兩步分裂步長時域有限差分法

林智參

摘要：提出一種新的兩步分裂步長時域有限差分（TS-FDTD）法，該方法基于Split-Step方案和Crank-Nicolson方案，采用新的矩陣分解形式，與傳統的FDTD算法、傳統分裂步長時域有限差分法相比，減少計算復雜度，算法的推導簡單，提高了計算精度。本文還加入一階Mur吸收邊界條件，給出一階Mur吸收邊界差分方程。最后，通過實例仿真，比較TS-FDTD、傳統FDTD方法兩種算法的仿真結果，驗證了TS-FDTD算法的可行性及其高精度性。

關鍵詞：時域有限差分法；分裂步長；邊界條件；精度

中圖分類號：TM15 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）05-0144-02

時域有限差分法[1]（Finite-Difference Time-Domain-FDTD）是一種簡便的電磁波時域分析方法，此方法用Yee氏網格為基礎，把電磁場離散化，將麥克斯韋旋度方程差分化，建立差分方程，從而簡便有效的處理各種電磁場中復雜的問題，目前已經廣泛的應用于電磁場的各個方面。但是，傳統的FDTD算法也有不足之處，其推導公式較為復雜，運算過程負擔頗大大，因而，人們也從多個方向對FDTD進行改進[2]。本文提出了一種基于Split-Step[3]方案和Crank-Nicolson[4]方案新型FDTD算法，以TM波為例子，采用一種新的矩陣分解方法，來簡化運算公式，減輕計算負擔。

1 TS-FDTD算法理論推導

選擇一無源區域作為研究空間，其中介質均勻無耗并且各向同性，介電常數為ε，磁導率為μ，可將二維TM波麥克斯韋方程組以微分形式表示如下：

在分步2中，電場分量Ez在二維空間四個邊界上的一階Mur吸收邊界差分方程式可參考分步1，其形式近似，此處不再展開贅述。

3 實例仿真

本例將TS-FDTD算法用于運算一個二維自由空間TM波傳播及電場分布情況，空間的尺寸大小為100cm*100cm，并且采用一階Mur邊界條件，激勵源為sin（2*pi*f*t），放置于二維空間的中間位置，激勵源的頻率為f=1.5GHz。根據FDTD收斂性分析，網格尺寸可取激勵源波長的1/20，即Δx=Δy=1cm。設一觀察點放置于激勵源與邊界之間的中心位置。TS-FDTD運算結果仿真如圖1、圖2、圖3和圖4所示。其中圖1、2、3為TS-FDTD運算過程中Ez場分量的空間分布圖，圖4為傳統FDTD算法和TS-FDTD算法比較圖。

從圖1-3可以看出，本文提出的TS-FDTD算法可以計算出電場Ez各時間步在平面空間上的分布情況，因此，TS-FDTD是符合麥克斯韋方程組基本理論的。由圖4可見，傳統FDTD算法求解的觀察點電場值達到穩態時間比較緩慢，而TS-FDTD算法所求的電場值基本處于穩定狀態，顯然，TS-FDTD的計算精度比傳統FDTD的要高。

4 結語

本文基于Split-Step方案和Crank-Nicolson方案，采用新的矩陣分解形式，提出一種新的兩步分裂步長時域有限差分（TS-FDTD）法，減輕了運算負擔，化簡推導公式，并且提高了計算精度。還給出了一個TM波運算實例，用matlab對提出的TS-FDTD算法進行編程分析，驗證了可行性。

參考文獻

[1]葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分方法（第三版）[M].西安：西安電子科技大學出版社，2011.

[2]孔永丹.基于分裂步長的無條件穩定FDTD算法研究[D].華南理工大學，2011.

[3]Jongwoo Lee， Bengt Fornberg， A split step approach for the 3-D Maxwells equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2003，158：485-505.

[4]Smith G. D.. Numerical solution of partial differential equations： Finite difference methods[M]. 3^rd ed. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series，1986.