幾種常見的連續(xù)型分布

寧麗娟

摘要：本文主要介紹了幾種常見的連續(xù)型分布，分析了這些常見分布之間的關(guān)系，并進(jìn)一步探討了常見分布所應(yīng)用的學(xué)科領(lǐng)域。

Abstract： Several kinds of conventional continuous distributions are introduced in the paper. The relationship among the conventional continuous distributions is analysed， and the fields of application about the conventional distribution are involved.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量；常見分布；概率密度函數(shù)

Key words： random variable；conventional distribution；probability density function

中圖分類號(hào)：O211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）25-0237-02

0 引言

概率論課程是高等院校理科生的必修課之一，涉及到隨機(jī)事件及其概率、隨機(jī)變量及其分布等。在隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)中分別就離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量展開來說，在連續(xù)型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)中特別介紹了三種常見的連續(xù)型分布[1-3]，它們是均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。在實(shí)際問題中，當(dāng)我們無法區(qū)分在區(qū)間內(nèi)取值的隨機(jī)變量取不同值的可能性有何不同時(shí)，可以假定隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布。而指數(shù)分布則用來描述自然界中很多東西的壽命，比如動(dòng)物的壽命、電子元件的壽命、服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等。由中心極限定理知道，一個(gè)量若是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，這個(gè)量就會(huì)服從或近似服從正態(tài)分布[1-3]。除了這三種常見連續(xù)型分布外，還有一些連續(xù)型分布常用來描述自然界中一些現(xiàn)象，在對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行研究時(shí)，必然要探討這些對(duì)應(yīng)的分布，下面我們就來認(rèn)識(shí)下這些連續(xù)型分布。

1 常見連續(xù)型的分布

1.1 Gamma分布

則稱隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為α，λ的Gamma分布，并記為 。當(dāng)α=1時(shí)，便是參數(shù)為λ的指數(shù)分布，即此時(shí)有 。Gamma分布常用于描述隨機(jī)變量ξ等到第α件事件發(fā)生所需要等候的時(shí)間。

若 ，則 ， 。

1.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

若一個(gè)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，就稱該隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。若ξ服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即 ，根據(jù)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布ξ的概率密度函數(shù)為

（3）

對(duì)數(shù)正態(tài)分布常用于金融保險(xiǎn)業(yè)、投資收益計(jì)算等。

若 ，則 ， 。

1.3 柯西分布（Cauchy distribution）

若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為

則稱隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為θ，α的柯西分布，記為 。當(dāng)θ=0，α=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布.柯西分布主要應(yīng)用于物理學(xué)中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光譜學(xué)中，它用來描述被共振或者其它機(jī)制加寬的譜線形狀。

柯西分布的重要特性之一就是期望和方差均不存在。

1.4 瑞利分布（Rayleigh distribution）

若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為

則稱隨機(jī)變量ξ服從瑞利分布。若隨機(jī)變量η，ζ相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 ，則 服從瑞利分布。瑞利分布常用于描述平坦衰落信號(hào)接收包絡(luò)或獨(dú)立多徑分量接受包絡(luò)統(tǒng)計(jì)時(shí)變特性的一種分布類型。兩個(gè)正交高斯噪聲信號(hào)之和的包絡(luò)服從瑞利分布。

若ξ服從瑞利分布，則 ， 。

1.5 威布爾分布（Weibull distribution）

若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為

則稱隨機(jī)變量ξ服從威布爾分布，也稱韋氏分布。其中λ>0是比例參數(shù)，k>0是形狀參數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)就是均值為λ的指數(shù)分布；當(dāng)k=2時(shí)就是瑞利分布。威布爾分布是可靠性分析和壽命檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)，其常用于可靠性和失效分析、極值理論。

若ξ服從威布爾分布，則

， 。

1.6 三角分布（Triangle distribution）

若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為

則稱隨機(jī)變量ξ服從底限為a、眾數(shù)為c、上限為b的三角分布。當(dāng)a=0，b=1且c=0.5時(shí)，服從三角分布的隨機(jī)變量 ，其中X，Y是相互獨(dú)立的（0，1）的均勻分布。三角分布通常用于表述只有優(yōu)先采樣數(shù)據(jù)的人口信息，尤其是已知變量之間關(guān)系但是由于數(shù)據(jù)的收集成本太高而缺少采樣數(shù)據(jù)的場合。這通常是根據(jù)已知最小值與最大值從而推算合理的常見值。三角分布常用于商務(wù)決策，尤其是計(jì)算機(jī)模擬領(lǐng)域。如果僅知道最大值與最小值，可以使用平均分布模型。但若已經(jīng)知道了最可能出現(xiàn)的結(jié)果，就可以用三角分布進(jìn)行模擬。三角分布在項(xiàng)目管理中大量地用作項(xiàng)目評(píng)估與審核技術(shù)以及關(guān)鍵途徑的輸入信息，以建立在最大值與最小值之間事件發(fā)生的概率模型。

2 結(jié)語

概率分布作為概率論中的重要知識(shí)內(nèi)容，了解常見連續(xù)型分布有助于將所學(xué)書本知識(shí)和實(shí)踐應(yīng)用結(jié)合起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，啟發(fā)他們更自主的學(xué)習(xí)，從而更好地將所學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].二版.北京：高等教育出版社，1993.

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[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].四版.北京：高等教育出版社，2010.