結果可知：① 在各種噪聲水平下，所提方法均能有效定位損傷并精確識別損傷程度；②噪聲對損傷識別結果影響不明顯，表明所提方法具有較強魯棒性；③三種模型中，懸臂梁的損傷識別結果最好，剛架和桁架均存在小于1.5%的誤判，雖然單元損傷程度大小與實際損傷存在上下波動，但仍能較好地定位損傷和識別損傷程度。因此，所提方法在三種模型的數值仿真算例中均能有效且準確地識別損傷位置和損傷程度。

4 結 論

本文通過約束結構損傷識別稀疏解，提出了一種基于范數歸一化與稀疏正則化約束的結構損傷檢測方法。該方法通過對靈敏度矩陣修正迭代過程進行范數歸一化處理，并分別對稀疏解、損傷折減系數改變量以及總損傷折減系數增加約束，達到提高損傷識別效率和精度的目的。三種不同結構模型數值仿真算例驗證了所提方法的有效性、適用性和魯棒性。結論如下：

(1) 范數歸一化能把靈敏度矩陣各列的數值范圍控制在相同量級內，提高了方法的收斂速度和識別精度。

(2) 稀疏正則化約束參數t取值合理時，可以得到較準確的結構損傷識別結果；當不能確定稀疏正則化約束參數t的取值范圍時，可通過控制牛頓迭代法的步長k，對方法加強約束，獲得準確的損傷識別結果；增加總損傷折減系數約束s不僅能提高結果的合理性，而且能減少單元誤判，提高識別結果精度。

(3) 三種不同結構的數值仿真研究表明：本文所提方法既能有效定位結構損傷又能準確識別損傷程度，且對噪聲不敏感，具有較強魯棒性。