考慮黏性效應(yīng)的爆破震動區(qū)的理論分析

李志文, 李建春, 洪勝男, 李海波, 張國凱,3

(1. 中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國家重點試驗室， 武漢 430071；2. 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049； 3. 南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院， 南京 210094)

一般認(rèn)為在炸藥在巖體爆炸過程中，在爆炸沖擊應(yīng)力波和爆生氣體的聯(lián)合作用下，從炮孔壁往外依次形成粉碎區(qū)、破碎區(qū)和未開裂的震動區(qū)[1-2]，同時高幅值的沖擊波轉(zhuǎn)變?yōu)榈头档牡卣鸩ɡ^續(xù)向外傳播。爆破地震波在傳播過程中，由于波陣面的擴散和介質(zhì)的吸收作用，其幅值和頻率都會發(fā)生一系列的變化，這種變化對地面建筑的安全存在重要影響，因此研究爆破地震波的產(chǎn)生和傳播規(guī)律具有現(xiàn)實意義。爆破地震波的產(chǎn)生和傳播的研究方法主要有現(xiàn)場試驗、數(shù)值模擬和理論分析等。如張永哲[3]通過現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)，分析了爆破地震波的地表峰值強度的衰減規(guī)律，并給出質(zhì)點速度和頻率隨爆源距離以及裝藥量的關(guān)系式。龍源等[4]分析大量爆破地震波測試數(shù)據(jù)，得出高頻率成分比低頻成分衰減更快，地形條件的改變對頻率影響較明顯等結(jié)論。Singh[5]通過對臨近露天爆破的地下煤礦進行振動監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)煤礦頂部的振幅大于立柱，且礦頂與立柱連接處的振幅更大。李重情等[6]通過現(xiàn)場試驗研究了混凝土中不同埋深的爆炸沖擊波的傳播規(guī)律，指出爆炸沖擊質(zhì)點應(yīng)力峰值隨裝藥比例埋深的增加以及混凝土強度的增加而增大。趙明生等[7]基于單孔爆破試驗，分析了段藥量對爆破振動信號時頻特性的影響，發(fā)現(xiàn)隨著段藥量的增加，爆破振動信號的低頻能量所占總能量的比例增加且爆破振動的持續(xù)時間延長。現(xiàn)場試驗方法的缺點是費用較高，且難以監(jiān)測靠近爆源處的質(zhì)點振動。而數(shù)值模擬具有成本低，可重復(fù)性強等優(yōu)點，被廣泛用于爆破地震波傳播的研究的，如趙堅等[8]結(jié)合UDEC和AUTODYN-2D模擬節(jié)理巖體中爆炸波的傳播和節(jié)理對波傳播的影響，得出巖體中節(jié)理的存在使波衰減很快，且較低剛度的節(jié)理產(chǎn)生的較大衰減的結(jié)論。夏祥等[9]運用離散元方法模擬了節(jié)理巖體距爆源不同處質(zhì)點的振動速度和頻率的變化特征，并確定了巖體質(zhì)點最大振動速度和振動主頻隨爆源距離的衰減規(guī)律。李鵬等[10]和周俊汝等[11]分別采用LSYDNA程序模擬單孔裝藥下爆破地震波傳播，發(fā)現(xiàn)爆炸荷載及裝藥結(jié)構(gòu)均會對爆破地震波主頻衰減規(guī)律造成影響。數(shù)值模擬對研究炸藥爆炸過程和復(fù)雜地質(zhì)地形條件下的爆破地震波傳播具有很大優(yōu)勢，但對于爆破地震波的產(chǎn)生和傳播缺乏機理性的解釋，對此解析方法具備天然優(yōu)勢，如Li等[12-13]采用波傳播理論分析了硐室爆炸下的地表和鄰近硐室的響應(yīng)，揭示了周圍結(jié)構(gòu)的振動與應(yīng)力波的傳播路徑及多次反射相關(guān)，并得出了地表和鄰近隧道PPV的分布規(guī)律，與數(shù)值模擬對比具有較好的一致性。考慮到巖體對爆破地震波能量的耗散，可把巖體視為黏彈性介質(zhì)[14-15]。爆破地震波在震動區(qū)邊界上產(chǎn)生，在震動區(qū)內(nèi)部傳播，可將爆破荷載等效地作用在震動區(qū)邊界上[16-17]。基于上述認(rèn)識，本文將巖體考慮成Kelvin-Voigt介質(zhì)，并在其內(nèi)設(shè)置單個球形空腔，然后在球腔邊界均勻地施加三角形爆破荷載，最后采用傅里葉變換法從頻域求解該問題，得到質(zhì)點位移和速度關(guān)于頻率的積分解。通過數(shù)值積分和參數(shù)分析，得到幾種爆破荷載參數(shù)和黏彈性介質(zhì)力學(xué)參數(shù)對爆破地震波的產(chǎn)生和傳播的影響規(guī)律。

1 計算模型與求解

在無限Kelvin-Voigt介質(zhì)中取半徑為a的球形空腔作為震動區(qū)邊界，從零初始時刻開始，在空腔壁均勻地施加爆破荷載，而后爆破地震波均勻地向四周傳播。取φ為標(biāo)量位移勢，則符合波動方程[18]

(1)

式中：ρ為介質(zhì)密度；λ和μ為彈性拉梅系數(shù)；λ′和μ′為黏性拉梅系數(shù)；在Kelvin-Voigt介質(zhì)模型中，給定彈性模量E和黏性系數(shù)η以及泊松比ν，可以求出相應(yīng)的彈性拉梅系數(shù)λ和μ，以及黏性拉梅系數(shù)λ′和μ′[19]

(2)

初始條件

(3)

邊界條件

σr(a,t)=-P(t)

(4)

式中：σr為徑向應(yīng)力；P(t)為作用于空腔壁的三角形爆破荷載；三角形爆破荷載峰值為P0；上升時間為τ1；總持續(xù)時間為τ2，其數(shù)學(xué)形式如下

(5)

徑向應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系和應(yīng)變與徑向位移的關(guān)系分別為

(6)

θ=?ur/?r+2ur/r

(7)

εrr=?ur/?r

(8)

式中：θ為體應(yīng)變；εrr為徑向應(yīng)變；ur為徑向位移。

聯(lián)立式(4)、(6)、(7)和(8)得

(9)

再將徑向位移與標(biāo)量位移勢的關(guān)系式：ur=?φ/?r,代入式(9)得

(10)

通過傅里葉正變換和逆變換把位移勢函數(shù)φ(r,t)與爆破荷載P(t)寫成傅里葉積分形式如下

(11a)

(11b)

(12a)

(12b)

將式(11a)代入式(1)中，并化簡得

(13)

將式(11a)與(12a)代入到式(10)，并化簡得

(14)

(15)

(16)

令φ(r)=eikr/r代入式(15)和(16)中，得

(17)

(18)

式中B(ω)=[(λ+2μ)+iω(λ′+2μ′)](-k2a2-2ika+2)+2(λ+iωλ′)(ika-1)

于是得標(biāo)量位移勢函數(shù)的頻譜函數(shù)如下

(19)

再將式(19)代入式(11a)中得到位移勢函數(shù)

(20)

又因為ur=?φ/?r，于是得到徑向位移函數(shù)

(21)

由傅里葉變換的性質(zhì)可知，式(21)的積分項中的實部是關(guān)于頻率的偶函數(shù)，虛部是關(guān)于頻率的奇函數(shù)，所以有

ur(r,t)=

(22)

式中：Re()表示取復(fù)數(shù)的實部。

令復(fù)波數(shù)k=kr+iβ，其中kr是實波數(shù)，β為吸收因子，由于爆破地震波向外傳播，所以kr必須小于零，而為滿足介質(zhì)的吸收衰減作用，β必須大于零。于是解式(17)得

(23a)

(23b)

式中:τv為黏性系數(shù)和彈性模量比值，τv=η/E，cp為彈性介質(zhì)中縱波波速，cp=(λ+2μ/ρ)1/2。

聯(lián)立式(5)和式(12b)求出爆破荷載的頻譜函數(shù)P(ω)

(24)

將式(23)和式(24)代入積分式(22)中，即得到該問題的積分形式的位移解。對式(22)求時間導(dǎo)數(shù)得到積分形式的速度解

vr(r,t)=

(25)

2 爆破地震波的產(chǎn)生及其影響因素

結(jié)合式(22)和式(24)可知，影響爆破地震波的產(chǎn)生的主要因素有黏彈性介質(zhì)的力學(xué)參數(shù)：如彈性模量和黏性系數(shù)等，和爆破荷載參數(shù)：爆破荷載峰值、爆破荷載上升時間和爆破荷載總持續(xù)時間。爆破荷載峰值顯然是與爆破地震波幅值成正比的，其他因素對爆破地震波的影響將通過對式(22)和(25)進行數(shù)值積分和參數(shù)分析來說明。

2.1 爆破荷載上升時間和總持續(xù)時間

為確定爆破荷載上升時間對爆破地震波的產(chǎn)生的影響，數(shù)值積分中取介質(zhì)的密度ρ=2.5×103kg/m3，彈性模量E=20 GPa，黏性系數(shù)η=0 MPa·s，泊松比v=0.3，球腔半徑a=2 m，爆破荷載峰值P0=50 MPa，爆破荷載總持續(xù)時間τ2=10 ms，爆破荷載上升時間分別為τ1=1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 ms。得到震動區(qū)邊界質(zhì)點的位移和速度時程曲線，如圖1和圖2所示。

圖1 不同τ1下的震動區(qū)邊界質(zhì)點位移Fig.1 Boundary particle displacement of vibrational zone under different τ1

由圖1和2可知，在相同爆破荷載峰值和總持續(xù)時間下，隨荷載上升時間增加，震動區(qū)邊界的位移和速度幅值減小。這是因為隨荷載上升時間增加，荷載達(dá)到峰值前爆破地震波傳播的距離變遠(yuǎn)，導(dǎo)致介質(zhì)中產(chǎn)生運動的質(zhì)量增大，即介質(zhì)抵抗運動的慣性增大造成的。位移和速度時程曲線的持續(xù)時間不隨荷載上升時間而改變，但相對于爆破荷載總持續(xù)時間τ2略有增加。這是因爆破荷載作用完成，介質(zhì)中積蓄的彈性勢能使震動區(qū)邊界回彈所致，由圖2可看出，位移時程曲線在10～12 ms之間存在一段負(fù)值，由圖3可看出，在時間為10 ms時，速度時程曲線由一近似恒定負(fù)值開始趨于大于零。

圖2 不同τ1下的震動區(qū)邊界質(zhì)點速度Fig.2 Boundary particle velocity of vibrational zone under different τ1

為確定爆破荷載總持續(xù)時間對爆破地震波的產(chǎn)生的影響，數(shù)值積分中取爆破荷載上升時間τ1=2 ms，爆破荷載總持續(xù)時間分別為τ2=6、8、10、12、14 ms，其余參數(shù)選取同前，得到震動區(qū)邊界質(zhì)點的位移和速度時程曲線，如圖3和圖4所示。

圖3 不同τ2下的震動區(qū)邊界質(zhì)點位移Fig.3 Boundary particle displacement of vibrational zone under different τ2

由圖3和4可知，在相同爆破荷載峰值和上升時間下，隨荷載總持續(xù)時間的增加，震動區(qū)邊界的位移和速度幅值幾乎不變，而位移和速度時程曲線持續(xù)時間增加。結(jié)合上條結(jié)論，可知爆破荷載上升時間影響爆破地震波的幅值，爆破荷載總持續(xù)時間影響爆破地震波的持續(xù)時間。

圖4 不同τ2下的震動區(qū)邊界質(zhì)點速度Fig.4 Boundary particle velocity of vibrational zone under different τ2

2.2 介質(zhì)的彈性模量和黏性系數(shù)

為確定彈性模量對爆破地震波的產(chǎn)生的影響，數(shù)值積分中取爆破荷載上升時間τ1=2 ms，爆破荷載總持續(xù)時間τ2=10 ms，彈性模量為別為E=10、15、20、25、30 GPa，其余參數(shù)選取同前，得到震動區(qū)邊界質(zhì)點的位移和速度時程曲線，如圖5和圖6所示。

圖5 不同E下的震動區(qū)邊界質(zhì)點位移Fig.5 Boundary particle displacement of vibrational zone under different E

圖6 不同E下的震動區(qū)邊界質(zhì)點速度Fig.6 Boundary particle velocity of vibrational zone under different E

由圖5和6可知，在相同爆破荷載作用下，隨介質(zhì)的彈性模量增大，震動區(qū)邊界上位移和速度幅值減小，且位移和速度時程曲線的持續(xù)時間略微減短。這是因為震動區(qū)邊界的剛度與介質(zhì)彈性模量是成正比的，相同爆破荷載作用下，隨震動區(qū)邊界的剛度增大，震動區(qū)邊界位移和速度幅值減小，介質(zhì)儲存的彈性勢能減少，因此震動區(qū)邊界的回彈時間也變短。

為確定黏性系數(shù)對爆破地震波的產(chǎn)生的影響，數(shù)值積分中取彈性模量E=20 GPa，黏性系數(shù)分別為η=0、5、10、15、20 MPa·s，其余參數(shù)選取同前，得到震動區(qū)邊界質(zhì)點的位移和速度時程曲線，如圖7和圖8所示。

圖7 不同η下的震動區(qū)邊界質(zhì)點位移Fig.7 Boundary particle displacement of vibrational zone under different η

圖8 不同η下的震動區(qū)邊界質(zhì)點速度Fig.8 Boundary particle velocity of vibrational zone under different η

由圖7和8可知，在相同爆破荷載作用下，隨介質(zhì)的黏性系數(shù)增大，震動區(qū)邊界上位移和速度幅值減小，而位移和速度時程曲線的持續(xù)時間略微增長。這是因為Kelvin-Voigt介質(zhì)采用彈簧和黏壺并聯(lián)方式進行力的傳導(dǎo)，介質(zhì)的彈性模量相同時，黏性系數(shù)越大，介質(zhì)在動力作用下的有效彈性模量也越大，震動區(qū)邊界的有效剛度也越大，因此相同爆破荷載作用下的位移和速度幅值則越小，又因為介質(zhì)的黏滯性增加，導(dǎo)致介質(zhì)變形運動的時間也增長。

3 爆破地震波的傳播規(guī)律

3.1 爆破地震波的幾何衰減規(guī)律

由于波陣面的幾何擴散與介質(zhì)的吸收作用，隨傳播距離增加，爆破地震波在介質(zhì)中很快地衰減。由式(22)和式(25)可知，質(zhì)點位移解和速度解由兩部分組成，一部分與r2成反比，另一部分與r成反比，可見幾何衰減的速率介于二者之間，為了表明這種關(guān)系，取介質(zhì)的黏性系數(shù)η=0 MPa·s，以排除介質(zhì)吸收作用的影響，其余參數(shù)如下：v=0.3，ρ=2.5×103kg/m3，P0=50 MPa，τ1=2 ms，τ2=10 ms，a=2 m，E=20 GPa。得到質(zhì)點位移和速度幅值及其衰減速率與爆源距離的關(guān)系，如圖9和圖10所示。圖9和10中，位移和速度峰值衰減速率由平均每米衰減的百分比定義。

圖9 位移幅值和幅值衰減速率與爆源距離的關(guān)系Fig.9 Relation between displacement amplitude and amplitude decay rate with burst source distance

圖10 速度幅值和幅值衰減速率與爆源距離的關(guān)系Fig.10 Relation between velocity amplitude and amplitude decay rate with burst source distance

由圖9和10可知，在靠近震動區(qū)邊界處，爆破地震波位移和速度的幅值衰減速率都很大，隨著傳播距離增加衰減速率開始減小，在爆源距離r達(dá)到20 m后，質(zhì)點位移和速度幅值都趨于穩(wěn)定，而此處的位移和速度幅值衰減速率分別為5.8%和4.7%，接近1/r，于是可將r大于的20 m的區(qū)域定義為爆破震動遠(yuǎn)區(qū)，r小于20 m的區(qū)域定義為爆破震動近區(qū)，在爆破震動遠(yuǎn)區(qū)位移和速度的幾何衰減速率等于1/r，在爆破震動近區(qū)位移和速度的幾何衰減速率大于1/r，這與前人的研究結(jié)果是一致的[20]。

3.2 爆破地震波的材料衰減特性

爆破地震波在黏彈性介質(zhì)中傳播過程中，會發(fā)生振幅譜的衰減和相位譜的彌散，導(dǎo)致波形幅值的降低和頻率成分的改變，即介質(zhì)對爆破地震波產(chǎn)生了吸收衰減作用，而這種吸收衰減作用主要與介質(zhì)的彈性模量和黏性系數(shù)相關(guān)，可通過對式(22)和(25)進行數(shù)值積分和參數(shù)分析進行說明。首先，研究彈性模量對介質(zhì)吸收能力的影響，在數(shù)值積分中取黏性系數(shù)η=10 MPa·s，彈性模量分別為E=10，15，20，25 GPa，其余參數(shù)同前，得到不同爆源距的位移和速度幅值。為衡量介質(zhì)對爆破地震波的吸收作用，用不同爆源距處的位移和速度幅值與震動區(qū)邊界的位移和速度幅值作百分比，以排除震動區(qū)邊界振動幅值不同對分析的干擾，它們的百分比越小，則介質(zhì)對爆破地震波的吸收能力越強，結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 位移幅值百分比與爆源距離的關(guān)系Fig.11 The relationship between the displacement amplitude percentage and the source distance

圖12 速度幅值百分比與爆源距離的關(guān)系Fig.12 The relationship between the velocity amplitude percentage and the source distance

由圖11和12可知，介質(zhì)的彈性模量越大，介質(zhì)對爆破地震波的吸收衰減作用越弱。雖然在相同爆破荷載作用下，介質(zhì)的彈性模量越低，震動區(qū)邊界的振動幅值越大，但可預(yù)計隨著傳播距離增加，不同彈性模量的介質(zhì)的振動幅值會很接近，甚至?xí)霈F(xiàn)高彈性模量介質(zhì)的振動幅值更大的情況，如爆源距離30 m處，彈性模量為10 GPa的介質(zhì)的速度幅值為0.85 cm/s，而彈性模量為15 GPa 的介質(zhì)的速度幅值為0.90 cm/s。

然后，研究黏性系數(shù)對介質(zhì)吸收能力的影響，數(shù)值積分中取彈性模量E=20 GPa，黏性系數(shù)分別為η=5、10、15、20 MPa·s，其余參數(shù)同前，計算結(jié)果如圖13和圖14所示。

圖13 位移幅值百分比與爆源距離的關(guān)系Fig.13 The relationship between the displacement amplitude percentage and the source distance

圖14 速度幅值與爆源距離的關(guān)系Fig.14 The relationship between the velocity amplitude percentage and the source distance

由圖13和14可知，介質(zhì)的黏性系數(shù)越大，介質(zhì)對爆破地震波的吸收能力越強。結(jié)合上述彈性模量對介質(zhì)吸收能力影響的結(jié)論，可知介質(zhì)的黏性系數(shù)與彈性模量的比值越高，介質(zhì)對爆破地震波的吸收能力越強。

最后，采用歸一化的振幅頻譜描述在不同黏性系數(shù)的介質(zhì)中，質(zhì)點速度頻譜隨爆破地震波傳播的變化規(guī)律。數(shù)值積分中取彈性模量E=20 GPa，黏性系數(shù)分別為η=0、1、5、10 MPa·s，其余參數(shù)選取同前，計算結(jié)果如圖15(a)、(b)、(c)、(d)所示。

由圖15(a)可知，當(dāng)黏性系數(shù)η=0 MPa·s，即介質(zhì)為彈性材料時，爆破地震波的頻率成分在爆源距離達(dá)到20 m后幾乎不發(fā)生改變，這與上述定義爆破擾動遠(yuǎn)區(qū)的位置相同。當(dāng)考慮介質(zhì)的黏性時，隨傳播距離增加，爆破地震波高頻成分相對于低頻成分減小，黏性系數(shù)越大這種減小的速度也越快，如圖15(b)、(c)、(d)所示。

(a) η=0 MPa·s

(b) η=1 MPa·s

(c) η=5 MPa·s

(d) η=10 MPa·s圖15 不同爆源距離的質(zhì)點速度頻譜Fig.15 Particle velocity spectrum for different source distance

4 結(jié) 論

本文將巖體考慮成Kelvin-Voigt介質(zhì)，并將爆破荷載等效地施加在爆破震動區(qū)邊界上，通過傅里葉變換得到爆破地震波的積分解，經(jīng)過數(shù)值積分和參數(shù)分析，得到如下結(jié)論：

(1) 爆破荷載上升時間越短，震動區(qū)邊界的振動幅值越大；爆破荷載總持續(xù)時間越長，震動區(qū)邊界的振動持續(xù)時間也越長，但振動幅值幾乎不受影響。

(2) 在相同爆破荷載作用下，隨介質(zhì)的彈性模量增加，震動區(qū)邊界的振動幅值減小，振動持續(xù)時間略微減短；在相同爆破荷載作用下，隨介質(zhì)的黏性系數(shù)增加，震動區(qū)邊界的振動幅值減小，振動持續(xù)時間略微增長。

(3) 爆破地震波在介質(zhì)中傳播存在波陣面的幾何衰減和介質(zhì)吸收的衰減，幾何衰減分為近區(qū)衰減和遠(yuǎn)區(qū)衰減，在近區(qū)的衰減速率大于1/r，在遠(yuǎn)區(qū)的衰減速率等于1/r。介質(zhì)的黏性系數(shù)與彈性模量的比值越高，介質(zhì)對爆破地震波的吸收衰減能力越強。

(4) 爆破地震波在彈性介質(zhì)的傳播過程中，其頻率成分只在爆破擾動近區(qū)產(chǎn)生變化，傳播到爆破擾動遠(yuǎn)區(qū)后頻率成分不發(fā)生改變；爆破地震波在黏彈性介質(zhì)的傳播過程中，隨傳播距離增加，其高頻成分相對低頻成分不斷地減小，且介質(zhì)黏性系數(shù)越大，減小的速度越快。