考慮售票策略的高速鐵路客流分配方法

趙 爍， 史 峰， 胡心磊， 徐光明， 單杏花

(1. 中南大學 交通運輸工程學院， 湖南 長沙 410075； 2. 中國鐵道科學研究院 電子計算技術研究所， 北京 100081)

鐵路客流均衡分配是旅客運輸優化組織的基礎理論與方法，可用于旅客列車開行方案、列車運行圖和售票組織策略的效益評價。早期的列車客流分配正是出現在列車開行方案優化研究中[1-8]，這些研究基于給定的列車開行方案構造旅客換乘網絡，設計旅客的出行廣義費用，包括票價支出、旅行時間和擁擠效應等，建立客流分配模型，將客流分配到列車運行區段上。為了在客流分配中引入列車運行時間信息，文獻[9-11]對列車開行方案與運行圖進行綜合優化。作為子問題，客流分配方法主要源于道路交通和公共交通的交通分配，考慮了車上的擁擠程度，未考慮時變出行需求。文獻[12]針對多類消費層次的出行旅客，建立體現服務水平差異性要求的客流分配模型，利用改進的蟻群算法和Frank-Wolfe構成的混合算法進行求解。

對于高速鐵路，一般不超員售票或嚴格限制超員人數，列車上不會出現明顯擁擠現象，這種列車上不擁擠的現象與既有客流分配問題的描述形成顯著差異。鐵路旅客出行并不是實時占用列車能力，而是在購票的一瞬間占用列車能力，高速鐵路的客流分配過程實際上就是旅客的購票過程，旅客總是在當前剩余能力范圍內，選擇最小費用的出行方案。隨著購票時間的推移，剩余能力不斷下降。鐵路企業采用若干售票策略，從滿足旅客出行需求和提高列車客座率的目標出發，在不同售票期內，將合適的車票賣給那些合適的旅客。另外，在旅客實際購票過程中，不同需求的客流會具有不同的購票特征，比如，長途客流的購票時間往往比短途客流會更早一些，在配流過程中還需要將這些特征融合進去。

由于每天大量開行的高速鐵路列車能夠滿足旅客出行需求，因此有必要進一步滿足旅客的時變需求。在針對時變出行需求的城際鐵路旅客乘車選擇研究中，Douglas等[13]采用屋頂方法(Rooftops)，將計劃到達時間劃分成若干個連續時間段，計劃到達時間處于同一時間段內的旅客選擇同一趟列車到達。為了解決時變出行需求的高速鐵路客流分配問題，Su等[14]以列車區段能力飽和為劃分節點，將旅客購票過程劃分為若干階段，每一階段中采用屋頂方法思想，將時變需求離散化并進行全有全無分配，直至全部出行需求分配完畢。在實際售票過程中，售票策略限制短途旅客購買長途列車的車票(能力富足的列車除外)，由于文獻[14]沒有考慮售票策略，勢必導致短途旅客參與競爭長途列車席位，存在降低長途列車客座率的可能性。

本文將鐵路售票策略嵌入到整個客流售票過程中，并根據不同OD客流的購票特征構造購票強度函數，將文獻[14]的高速鐵路客流分配方法擴展成為考慮售票策略的高速鐵路客流分配方法，使得高速鐵路客流分配方法與旅客購票過程更貼切，為列車運行圖和售票策略提供評價手段。

1 考慮售票策略的高速鐵路客流分配問題

最常用的售票策略包括票額計劃、限以遠站、票額共用、席位復用等。票額計劃是列車運能在列車沿途主要區段的分配計劃，即在列車的一些沿途區段分配一定額度的車票發售量。通常為了滿足長途客流，要求票額計劃吻合長途出行需求。當票額有一定的富余時，車票的終點站不一定為列車的終到站，但車票必須達到規定的里程，剛好達到規定里程的終點站稱之為限以遠站，車票的終到站必須是限以遠站或更遠的車站。隨著票額富余程度的變化，限以遠站也會相應地調整。當票額的富余程度很高時，車票的起點站和終點站都可以不受限制，只要位于票額區段范圍內即可，這就是票額共用策略。若發售了票額子區段的車票，則應將剩余區段繼續發售，這就是席位復用策略。

這些售票策略的合理運用，能夠最大限度地滿足旅客出行需求和提高列車客座率。在旅客購票過程中嵌入售票策略后，客流分配過程也相應地發生了變化：換乘網絡結構需要表現票額計劃和限以遠站，能力約束需要細化到每一項票額計劃，表現席位復用策略需要在客流分配過程中動態修正相關上車弧和通過弧的能力等。

其中，購票強度函數需要描述不同OD客流的購票特征。簡便起見，通常假設計劃出行時間與購票時間無關。

綜上所述，考慮售票策略的高速鐵路客流分配問題可敘述如下：在給定開行的全部高速鐵路列車、旅客計劃出行時間分布函數以及鐵路企業售票策略條件下，根據不同OD客流的購票特征構造各OD購票強度函數。假設列車上不存在擁擠現象，旅客在購票瞬間占用全程的列車區段能力，任意購票時間的旅客總是基于當前剩余能力選擇最小費用方案出行(旅客出行費用包括旅客提前或推遲上車的出行時間偏差、換乘時間、票價開支和旅途出行時間等)。在列車定員的嚴格能力約束下，求解列車上的客流分配方案。

本文的旅客出行方案，可以根據旅客起始站上車時間為分界點，分解為兩個子方案。前者從計劃出行時間至起始站上車時間，后者從起始站上車時間至終到時間。相應地，旅客最優出行方案包括最優起始站上車方案和最優換乘方案。通過設計基于售票策略的換乘網絡，可以將最優換乘方案描述為最短路來求解，再借助于屋頂方法可求出最優起始站上車方案。

2 考慮售票策略的換乘網絡

旅客出行過程包括上車、通過、換乘、候車和終到，結合票額計劃、限以遠站、票額共用和席位復用策略，設計考慮售票策略的換乘網絡。下面，先設計考慮票額共用的換乘網絡，再擴展為考慮一些典型票額計劃的換乘網絡。

2.1 考慮票額共用的網絡結構

票額共用是指列車能力完全向各點對的旅客開放，旅客可以不受任何制約地購買列車席位的任意一段車票。這樣的換乘網絡具有最簡單的結構。

根據高速鐵路網絡(V,E)和列車集Ω，構造旅客換乘網絡(S,A)，S為時空節點集，A為時空弧集。時空節點集S包括全部列車T∈Ω在沿途各站的到達和出發時空節點，還包括每個車站s∈V作為旅客出行終點s和時間對應的虛擬時空節點s=(s,)，即

時空弧集A包括上車弧集、通過弧集、候車弧集、換乘弧集和終到弧集，具體定義如下：

所以，時空弧集A=Aboard∪Await∪Atran∪Apass∪Aend按照上述方法構造的換乘網絡(S,A)示意圖，見圖1。圖1中的考慮票額共用的1列列車的局部網絡見圖2。

綜合網絡結構和能力可以看出，列車能力可以為任何旅客提供服務，即換乘網絡(S,A)體現了票額共用策略。

2.2 考慮票額共用的網絡費用

旅客出行費用參數包括列車票價率和車站換乘費用，其中列車票價率為rp(T)，以政府公布的平均小時工資獲取單位時間價值w。換乘費用是指旅客在車站內換乘的時間和風險費用，其中換乘風險是指能否順利搭乘下趟列車所承擔的風險，或者是指一次換乘給出行者帶來的額外負擔(在同城異站之間的換乘費用還包括市內換乘費用，根據市內最小換乘時間確定)。以車站v的規模確定車站換乘風險費用ρ(v)，車站v可分為4類，第一類為特大城市主要車站，第二類為省會級城市主要車站，第三類為地市級城市主要車站，第四類為剩余的其他車站。當車站類別編號從大至小時，車站到發列車數量逐漸增加，換乘風險費用ρ(v)越來越小。

定義弧集A中所有弧的費用如下

對于OD對(r,s)的旅客，如果相繼換乘列車區段T1(i1,j1),T2(i2,j2),…,Tu(iu,ju)后到達終點，對應換乘網絡(S,A)中路徑的費用為

2.3 考慮典型票額計劃的換乘網絡

對于一些典型票額計劃，與考慮票額共用的換乘網絡構建方法相類似，也包括每一列列車的局部網絡，再用候車弧、換乘弧和終到弧將它們連接起來。不同的票額計劃的列車的局部網絡具有一些差別。下面考慮兩種典型票額計劃介紹設計列車局部網絡。

3 出行時間的最優劃分

x∈[t1,t2]

( 1 )

除了xrs0=t1,xrsMr=t2已經確定以外，還需求解xrsm,1≤m≤Mr-2。由于xrsm是區間[xr,s,m-1,xrsm]和[xrsm,xr,s,m+1]的公共點，所以xrsm滿足

由此可得

4 階梯化時變需求強度函數

對于任何OD對(r,s)∈RS，若將時變需求強度函數frs(x)和grs(y)表示為階梯函數，則可大幅減少客流分配的計算量。不僅是因為降低了積分的運算量，只要不同OD對的購票強度函數具備統一的階梯分段間隔，在每一個階梯分段內，都可以采用各OD對等比例分配的快速方法進行客流分配。只要階梯函數的劃分間隔充分小，階梯函數與原函數的誤差也會較小。

在討論時變需求強度函數階梯化轉換之前，先給出購票強度函數的表示形式。由于行程越長的旅客越早購票，對于行程越長的出行需求，購票強度函數的高峰購票時段越靠前，所以購票強度函數須滿足這個特點。

4.1 購票強度函數的構造

grs(y)=

( 2 )

和累積分布函數

Grs(y)=

( 3 )

參數λrs和krs的表達式如下

( 4 )

4.2 時變需求強度函數的階梯化轉換

對于關于計劃出行時間的時變需求強度函數frs(x)，通常以整點時間作為劃分節點，將計劃出行時間[t1,t2]劃分成若干階梯時段，生成frs(x)的階梯函數近似表示形式，關于計劃出行時間的階梯強度函數仍然記為frs(x)。最簡單的獲取方式就是從高速鐵路全年旅客購票數據中統計出每個OD對(r,s)、每個階梯時段的日均需求量，這樣的統計結果既能消除了每天出行量的差異，也能消除不同時期運行圖的差異。

( 5 )

5 考慮售票策略的客流分配方法

H=Aboard∪(∪{AT|T∈Ω})

( 6 )

式中：H包括了需要考慮能力限制的全部環節，環節e∈H的能力統一記為Ce。在第n階段開始時，記Fe(n)為通過環節e的總流量，其初值Fe(1)=0，并記未飽和環節集為

H(n)={e∈H|Fe(n)

( 7 )

顯然，H(1)=H。

( 8 )

( 9 )

(10)

令

(11)

(12)

若yn+1<0，則將階段數n增加1，重復上述分配過程；否則(yn+1=0)，加載完畢。

如果在上述過程中嵌入席位復用售票策略和限以遠站的調整，一般在某一購票時段開始時調整。

綜上所述，考慮售票策略的客流分配方法算法框架敘述如下：

Step1根據列車時刻表構造考慮售票策略的換乘網絡，對于任何e∈H，置Fe(1)=0。進入第n=1階段。

Step5根據席位復用和限以遠站等售票策略調整換乘網絡。

Step6若yn+1<0，則將階段數n增加1，轉Step2。

Step7對于未分配的剩余客流，在票額共用策略下重復執行上述過程，不論是否還存在剩余客流，算法終止。

6 實例分析

6.1 實例參數與配流方案

(1) 實例參數

采用2015年12月1日京廣深線路數據及列車時刻表進行驗算，全線共計40個車站，39個區間。為突出票額計劃及購票強度函數對配流結果的影響，將當日客流量放大1.15倍，作為日OD需求qrs,(r,s)∈RS，使之達到臨界飽和狀態，客流總量為234 537人；采用全年小時出行概率每日均值作為當天的小時出行概率分布函數frs(x)。車次以G，D字開頭的列車票價率分別為0.45 元/km和0.4 元/km；出發時間調整費用為0.4 元/min；考慮全國人均收入水平，以30 元/小時為單位時間價值，即0.5 元/min；根據車站規模，全線車站可分為4個等級，各個等級車站的換乘風險費用分別按照每小時的時間價值的0.8、1.0、1.2、1.4倍計。

(2) 配流方案

便于分析票額分配計劃和購票強度函數對配流結果的影響起見，設計4個配流方案，如表1所示。

表1 配流方案設計

注：表中的票額計劃是針對北京西—深圳北的列車根據以往的售票數據制定的各點對票額計劃。

6.2 評價指標

(1) 滯留人公里數DPT

在能力緊張時，配流結果會出現滯留客流，這樣會造成列車運輸的人公里數的流失。滯留人公里數是各OD滯留人數與其對應的最短路長度之積的總和，即

(13)

式中：DPrs為OD對(r,s)的滯留人數。這個指標明顯優于滯留人數，因為最小化滯留人數可能導致長途滯留增加、短途滯留人數減少。

(2) 列車平均客座率ALF

列車平均客座率是指列車平均每一客座公里運輸的人公里數。

(14)

式中：FT(i)為區段T(j-1,j)上實際分配的客流量；CT為列車T的能力。因配流后期可能出現客流路徑折返導致的客座率虛高，所以不能視為比滯留人公里數更重要的指標。

(3) 旅客平均出行時間偏差ATD

該指標是旅客的實際出行時間與計劃出行時間偏差的平均值，可以針對所有OD需求和給定OD需求分別進行統計。

全體旅客的平均出行時間偏差計算公式為

(15)

給定OD對(r,s)的平均出行時間偏差計算式為

(16)

式中：N為迭代總次數；prs為配流過程結束時OD對(r,s)所分配的比例。由于更多長途客流購票得到滿足的條件下，會導致出行時間偏差提高，所以不能視為比滯留人公里數更重要的指標。

6.3 配流結果分析

模型算法采用C#編程，運行環境是CPU雙核、主頻為3.20 GHz、內存8 GB的計算機，方案1、2耗時約3 min，方案3、4耗時約10 min。由式(13)～式(15)計算總體評價指標：滯留人公里數DPT、列車平均客座率ALF、旅客平均出行時間偏差ATD(以上指標重要度依次遞減)，分別對比4個方案的配流結果，具體計算結果如表2所示。

表2 各配流方案總體評價指標

從表中的結果看，方案2和方案4的滯留人公里數較少，旅客平均客座率較高，配流效果比較好。這兩種方案對于不同OD對構造不同的購票強度函數，描述了長途旅客購票時間偏早的特征，與實際購票情況相符。由于算例構造了雙向的換乘網絡，在配流后期會造成旅客出行方案出現折返，因此方案2的客座率會稍高于方案4；但從滯留人公里數看，方案4制定的票額分配計劃具有一定合理性，滯留的人公里數最少，配流效果最佳。

相比之下，方案1和方案3滯留人公里數較多，旅客平均客座率較低，配流效果相對較差。這是因為這兩種方案假設所有OD客流具有相同的購票強度函數，與實際的購票情況不符，短途客流肢解了長途旅客列車的長途運能，導致滯留長途客流較多，列車運能并沒有得到很好的利用。同時，方案3的票額計劃使得部分中短途客流的出行方案受到了限制，滯留人公里數偏多，而且在配流后期部分客流的出行方案出現繞行，導致平均列車客座率出現虛高。

計算的全部旅客平均出行時間偏差在30 min左右，列車時刻表中的始發時間分布較好地吻合了旅客的時變需求。方案2～4優先長途客流購票，由于每個長途旅客的出行路徑會占用多個短途旅客的出行路徑，導致在最優出行偏差情況下出行的人數減少，平均出行時間偏差較方案1偏高。

表3列出了各方案配流結果滯留客流人數的OD里程分布。結果表明方案2和方案4滯留客流OD里程均在1 500 km以下，主要為中短途客流，且滯留人數較少；方案1和方案3的滯留客流較多，主要是中長途客流。由于方案2和方案4實現了長途旅客購票特征，保證長途客流的出行方案，同時使中短途客流搜索其他可行出行方案，充分利用了列車運能。

表3 滯留客流里程分布 人

此外，本文提出的客流分配算法還可以提取任意OD客流每次迭代的最優出行時段劃分、對應的最優換乘方案以及上車人數。方案2中北京西至廣州南在部分迭代過程中的出行指標如表4所示。表中結果表明，第1至4次迭代最優換乘方案相同，第5至10次迭代的最優換乘方案中G79次列車被G65次列車替代，這是由于G79次列車在前4次迭代過程中達到飽和，使得相應吸引時段的客流需要搜索新的出行方案，后續劃分的出行時段也會發生變化。

表4 北京西到廣州南的第1至10次迭代出行時段對應的最優換乘方案

7 結論

鐵路售票策略和旅客購票時序是影響旅客購票過程的主要因素，在高速鐵路客流分配過程中有必要將這兩個因素融合進去。對于鐵路售票策略，通常包括售票策略包括票額計劃、限以遠站、票額共用、席位復用等，可以通過設計相應的換乘網絡將售票策略嵌入到客流分配過程中。對于旅客購票時序，通常具有“行程越長，高峰購票時段越早”的特點，只要在構造購票強度函數時體現這個特點，便可在客流分配過程中體現出來。

計劃出行時間離散化和時變需求強度分布階梯化可以大幅減少客流分配的計算量，特別是購票需求函數的階梯化過程中要求所有階梯函數具有統一的階梯區間劃分標準，在客流分配過程中，一次分配或者完成一個階梯區間，或者飽和一個列車區段，大幅提高客流分配效率。高速鐵路線路上的配流過程僅需要幾分鐘運算時間，具有解決大規模高速鐵路網絡客流分配能力。

客流分配依次選擇滯留人公里數、列車平均客座率和旅客出行時間偏差作為總體評價指標。滯留人公里數不僅反映了列車運輸的人公里數的流失，還反映了對列車運能供給的評價，這個指標明顯優于滯留人數；列車平均客座率體現了列車運能整體利用情況，其重要程度在滯留人公里數之后；旅客出行時間偏差反映列車時刻表與旅客計劃出行時間的偏離程度，其重要程度在滯留人公里數之后。

實例分析表明，雖然同時融合售票策略和不同購票強度函數的配流方案效果最佳，但要求票額分配計劃接近最優運能配置方案，如果票額分配計劃難于接近較優的運能配置方案，不建議采用票額分配計劃。在能力相對充足時，僅采用不同購票強度函數，能夠在客流分配中體現優先長途旅客出行的售票策略，具有較好的分配結果。

本文沒有設計一般性售票策略的換乘網絡，必要時還需要針對特殊需求的售票策略設計換乘網絡。