多頻激勵下添加線性振子磁懸浮能量采集系統建模及其輸出功率影響參數分析

王祖堯， 丁 虎， 陳立群,3

(1.浙江科技學院 理學院，杭州 310023；2.上海大學 上海市應用數學和力學研究所,上海 200072；3.上海大學 力學系,上海 200444)

近年來，國內外研究人員對振動能量采集進行了大量的研究[1-7]，力圖提高振動能量采集的效率和擴大采集的頻率范圍。而大多數研究的是單頻外部激勵條件下的振動狀態。在實際環境中，外部激勵大多為復雜的多頻激勵。比如系統處在兩個激勵源中，或者行走機械在工作時，路面給系統的激勵與機械本身的動力系統產生的激勵形成多頻激勵。多頻激勵容易產生混沌行為，而往往會導致系統振蕩或不規則運動。因此，需要研究多頻激勵對系統的影響。目前，已有許多學者對多頻激勵下的系統進行了研究。畢勤勝等[8]利用Flouquet理論和解通過轉遷集時的特性，研究了多頻激勵Duffing方程一次近似解的各種分岔模式及其轉遷集。Yang等[9-10]利用多尺度法研究了一類Duffing-Van der Pol耦合非線性系統的響應。楊德森等[11]利用多尺度法對硬彈簧特性Duffing系統的幅頻響應進行分析可知，多頻激勵改變了單頻激勵條件下系統的主共振狀態，使單頻激勵條件下的曲線產生了偏移。Zhou等[12]利用分析法和數值仿真研究了Duffing-Van der Pol振子在外激勵和參數激勵下的混沌運動，提出了可控制頻率的新的動力學現象。

雖已有眾多研究者對多頻激勵作用下動力學行為進行了研究，但關于多頻激勵作用下多自由度系統的能量采集還很少涉及。本文在文獻[13]基礎上研究了在增加了一個線性彈簧振子后，磁懸浮磁電能量采集系統在多頻激勵下的動力響應。通過受力分析建立電力耦合的非線性振動方程組，利用諧波平衡法和弧長法得到該系統在外部多頻激勵作用下的穩態平均功率的幅頻響應，并對比不同參數下系統的響應，研究系統的參數對能量采集的影響，還通過直接數值方法驗證解析結果。

1 磁懸浮非線性能量采集系統建模

本文研究一種新型磁懸浮能量采集器，這種磁懸浮采集系統原理示意圖如圖1所示。磁懸浮采集裝置是在四根對稱放置的直柱上下兩端各固定一個磁體，在兩個永磁體之間放置一個可以上下移動的懸浮磁體，通過四根對稱放置的直柱來控制它的水平方向運動。中間的磁體的磁極需要與上下兩個磁體的磁極相反，以產生相互間的排斥力，并在四根對稱放置的直柱外側上部和下部繞有銅線圈。當收到外界的多頻激勵時，引起中間永磁體的上下運動，在銅線圈內產生感應電動勢。根據文獻[14]，可以得出圖2中間磁極受到磁力的總和表示為k1x+k3x3。

圖1 磁力懸浮能量采集系統圖Fig.1 A illustration of the magnetic levitation energy harvesting system

為了增加能量采集器的采集強度和采集頻率的范圍，在中間磁體下方懸掛一個線性振子。當磁懸浮結構受到外界環境的激勵時，線性彈簧振子可以改變能量采集器的動力系統的特性，調節采集頻率的帶寬。這種能量采集器的力學模型如圖2所示。

我們知道磁力的密度取決于中間磁體的距離，而距離可以通過系統的控制方程得到。當能量采集結構受到的外界激勵是多頻簡諧激勵時，考慮非線性磁力、重力和阻尼的影響，根據牛頓第二定律和法拉第定律可以得到控制方程

圖2 磁力懸浮能量采集系統的力學模型圖

Fig.2 A mechanical model schematic of the magnetic levitation energy harvesting system

(1)

2 諧波平衡法分析

由于磁懸浮能量采集器是強非線性激勵系統，這里通過諧波平衡法對式(1)進行近似求解。為了將分析的問題一般化，首先對式(1)進行無量綱化，即引入如下無量綱參數

(2)

將以上無量綱參數(2)代入控制方程(1)，得到無量綱化的動力學方程

(3)

假設式(3)的解如下形式

(4)

將式(4)代入式(3)，并令常數項，cosωt和sinωt的系數分別相等，得到穩態的情況下的幅頻響應方程

a13η-a12k2-a11ω2-f1+3a01a11a21k3+

3a01b11b21k3=0

(5)

(6)

3a012a21k3+3/4a213k3+3/2a01a112k-3/2a01b112k33+

2b21c1ω-a22k2-2b22c2ω+

a21k1-4a21ω2-f2=0

(7)

2a21c1ω-b22k2+b23η+b21k1-4b21ω2=0

(8)

(9)

-4a22ω2-4a21ω2-f2+20b22c2ω+10a22k2=0

(10)

-4b22ω2-4b21ω2-20a22c2ω+10b22k2=0

(11)

-a12ω2-a11ω2-f1+10c2b12ω+10a12k2=0

(12)

-b12ω2-b11ω2-10a12ωc2+10b12k2=0

(13)

-b11ηω+a13μ+b13ω=0

(14)

a11ηω-a13ω+b13μ=0

(15)

-2b21ηω+a23μ+2b23ω=0

(16)

2a21ηω-2a23ω+b23μ=0

(17)

g1+10a02k2=0

(18)

對于給定的多頻激勵頻率ω和激勵頻率比k，通過牛頓迭代法和弧長延長法求解式(5)～(18)中的14個未知數，即解得式(4)中的系數。從而可以分別求得式(3)的位移和電流的表達式，得到位移振幅和電流振幅幅頻響應。

系統的電功率可以通過P=μI2計算，而在一個周期T=2π/ω的平均電功率可以表示為

(19)

3 系統參數對幅頻響應的影響

表1 系統的參數Tab.1 Parameters of the system

3.1 多自由度的質量比的影響

運用龍格庫塔法，在保持其他參數不變的條件下，計算在不同的質量比u下中間磁體的平均功率幅頻響應。在圖3中，當質量比u=0.1時，磁懸浮能量采集系統的平均功率幅頻響應分別在頻率為3.8 Hz和7.5 Hz附近出現共振峰，兩個帶寬較窄的共振峰，振幅基本相等，并且都向右彎曲。當質量比u=0.1時，懸掛的振子質量過小，線性彈簧振子對能量采集系統的影響可以忽略不計。當質量比分別為u=1和1.5時，中間磁鐵的平均功率都出現四個共振峰。增加的共振峰出現在左邊，兩個共振峰的頻率分別為1 Hz和2 Hz附近，其峰值還不到單自由度左邊峰值的一半；右邊兩個共振峰分別在頻率為4 Hz和8 Hz附近出現，其峰值也小于單自由度右邊的峰值，并且共振峰向右偏移。另外，從圖3中還可以發現，左邊的第一個共振峰的幅值隨著質量比的增大而增大，且共振峰向左邊偏移；但是右邊的共振峰的幅值隨著質量比的增大而變小，越向右邊偏移，兩個共振頻率變大。此外，平均功率的左右兩邊的兩個共振峰之間距離都隨著質量比的增大而增大。

圖3 在不同質量比下的彈簧振子平均功率幅頻響應

Fig.3 Average power frequency response of middle magnet for different mass ratiou

圖4給出中間磁體平均功率的幅頻響應的數值驗證。兩個多頻激勵的加速度的振幅都是8 m/s2，多頻頻率比k=2。在線性彈簧的耦合下，共振峰由原來的兩個增加到四個。平均功率向上掃頻和向下掃頻的四個共振峰，以及諧波平衡法和弧長延長法得到的解析解。平均功率的解析解和數值模擬解吻合較好。在共振峰附近有些誤差，這是因為諧波平衡法的有限項的近似解代替真實解，產生了誤差。我們可以通過增加諧波平衡近似解的項數來提高諧波解的精確度。

圖4 平均功率幅頻響應的數值驗證

Fig.4 Numerical verification for the average power frequency response of middle magnet (k=2)

3.2 多自由度的阻尼的影響

接下來用諧波平衡法和弧長延長法，計算在不同中間磁體阻尼c1下中間磁體在多頻激勵下的平均功率幅頻響應。除阻尼外，系統參數選取如表1所示。圖5給出了阻尼c1分別取為0.04、0.05和0.055時的平均功率幅頻響應。從圖5中可以發現，系統平均功率幅頻響應的四個共振峰隨阻尼的減小而增大，帶寬隨阻尼的減小而增大和變寬，并且共振峰越向右彎曲。因此，兩自由度系統阻尼的改變影響在多頻激勵下的平均功率的振幅和帶寬。

圖5 不同阻尼的中間磁體平均功率幅頻頻響應

Fig.5 Average power frequency response of middle magnet for different dampingc

3.3 多自由度的電力耦合系數的影響

選取多自由度的耦合系數η分別取為0.3、0.5和0.8。從圖6中發現，耦合系數取的越大，系統平均功率的幅頻響應的四個共振峰越大，帶寬越寬，并越向右彎曲。因此，系統電力耦合系數的增大時，中間磁體的平均功率的幅頻響應反而變小。

圖6 不同耦合系數的中間磁體平均功率幅頻頻響應

Fig.6 Average power frequency response of middle magnet for different coupling coefficientη

4 結 論

本文研究了通過線性添加彈簧振子的多自由度的磁懸浮非線性能量器采集系統在多頻激勵下的非線性動力學響應。通過結合運用諧波平衡法、牛頓迭代法和弧長延伸法，近似解析分析能量采集系統在多頻激勵下中間磁鐵的平均功率輻頻響應，并通過直接數值方法驗證解析分析。研究結果表明，這種多自由度的磁懸浮能量采集器質量比的增大時，在多頻激勵下的平均功率幅頻響應的共振峰由兩個變為四個共振峰，振幅變小，但兩個共振峰的帶寬變寬。另外，通過系統參數分析發現，調節系統參數阻尼比和耦合系數，可以優化得到增強兩個共振峰和帶寬的寬度，以達到增強振動能量采集效果的目的。