基于塊稀疏貝葉斯學習的跳頻通信梳狀干擾抑制

張永順， 朱衛綱， 孟祥航， 賈鑫， 曾創展， 王滿喜

(1.航天工程大學 研究生院, 北京 101416; 2.航天工程大學 電子與光學工程系, 北京 101416;3.航天工程大學 科研學術處, 北京 101416; 4.電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室, 河南 洛陽 471003)

0 引言

跳頻(FHSS)通信具有抗干擾能力強、多址能力好等優點，在軍用和民用通信領域應用廣泛。隨著通信對抗技術的不斷發展，干擾方陸續發展出了部分頻帶干擾、掃頻干擾、梳狀干擾等多種有效干擾手段，FHSS通信自身抗干擾能力已經無法滿足需求。在上述干擾中，梳狀干擾可以將有限功率集中于FHSS通信的各個頻點，具有良好的干擾效率，對FHSS通信造成了嚴重的影響。梳狀干擾抑制一直是FHSS通信干擾抑制研究中的難點，目前國內外關于FHSS通信梳狀干擾抑制的研究進展十分有限，傳統FHSS通信梳狀干擾抑制使用自適應跳頻技術和差分跳頻技術[1-2]，但這些方法在強干擾和干擾數量較大情況下將失效。同時，由于FHSS通信技術在向超寬帶、超高頻、高碼率方向發展，大帶寬導致采樣率急劇提高，基于奈奎斯特采樣定理的FHSS通信干擾抑制算法受限于兩方面的難題：1)高采樣條件下，模擬/數字轉換器硬件成本較高；2)高采樣率增加了信號傳輸、存儲、處理的開銷。壓縮感知(CS)[3]理論為解決大帶寬信號處理面臨的采樣難題提供了一條有效途徑。

當信號能夠在某個域上得到稀疏表達時，CS能夠以高概率重構壓縮信號，但這也帶來了一個顯著問題[4]，即經過壓縮采樣后，信號特性將顯著變化，使得傳統的干擾抑制方法不再適用。因此，研究適用于壓縮域的干擾抑制方法顯得尤為必要。文獻[5-6]研究了在正交頻分復用系統中利用壓縮數據估計窄帶干擾并進行對消的干擾抑制方法。該方法將窄帶干擾建模為音頻干擾，但實際應用中窄帶干擾通常具有一定帶寬，該方法對具有一定帶寬的干擾抑制效果較差。文獻[7-8]研究了基于選擇性測量的寬帶噪聲抑制方法。該方法能夠根據估計出的噪聲位置自適應地更新測量矩陣，實現對信號采樣而對噪聲不采樣，有效地降低了噪聲對信號重構的影響。文獻[9]研究了基于CS的直接序列擴頻(DSSS)通信干擾抑制方法。該方法在假定實現DSSS信號同步的基礎上能夠實現對音頻干擾和掃頻干擾的抑制，但對于具有一定帶寬的梳狀干擾則無法實現干擾抑制的目的。綜合文獻[4-9]可以看出，基于CS的FHSS通信梳狀干擾抑制問題研究尚鮮有報道。

在實際信號分析中不僅存在傳統意義上的稀疏信號，還存在另一種典型稀疏信號——塊稀疏信號，即信號值不為0的地方是成塊出現的。基于信號的這種特性，學者們將傳統壓縮重構算法推廣到塊稀疏重構，提出了塊稀疏追蹤(BMP)以及塊稀疏正交匹配追蹤(BOMP)等算法[10]。這些算法利用了信號的塊稀疏特性，能夠實現塊稀疏信號的重構，但這些算法沒有考慮塊稀疏信號的相關結構，算法性能較差且依賴信號的稀疏結構以及稀疏度等先驗信息。Zhang等[11]充分利用信號的空間結構和時序結構信息，提出了塊稀疏貝葉斯學習(BSBL)框架，取得了比傳統CS算法更優的稀疏信號重構性能。

本文著眼于FHSS通信梳狀干擾抑制研究需要解決的兩個問題：1)針對大帶寬信號受限于系統采樣率較高的問題，如何有效地降低系統采樣率，降低系統成本；2)針對壓縮采樣后信號特性發生變化，傳統干擾抑制方法不再適用的問題，如何實現干擾抑制，開展基于CS的FHSS通信梳狀干擾抑制的研究。首先，分析梳狀干擾的塊稀疏特性并構建梳狀干擾稀疏字典；其次，利用FHSS信號與梳狀干擾的不同壓縮域特性以及梳狀干擾的頻域塊稀疏特性，構建基于BSBL框架的FHSS通信梳狀干擾抑制模型，利用期望最大化(EM)算法，設計基于塊稀疏貝葉斯學習- 期望最大化(BSBL_EM)的FHSS通信梳狀干擾抑制算法，分析干擾強度、干擾帶寬以及壓縮率的變化對算法性能影響；最后，通過仿真實驗，對所提算法性能進行分析驗證。

1 CS以及塊稀疏

信號稀疏表示問題的關鍵是構建合適的稀疏字典，使信號在該字典上投影值的非零項盡可能少。設任意一個N維信號s=[s1,s2,s3,…,sN]T，滿足：

(1)

式中：α=[α1,α2,…,αN]T為稀疏系數向量；Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]為信號s的稀疏字典。

若α中只有K(K?N)個值不為0，則稱信號s在字典Ψ上是K稀疏的。

通過構造大小為M×N階線性測量矩陣Φ實現對信號的壓縮采樣，壓縮采樣過程可以表示為

y=ΦΨα=Θα,

(2)

式中：y為壓縮信號；Θ為感知矩陣。

此外，要實現從低維數據中重構出高維數據，要求Φ滿足約束等距條件(RIP)[12]，測量矩陣Φ的RIP參數為滿足(3)式的最小ε：

(3)

式中：ε為約束等距常數。RIP準則是信號有效重構的充分條件，但判斷測量矩陣Φ是否滿足RIP準則是一個組合復雜度問題。Baraniuk給出了與RIP條件等價的非相干定理[13]，即如果測量矩陣與信號稀疏字典的相干度足夠小，即使測量矩陣Φ不滿足RIP準則，也能以較高的概率重構出原信號。

信號重構就是利用M×1階壓縮信號y恢復出長度為N的原始信號過程。由于M

(4)

式中：‖α‖0為稀疏系數向量α中非零項的數目；δ為噪聲功率。求解出稀疏系數向量α的估計值即可實現信號的有效重構。

事實上，傳統意義上的信號稀疏性并不是唯一的稀疏信號表示模型，考慮另一類稀疏信號——塊稀疏信號，其定義如下：

(5)

2 梳狀干擾稀疏特性分析及稀疏字典構建

信號稀疏性是應用CS理論的基礎，為了后續開展基于CS的FHSS通信梳狀干擾抑制處理研究，本節對梳狀干擾的稀疏特性進行分析并給出相應的稀疏字典構建方法。

不失一般性，本文將梳狀干擾建模為多窄帶干擾，其中單個窄帶干擾建模為高斯白噪聲通過窄帶濾波器。因此，將單個窄帶干擾j(n)建模為P階自回歸(AR)模型，其滿足差分方程：

(6)

(7)

因此，干擾的功率譜可表示為

(8)

梳狀干擾的頻域響應如圖1所示。

從圖1中可知，梳狀干擾在頻域中具有明顯的塊稀疏特性。因此，本文構建Fourier正交基作為梳狀干擾稀疏字典：

(9)

式中：w=e-j2π/N.

3 BSBL框架及EM算法

BSBL框架算法能夠從含噪聲的壓縮信號y∈M(M

y=Φ(s+ε)=Θsαs+Φε,

(10)

式中：Θs為感知矩陣；ε為背景噪聲，可建模為高斯白噪聲；αs可用下面的塊向量表示為

(11)

稀疏塊大小di(i=1,2,…,g)不一定相同，在g個分塊中只有K(K?g)個分塊不為0.

在BSBL框架下，假設αi∈di服從如下多元參數高斯分布：

p(αi|{γi,Bi})～N(0,γiBi),i=1,2，…,g,

(12)

式中：Bi和γi為待定參數，其中γi為控制αs塊稀疏結構的非負參數。當γi=0時，對應的第i塊將被判定為與待重構信號不相關。在貝葉斯學習過程中，由于信號具有塊稀疏性，自相關性確定(ARD)機制將導致大多數γi趨近于0.Bi∈di×di為第i塊相關結構的正定矩陣。矩陣Bi可以根據BSBL迭代過程中的學習規則進行初始化。假設各分塊之間互不相關，則αs的先驗分布滿足p(αs)～N(0,Σ0)，其中Σ0是由γiBi組成的塊對角矩陣，

(13)

假設噪聲滿足0均值高斯分布，即p(ε)～N(0,λ-1I)，其中λ-1為一正實數，表示噪聲方差，I為單位矩陣，則從觀測模型和信號模型中可得后驗概率和似然函數分別為

(14)

(15)

(16)

針對(16)式的代價函數，采用不同的優化算法將得到不同的BSBL算法，將這些算法統稱為BSBL框架算法。最大后驗(MAP)估計的均值即為αs的估計值，即s=μ.

一種MAP概率的策略是將問題建模為期望最大化，EM算法[15]提供了一種計算MAP的迭代算法，該算法簡單且性能穩定。當使用EM算法作為優化算法時，(16)式可以寫為

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：μi∈di×1為μ的第i個分塊；Σi∈di×di是Σ的第i個主對角塊。

為避免過擬合，文獻[16]限定Bi為Toeplitz形式，即

(21)

式中：r為相關系數；Toeplitz(V)為將向量V展開為對稱的Toeplitz矩陣。

利用Bi的更新式可得到相關系數r的經驗計算公式為

(22)

(23)

4 干擾抑制模型及干擾抑制算法設計

假設系統接收信號x由FHSS信號、干擾噪聲和背景噪聲3部分組成，可以表示為

x=sFH+j+ε,

(24)

式中：sFH為FHSS信號；j為梳狀干擾。

考慮跳頻信號幅度、相位、跳頻周期、載波頻率、多普勒頻偏、跳頻頻率和噪聲等參數信息，并加入二進制相移鍵控(BPSK)調制信息數據，則射頻前端接收到的跳頻信號可以表示為

(25)

式中：D(t)為基帶復包絡；Δti為初始非完整跳在觀測時間內的持續時間；fic為初始非完整跳在觀測時間內的中心頻率；φi為初始非完整跳的相位；TH為跳頻周期；φl為第l(l=1,2,…,L)個完整跳的初始相位，L為觀測時間內出現完整跳頻信號的個數；flc為第l個完整跳的中心頻率；Δte為末尾非完整跳在觀測時間段內的持續時間；fec為末尾非完整跳在觀測時間段內的中心頻率；φe為末尾非完整跳的初始相位；fdi、fdl和fde分別表示初始非完整跳、完整跳和末尾非完整跳的跳頻點時頻率偏移量。

從(25)式中可知，跳頻信號是典型的分段信號，具有分段稀疏性，每個分段信號在Fourier正交基上具有高度稀疏性，即觀測時間內的FHSS信號在稀疏字典ΨFH上能夠得到稀疏表達為

(26)

式中：Ψi(i=1,2,…,K+2)為與對應跳頻信號長度一致的Fourier正交基。

由上述分析可知，觀測時間內的跳頻信號在ΨCJ上無法得到稀疏表達。因此，壓縮信號y可以描述為

y=Φ(sFH+j+ε)=ΦΨCJαCJ+Φ(sFH+ε)=
ΦΨCJαCJ+e=ΘCJαCJ+e,

(27)

式中：ΘCJ為梳狀干擾感知矩陣；αCJ為梳狀干擾在頻域的稀疏系數向量，具有塊稀疏特性；e為噪聲分量。由于FHSS信號在梳狀干擾的稀疏字典上無法得到稀疏表達，利用BSBL框架算法能夠從壓縮信號y中有效地重構出梳狀干擾稀疏系數向量CJ，進而實現梳狀干擾的重構為

=ΨCJCJ.

(28)

重構梳狀干擾后即可在時域對消干擾，實現干擾抑制的目的，

FH=x-.

(29)

根據梳狀干擾在頻域的塊稀疏特性，本文利用BSBL框架算法從壓縮數據中重構出梳狀干擾，通過時域對消實現干擾抑制的目的，有效地避免了傳統FHSS通信干擾抑制中要求FHSS信號需要實現同步的弊端。本文構建的基于BSBL框架的FHSS通信梳狀干擾抑制模型如圖2所示。

在BSBL框架下，本文采用EM算法作為優化算法，設計了基于BSBL_EM的FHSS通信梳狀干擾抑制算法。算法步驟如表1所示。

表1 基于BSBL_EM的FHSS通信梳狀干擾抑制算法

5 性能分析

本文利用FHSS信號和梳狀干擾的不同壓縮域特性以及梳狀干擾的頻域塊稀疏特性，實現梳狀干擾的重構與抑制。干擾抑制的效果依賴于梳狀干擾的重構精度。影響梳狀干擾重構精度的因素有干擾強度、干擾帶寬、壓縮率等。本節分析這些因素對算法性能的影響。

5.1 干擾強度影響

5.2 干擾帶寬影響

干擾帶寬越大，干擾重構精度越差，干擾抑制性能越差。本文算法利用梳狀干擾的頻域塊稀疏特性，干擾帶寬越大，信號不為0的稀疏塊越多，信號稀疏性越差，干擾重構效果越差。同時，本文所提算法的運算量主要集中于EM算法的迭代過程，由于不為0的稀疏塊增多，算法迭代運行次數增多，算法運行所需的時間增大，算法時效性降低。

5.3 壓縮率影響

壓縮率M/N越小，干擾重構精度越差，干擾抑制效果越差。CS可以有效地降低系統采樣速率，降低系統能耗，節約系統成本，但隨著壓縮率的降低，測量矩陣和干擾稀疏字典的相干性增高，將導致干擾重構精度下降，干擾抑制效果變差。文獻[17]中指出CS中存在噪聲折疊現象，壓縮采樣將導致重構信號信噪比的降低，壓縮率越低，重構信噪比損失越大，說明低壓縮率下干擾重構誤差較大，干擾抑制效果較差。因此，在實際使用中需要在干擾抑制效果和降低采樣率需求之間進行折衷處理。

6 仿真實驗及結果分析

本節主要通過計算機仿真對算法性能進行驗證，仿真參數設置如下。

信號參數：跳頻速率為10 000 h/s，數據調制方式為BPSK，奈奎斯特采樣速率為2 MHz；待處理跳頻信號為5跳，頻點為[40 kHz,100 kHz,200 kHz,400 kHz,500 kHz]。

干擾參數：仿真中設置兩種梳狀干擾梳齒帶寬用于對比，分別為20 kHz和30 kHz；梳狀干擾覆蓋3跳信號，分別為[100 kHz,400 kHz,500 kHz]。

CS參數：選擇高斯矩陣作為本節仿真中的測量矩陣，梳狀干擾稀疏字典構建如第2節所示。

評價指標：歸一化均方誤差(NMSE)是衡量信號重構效果的常用指標，選擇NMSE作為評價信號重構效果的指標。NMSE定義如下：

(30)

式中：r為原始數據矢量；為重構數據矢量。選擇解調誤碼率作為干擾抑制后信號解調性能評價指標。定義壓縮率(CR)評價數據壓縮的效果為

(31)

通過分析不同干擾強度、不同干擾帶寬以及不同壓縮率條件下算法的干擾抑制效果和時間復雜度，對所提算法和基于CS經典算法的干擾性能進行對比分析。

算法能夠從壓縮數據中有效重構出梳狀干擾。相比于其他算法，干擾重構精度更高。圖3給出了不同梳齒帶寬條件下重構梳狀干擾和原梳狀干擾的頻域對比。仿真中干擾強度設置為30 dB，背景噪聲設置為20 dB，壓縮率設置為0.5. 從圖3可以看出，不同帶寬下梳狀干擾均能得到有效地重構，干擾重構效果較好。

圖4給出了使用不同算法條件下梳狀干擾的重構歸一化均方誤差，仿真結果為1 000次仿真的平均值。圖4中對比了使用正交匹配追蹤(OMP)算法、BOMP算法、基于邊界最優化的BSBL(BSBL_BO)算法、多測量矢量貝葉斯壓縮感知(CTSBL)算法[18]、BSBL_EM算法的梳狀干擾重構性能。仿真中背景噪聲設置為20 dB，壓縮率設置為0.5. 從圖4可以看出，基于OMP算法的梳狀干擾重構誤差非常大，說明傳統稀疏條件下的重構算法在塊稀疏條件下已經不再適用。由OMP算法發展而來的BOMP算法性能受噪聲影響較大，因此干擾重構誤差也較大。基于BSBL框架的3種算法重構精度較高，說明基于BSBL框架的梳狀干擾抑制算法能夠實現更好的干擾重構效果，本文所提算法在3種算法中性能最優。

干擾抑制后FHSS信號的解調誤碼率如圖5所示，仿真結果為1 000次仿真的平均值。仿真中背景噪聲設置為20 dB，壓縮率設置為0.5. 從圖5可以看出，相比于經典CS算法，塊稀疏重構算法能夠實現梳狀干擾的重構和對消，提高系統干擾容限。在4種塊稀疏重構算法中，基于BOMP的干擾抑制算法的FHSS信號解調性能相比于無壓縮采樣的FHSS信號解調性能有一定的性能提升，但由于BOMP算法性能受噪聲影響較大，當存在背景噪聲和FHSS信號時，干擾重構性能差，時域對消后干擾殘留仍然較大，FHSS系統抗干擾性能提升不明顯。基于BSBL框架的3種干擾抑制算法能夠有效地實現干擾抑制，干擾抑制后FHSS信號解調性能相比于無壓縮采樣條件下FHSS信號解調性能有較大提升。當誤碼率(BER)為10-4量級時，相比于無壓縮采樣的FHSS通信梳狀干擾抑制能力，窄帶梳狀干擾條件下3種算法使得系統抗干擾能力分別提升12 dB、14 dB、16 dB，寬帶梳狀干擾條件下3種算法使得系統抗干擾能力分別提升8 dB、8 dB、10 dB. 說明本文所提基于BSBL框架的梳狀干擾抑制是有效的，并且本文所提基于BSBL_EM的干擾抑制算法能夠取得更好的干擾抑制效果。

圖6和圖7仿真了不同壓縮率條件下所提算法的性能，仿真結果為1 000次仿真的平均值。仿真中梳狀干擾梳齒帶寬設置為20 kHz，背景噪聲設置為20 dB，壓縮率分別設置為0.5、0.4、0.2. 從圖6與圖7的仿真結果中可知，隨著壓縮率的降低，干擾重構精度變差，由于干擾重構性能較差，導致干擾抑制不徹底，干擾對消后FHSS信號解調誤碼率較高。

對比分析了不同帶寬條件下5種算法運行所需的CPU時間，結果如表2所示。仿真中干擾強度設置為30 dB，背景噪聲設置為20 dB，壓縮率設置為0.5. 算法運行所需CPU時間由MATLAB軟件的tic-toc命令計算得到。實驗室所用電腦主頻為2.5 GHz. 將算法進行1 000次仿真所需時間的平均值作為統計結果。從表2可以看出，5種算法所需的運行時間都隨著干擾帶寬的增加而增加，基于OMP算法的干擾抑制算法運行效率最高，BSBL框架下的干擾抑制算法相比于基于OMP算法的干擾抑制算法運行效率較低，其中基于CTSBL算法的干擾抑制算法運算所需時間最長。因此，綜合考慮性能和時效性等因素，本文所提算法具有一定優勢。

表2 算法運行時間對比

7 結論

根據FHSS通信的大帶寬特性及梳狀干擾的頻域塊稀疏特性，本文提出了基于BSBL框架的FHSS通信梳狀干擾抑制方法。得出以下結論：

1)算法不需要干擾檢測和參數估計等開銷，可以在接近全盲條件下實現FHSS通信中梳狀干擾的有效抑制。在梳狀干擾覆蓋多數跳頻頻點的情況下依然能夠明顯提高FHSS通信的抗干擾能力。

2)算法的干擾抑制性能與干擾強度、干擾帶寬以及壓縮率相關，相同干擾強度和壓縮率條件下，干擾帶寬越窄，干擾重構精度越高，干擾抑制效果越好。相同干擾強度和干擾梳齒帶寬下，壓縮率越大，干擾重構精度越高，干擾抑制效果越好。

3)由于使用CS技術，算法能夠有效地降低系統功耗和硬件成本，算法應用前景廣闊。

通過抑制FHSS通信中的梳狀干擾，FHSS通信性能將更加有效和可靠。此外，本文所提出的算法能夠較容易地推廣到其他擴頻系統，進一步提高了該算法的應用范圍。