不等跨變軸徑四支承曲軸支反力分析計算

張順平，雷文剛，李 奎

(重慶水泵廠有限責任公司國家企業技術中心，重慶 400033)

目前，在常用設計手冊里[1-4]一般只能查閱到曲軸每跨跨距、軸徑及載荷相同情況下超靜定梁各支承處的支反力計算系數，不能查閱到不同跨距、軸徑及載荷的支反力計算系數，因此給曲軸的受力分析及支承處軸承的壽命計算帶來很大難度。為了解決這個問題，本文通過對“曲軸每跨跨距、軸徑及載荷相同的超靜定梁的支反力計算”模型的擴展，建立了“曲軸每跨跨距、軸徑及載荷各不相同的超靜定梁的支反力計算”模型，并建立了該模型下的支反力計算公式。

1 模型建立

曲柄連桿機構常被用作將旋轉運動轉化為往復運動的轉換機構，而在曲軸上設計的連桿機構則是常見的一種結構布置形式。曲軸在旋轉過程中，每一拐的連桿受力都隨轉角的變化而變化，因此曲軸兩端及中間支承處的支反力也是隨曲軸轉角變化而變化[5]。為了能精確計算曲軸受力及曲軸支承處軸承受力，就需要根據每拐連桿隨轉角變化的力來分析計算曲軸各處的支反力。

曲軸的支承一般都是采用滾動軸承或滑動軸承，因此可以將曲軸支承簡化為簡支橫梁的模型。而本文討論的是四支承曲軸，因此屬于橫梁簡支超靜定的計算范疇。

為計算各支承處的支反力，本文中建立的計算模型滿足以下條件：1)曲軸上有4個支承，且輸入端為懸臂梁結構形式；2)每跨的跨距及軸徑都不相同；3)每個載荷大小不同，且每跨最多受2個集中載荷及輸入端受1個懸臂集中載荷(如皮帶輪或外掛齒輪載荷)。

在曲柄連桿機構[5]的受力分析中，可將曲軸支反力簡化為如圖1所示的連續梁超靜定簡支梁模型進行計算。

圖1 三跨四支承簡支梁

該模型中符號的含義見表1。

表1 符號說明

2 受力分析與計算推導

2.1 標準三彎矩方程式

在材料力學及建筑結構靜力學[1-2]中，其標準三彎矩方程如下：

(1)

2.2 虛反力計算模型

1)單跨中間1個虛擬集中載荷的虛反力。

在連續簡支梁中[2]，單跨1個虛擬集中載荷的虛反力模型如圖2所示，其虛反力分別為：

①簡支座A的虛反力。

(2)

②簡支座B的虛反力。

(3)

圖2 單跨1個虛擬集中載荷虛反力

2)單跨中間2個虛擬集中載荷的虛反力。

常規設計資料里[2-4]，對連續簡支梁只給出了“單跨對稱2個虛擬集中載荷的虛反力計算”，未對“非對稱2個虛擬集中載荷的虛反力計算”進行分析，本文結合“單跨中間1個虛擬集中載荷的虛反力計算”，分別按“F1與作用距離a”和“F2與作用距離b”的虛反力進行力的合成，其模型如圖3所示，結合式(2)、(3)經過推導得：

①支承彎矩。

MA=MB=0

(4)

②簡支座A的虛反力。

(5)

③簡支座B的虛反力。

(6)

圖3 單跨2個虛擬集中載荷虛反力

3)單跨一端1個虛擬彎矩載荷的虛反力。

在連續簡支梁中[2]，單跨一端1個虛擬彎矩載荷的虛反力模型如圖4所示，其支承彎矩的計算公式與式(4)相同，虛反力的計算公式分別為：

①簡支座A的虛反力。

(7)

②簡支座B的虛反力。

(8)

圖4 單跨一端1個虛擬彎矩載荷虛反力

2.3 建立中間各簡支座的三彎矩方程式

圖1中，由于連續支梁兩端簡支座0和3處沒荷載[1]，因此彎矩M0=M3=0，結合式(1)可以分別列出簡支座1和2處的三彎矩方程式。

簡支座1的三彎矩方程式：

(9)

簡支座2的三彎矩方程式：

(10)

2.4 各外載荷對各簡支座的虛反力計算

1)第1跨的虛反力計算。

該跨有載荷F1和F2，按照式(4)、(5)、(6)對第1跨求其虛反力：

(11)

(12)

2)第2跨的虛反力計算。

該跨有載荷F3和F4，按照式(4)、(5)、(6) 對第2跨求其虛反力：

(13)

(14)

3)第3跨的虛反力計算。

該跨的載荷有F5,F6及F7對簡支座3的彎矩MF7=-F7a。因此先分別求出每個載荷對該跨的虛反力，然后將簡支座A和B的虛反力合成。

①該跨載荷F5和F6對簡支座A、B的虛反力，按照式(4)、(5)、(6) 對第3跨求其虛反力：

(15)

(16)

②該跨載荷MF7=-F7a對簡支座A、B的虛反力，可按照式(7)、式(8) 對第3跨求其虛反力：

(17)

(18)

根據式(15)～(18)，即可以求出該跨總的虛反力：

(19)

(20)

2.5 各簡支座彎矩的計算

將式(11)～(20)代入式(9)和式(10)中求解得到各簡支座的彎矩：

2.6 各簡支座支反力的計算

根據外載荷F1～F7及式(21)中的各彎矩，可以求解各簡支座的支反力。

1)簡支座0處支反力計算。

在簡支座1處將連續簡支梁截斷，取左邊桿件進行分析。因為R0l1-F1(l1-a1)-F2(l1-b1)=M1,所以有

(22)

式中：Ri為支座i處的支反力，i=0,1,2,3。

2)簡支座1處支反力計算。

在簡支座2處將連續簡支梁截斷，取左邊桿件分析得：

R0(l1+l2)+R1l2-F1(l1+l2-a1)-F2(l1+l2-b1)-F3(l2-a2)-F4(l2-b2)=M2

所以有

(23)

3)簡支座2處支反力計算。

在簡支座3處將連續簡支梁截斷，取右邊桿件分析。因M3=-F7a，分析得：

R0(l1+l2+l3)+R1(l2+l3)+R2l3-F1(l1+l2+l3-a1)-F2(l1+l2+l3-b1)-F3(l2+l3-a2)-F4(l2+l3-b2)-F5(l3-a3)-F6(l3-b3)=M3

所以有

R2=

(24)

4)簡支座3處支反力計算。

在簡支座2處將連續簡支梁截斷，取右邊桿件進行分析。因R3l3-F3a3-F6b3-F7(l3+a)=M2，所以有

(25)

3 公式驗證

3.1 驗證方法

1)按《機械設計手冊》中特例進行驗證。

令F1=F3=F5=F，F2=F4=F6=F7=0，b1=b2=b3=a=0，I1=I2=I3=I，l1=l2=l3=l，a1=a2=a3=l/2。將按本文公式計算得到的結果與按《機械設計手冊》[4]計算得到的值進行比對，結果見表2。

表2 與《機械設計手冊》算得支反力的比對結果

2)用MADYN2000轉子動力學專用軟件進行驗證。

令F1=1 000N，F2=1 500N，F3=2 000N，F4=2 500N，F5=3 000N，F6=3 500N，F7=1 200N，l1=l2=l3=150mm，a=200mm，a1=a2=a3=50mm，b1=b2=b3=105mm，第1跨外徑do1=90mm、內徑di1=45mm，第2跨外徑do2=105mm、內徑di2=45mm，第3跨外徑do3=120mm、內徑di3=45mm，懸臂端外徑do4=90mm、內徑di4=45mm。分別用MADYN2000轉子動力學專用軟件與本文計算公式進行計算比對，其比對情況如下：

①通過轉子動力學專用軟件MADYN2000建立模型，模型及計算結果如圖5所示。

圖5 MADYN2000軟件建模及計算結果

②比對兩種計算方法獲得的支反力結果。

本文公式與MADYN2000轉子動力學專用軟件計算得到的支反力比對結果見表3。

表3 與MADYN2000轉子動力學

3.2 驗證結果分析

《機械設計手冊》中是直接給出支反力系數，沒有給出計算公式，因此采用特例驗證方式驗證了本文公式的正確性。

由于MADYN2000轉子動力學專用軟件采用的是有限元計算分析法，在計算時邊界條件有細微差異，導致結果也有一定偏差，但二者的計算結果是高度吻合的。

本文計算公式是用三彎矩方程求解簡支梁理論推導出來的，該公式的計算結果與《機械設計手冊》結果完全吻合，且與MADYN2000轉子動力學專用軟件計算結果高度吻合，由此可知，本文計算公式是完全正確的。

4 結束語

本文介紹的不等跨變軸徑四支承曲軸支反力分析計算方法，為四支承曲軸支反力計算提供了快速、精確的計算依據，也為以后曲軸及軸承受力分析提供了可靠的數據，具有較高的工程實際意義。由于本文只是從理論上進行研究，與實際應用可能還存在一些差異，以后可結合工程實際應用進行驗證以獲得修整系數，使其達到與工程實際應用的高度吻合。