以極限和連續的概念為例淺談高職數學的教學技巧

曾大恒　劉淑貞

摘要：極限與連續是微積分最為基礎的概念，也是高等數學必教必學的內容之一。對于高職學生來說，如果按照本科層次的教學方法開展教學，往往使原本枯燥和抽象的高等數學知識更加難于理解和掌握。如何針對高職學生特點和課程定位生動講解高等數學的基本概念，筆者從自身教學實踐出發，以極限和連續的概念為例，提供了可供參考的教學方法和技巧，對高職數學的教學具有一定指導作用。

關鍵詞：高職數學；極限與連續；教學技巧

中圖分類號：G718.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）29-0168-03

一、無需過于追求數學的邏輯性與嚴謹性

高職院校的數學教師大多從本科院校畢業且具有碩士以上的學歷學位，在開展高職數學教學過程中，許多教師往往從自身所學專業出發，跳不出教材，跳不出數學的邏輯性和嚴謹性，習慣于按照傳統的方式進行傳授。例如，在講述“函數極限的概念”時，總喜歡用“ε-δ”語言來描述函數極限的定義；在講述 “函數連續的概念”時，總離不開先講連續的“第一定義”再過渡到連續的“第二定義”。

高職教育以培養應用型人才為目標。在高職工科類的專業人才培養方案中，《高等數學》僅是一門公共基礎課和素質教育課，課程開設時量一般不超過職業素養課程（公共基礎課和素質教育課）總學時的1/6，開設《高等數學》的主要目的是為后續專業課程的學習奠定一定的數學基礎，同時也為培養學生綜合素質發揮一定的作用。根據高職人才的培養目標、《高等數學》在人才培養中的定位以及課程的教學時量安排，決定了該課程的教學應當遵循“以應用為目的、理論適度夠用”的原則，要求教師必須打破傳統的學科教學模式，教學中無需過多地強調知識的系統性、邏輯的合理性和思維的嚴謹性。

同時，受國內高考制度的影響，高職院校總是排在高考最后一批錄取，達到或超過本科錄取分數的考生很少愿意選擇填報高職院校。教學中發現，高職學生的文化基礎（尤其是數學基礎）普遍較弱，學習能力、學習興趣、學習習慣等綜合素質可見一斑。對于很多抽象的數學概念，如果按照傳統的教學方法講授，教師講得神采飛揚，絕大多數學生往往黯然神傷，上課打瞌睡或干其他事情的現象比比皆是，上課氣氛經常十分沉悶，久而久之，學生總會感覺高等數學特別難學，對數學的學習越來越沒有信心，教學效果可想而知。如何讓高職院校的課堂成為有效課堂，如何讓高職院校的學生學中有樂、學有所獲，迫切需要高職院校的教師結合學生特點，打破傳統模式，創新教學方法，轉變教學觀念。

二、高職數學的教學技巧

（一）靈活運用類比教學法，將復雜內容條理化

把兩個屬性相近或類似的教學內容對照進行分析、理解，使復雜的概念變得條理清晰、簡單易懂，這種方法稱為類比教學法。類比教學法對于引發學生的學習動機、幫助學生理解抽象概念、發展學生的求異性思維以及培養學生學習的主動性具有重要意義。以函數極限的概念為例：

根據自變量的不同變化趨勢，函數y=f（x）的極限分為兩種情形：x→∞和x→x■。在x→∞的情形中，存在自變量趨于負無窮大和自變量趨于正無窮大兩種情形；在x→x■的情形中，同樣存在自變量從左邊趨向于

x■（即x→x■■）和從右邊趨向于x■（即x→x■■）兩種情形。運用類比教學法，很容易厘清這一復雜概念。

講解時，可列舉三個不同函數：（1）y=arctanx；（2）y=arccotx；（3）y=■；分別作出它們的圖形，通過觀察圖像，不難得出：要使■f（x）存在，當且僅當■f（x）和■f（x）均存在且相等，即■f（x）=A，■f（x）=B且A=B。

有了對函數y=f（x）在x→∞時極限概念的理解，講函數y=f（x）當x→x■時的極限概念時，可以把x→x■■與x→-∞、x→x■■與x→+∞、x→x■與x→∞分別加以對照，通過舉例、作圖、觀察等手段不難得出：■f（x）存在的充要條件是■f（x）和■f（x）均存在且相等，即■f（x）=A，■f（x）=B且A=B。

（二）充分發揮圖形的作用，將抽象內容直觀化

數學本身就是一門研究“數形關系”的學問。大家知道，幾何離不開圖形，其實代數和圖形也同樣是分不開的。教學中充分發揮圖形的作用，經常會使抽象的問題變得尤為直觀、簡單。以函數連續的概念為例：

我們借助函數圖形，很容易直接觀察出“不連續函數”的特點，然后進行原因分析，用數學語言描述：

圖1中，函數圖像在x■處不連續。原因分析：函數的極限值存在，函數值不存在；

圖2中，函數圖像在x■處不連續。原因分析：函數的極限值存在，函數值也存在，但極限值和函數值不相等；

圖3中，函數圖像在x■處不連續。原因分析：其函數值存在，但極限值不存在（左極限存在，右極限存在，左右極限不相等）。

由此直接得出結論：要使函數在x■處連續，必須同時滿足以下三個條件：（1）函數在x■及其附近有定義，即f（x■）存在；（2）函數在x■處極限存在，即■f（x）存在；（3）函數在x■處的極限等于函數在x■處的函數值，即■f（x）=f（x■）。以上通過發揮函數圖形的作用，非常清楚直觀地講解了函數連續的要點。

數學知識的抽象性、復雜性和特殊性，是造成高職學生難理解、難接受、難內化的原因之一。利用圖形的直觀性幫助學生學習數學，可以把很多數學知識化難為易、化抽象為具體，使學生恍然大悟，豁然貫通。一個好的數學教師教學經常是尺不離手，圖文并茂，作圖標準，信手拈來。因此，作為起主導作用的數學教師，應時刻滲透用圖形教學的理念，隨時展示圖形語言的優越性，體現圖形語言的價值所在。

（三）生動運用比喻教學法，將枯燥內容形象化

比喻是用相似的事物打比方的一種修辭手法。被比方的事物叫“本體”，用來打比方的事物叫“喻體”，比喻就是用“喻體”來映射“本體”，其目的在于將事物表達得更生動形象。

課堂上，利用形象貼切的比喻開展教學，經常能使枯燥難懂的數學知識變得豐富多彩、生動有趣，從而增強學生的自信心，激活學生的學習熱情。

例如，如何理解什么是初等函數——由基本初等函數經過有限次復合或者有限次四則運算并用一個表達式表達的函數——這一概念。可以設想用“廚師炒菜”作比喻：將“六種基本初等函數”比作是“需要加工的原材料”，把“有限次復合或有限次四則運算”比作是“烹、煎、煮、炸”的加工過程，“用一個表達式表達”好比是“用一個盤子”裝著，“端出的這道菜”就是“初等函數”。

又如，什么是“連續”？首先可以告訴學生，通俗地說“連續”就是“連綿不斷”的意思。然后用一個比喻形象說明：我們從小都見過大人們織毛衣，用到的毛線如果是“連續”的，就可以將這根毛線從頭織到尾；如果這根毛線在中間某一點（x■，y■）上被蟲子咬斷且吃掉了（如圖1），毛線是“不連續”的；被蟲子咬斷后沒有吃掉而是落在（x■，y■）的下方（如圖2），毛線也是“不連續”的；毛線被蟲子咬斷并且將咬斷后的線頭搬動了一個位置（如圖3），毛線更是“不連續”的。一個比喻，三種情形，一目了然。

再如，在理解“函數y=f（x）在x■處的極限與函數在x■處是否有定義之間的關系”時，可以設想教室入口的墻壁是北緯30°，現有一只螞蟻沿著與墻垂直的線路向墻壁移動，當螞蟻慢慢靠近墻壁時，我們說螞蟻會越來越接近北緯30°（即以北緯30°為極限）。現假如門口的這堵墻被拆掉了，螞蟻仍沿著同樣的線路移動，當螞蟻越來越靠近墻壁原來所處的位置時，還是會以北緯30°為極限。也就是說，當螞蟻向門口墻壁移動時，螞蟻移動的極限值（北緯30°）與墻壁是否存在是沒有直接關系的。

現實教學中，比喻的例子很多。實踐證明，比喻教學法不失為一種好用的教學方法。凡是比喻教學法使用恰當的地方，學生就掌握得好。因此，需要我們數學教師在備課過程中善于思考、善于總結，才能把書本上很多枯燥難學的概念、知識做出恰當的比喻，使其與生活中的事物聯系起來，從而使它們變得生動形象，易于理解，易于接受。

學無定式，教無常法。作為高職教師的教學，要得到良好的教學效果，教師不但要具有豐富和淵博的專業知識，更要有一套行之有效的教學方法和技巧，就二者來說，后者更為重要。

參考文獻：

[1]張楚廷.教學論綱[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]羅成林，章曙雯.電路數學[M].北京：人民郵電出版社，2012.

[3]曾大恒.高職數學可以避繁就簡[J].數學學習與研究，2017，（01）：26.

[4]曾大恒.淺析高職數學中定積分概念的教學設計[J].教育現代化，2017，（09）：256.

[5]曹瑞.類比教學法的研究與應用[J].教學與管理，2011，（09）：128.

[6]黃亞麗；徐恒祥.正確發揮圖形直觀在數學教學中的作用[J].教學與管理，2016，（08）：36.

[7]司小玲.比喻教學法在單片機及接口技術中的運用[J].赤峰學院學報（自然科學版），2013，（05）：246.