分形市場假說中針對個股的實證研究

李健

摘要：針對有效市場假說無法解釋的一些實際問題，有人提出了更加合理的分形市場假說。文章收集了百余支于美國上市的A股十年的收盤價，著重于對個股的對數收益率的分析。試圖針對單支股票的情況來驗證分形市場假說的合理性。通過分析發現對數收益率集中分布于0.4至0.55之間，近似呈均勻分布的特征，而且多數股票Hurst指數小于0.5。說明了這些上市A股多數具有一定的反持久性的分形特征。進而驗證了分形市場假說在一定程度上是合理的。

關鍵詞：分形市場假說；Hurst指數；R/S分析；個股分析

1 引言

自從有效市場假說（簡稱EMH）被正式提出后，和其相關的爭論便從未停止。大量的實證結果表明，金融資產的收益曲線總分布形態與正態分布的契合度并不是足夠高，其位于兩端的數據明顯與正態分布應該出現的情況不符。

伴隨著分形理論、動力系統理論等一系列非線性理論的建立與完善，人們逐漸意識到這些理論也是可以應用到金融市場理論中的。Peters是分形市場假說這一概念最早的提出者[1]，這一理論的核心思想分數布朗運動與資本市場的某些數據的波動情況類似。針對中國股市分形特征的研究也已經取得了一定的成果[2-3]。隨后的研究則是以具體行業版為研究對象[4]，但是針對具體行業的研究結果并不是很理想，不同板塊之間差異較大。在之后也有一些成果是針對個股的但是這些針對個股的研究由于個體之間的差異性，顯然許多結果是不夠理想的。

本文基于分形市場假說，針對一部分個股的相關指數來考察其基本的單分形特征，通過經典的R/S方法來判斷個股對于歷史數據是否具有記憶性，并對分析結果進行解釋。進而試圖比較不同個股之間的差異性和規律性，并嘗試著找出產生這種結果的原因。

2 相關理論介紹

2.1有效市場假說

有效市場假說初步形成于20世紀初，認為在一個正常的有效率的市場上，每個投資者是無法根據歷史數據來推測未來股票走勢的。也就是說聽專家推薦股票與聽黑猩猩的效果相同。

其假設在市場投資中的每一個人都是絕對理性的經濟投資者。投資者供求關系的穩定是股票價格變動的直接原因，簡單的說就是想買入的投資者人數恰好等于想賣出的投資者人數。如果不等就說明其中有利可圖，一部分投資者會通過操作使供求關系平衡。并且認為信息波動與股票收盤價或是其收益率的波動是線性關系。

2.2 分形市場假說

分形市場假說對于有效市場假說最大的改進就是在于信息與價格之間的關系上，分形市場假說將二者的關系建立在非線性系統上。利用相關理論有效地解釋了一些有效市場假說所并不適用的金融市場中產生的“異象”。并且通過一系列總體上的分析和具體數據方面的分析，在某種程度上可以說明有效市場假說只是分形市場假說的與更強的假設條件下的一種特例，這一論點的證明給分形市場假說研究者繼續下去的信心。

分形市場假說默認金融市場是由大量的處于不同投資起點，具有不同投資水平的投資者組成的。各類信息對于處于不同階段的投資者的決策的影響是不同的，信息與投資者的決策之間的關系是復雜的，不是簡單的線性關系。這是也分形市場假說與有效市場假說在假設條件上最核心的區別。

此外，從信息集角度來看，其認為在一定的假設條件下，股票價格的波動可能只是新信息進入市場后，對相應的決策時間或周期內的影響而產生的所反映在具體數據上的參數。當某一事件或新信息的出現導致得原有基礎分析的準確性無法保證時，如果長期投資者和短期投資者的實際決策期限都集中在在同一種投資標準，市場供求關系的穩定性就無法得到保證，因為在這種極端的條件下，僅僅依靠長期投資者是無法保證市場的流動性的，也因此無法保證市場供求關系保持在一個平衡的狀態。

2.3 R/S分析法

R/S分析法在統計分析中通常被用來分析一段時間序列是否具有持久性或記憶性等分形特征[5]。R/S分析法針對的是某一時間序列{ }，對時間序列所在的區間n等分，不妨設所分得的每個區間的長度為c，在每一個小區間上約定

其中，n個小區間標準測度的平均值記為 ， 為n個小區間的累積離差。同時令

若以S表示所得小區間所對應的時間序列的標準差，那么我們按如下的定義方式就可以得到重標極差，記為R/S，這一變量顯然是隨著時間的推進而逐步增大的。Hurst進一步推導出

對上式兩邊取對數，得

這里的H值就是我們驗證股票分形特征的重要參數，也就是常說的Hurst指數，通過一系列學者的研究，發現了這一指數對反應時間序列是否具有一定的記憶性或跟隨性是很重要的。盡管有許多方法來求解H，但是通過最小二乘法的回歸分析無疑是其中最簡單的一種。

2.4 Hurst指數

Hurst指數是通過R/S法所得出的反應時間序列是否具有記憶性的分形特征的一個很總要參數。具體的結論如下。

（1）當H=0.5時，時間序列就是標準的隨機分布的，收益率呈正態分布，也就是有效市場假說所假設的條件；（2）當0.5

綜上，當所求Hurst指數偏離0.5時，便從某種程度上說明了所研究的時間序列具有一定的記憶性，并且偏離程度越大，相應的分形特征也越明顯。

3 針對個股的實證研究

3.1 數據收集

本文自choice金融終端獲取了160支股票自2008年1月3日起至2017年12月30日為止的日收盤價，每支股票包含2516個數據，經計算獲得其對數收益率，再通過編寫的求Hurst指數的程序，在MATLAB和Excel等軟件的幫助下獲得了這些股票的Hurst指數，并對其進行了統計分析。

3.2 實證過程

Hurst指數的計算過程如下：

（1） 為克服數據本身的異方差，首先計算其對數收益率，計算公式為 ，記 為t時刻的對數收益率；（2）將對數收益率的取值區間分為A個區間長度為n的連續子區間，并計算在每個區間的對數收益率的均值；（3）計算每個子區間內的對數收益率均值的累積離差；（4）計算每個子區間的極差和標準差；（5）計算所得到的A個連續子區間序列的重標極差序列的均值；（6）增加子區間長度，并重復上述步驟，直到數據用盡；（7）采用最小二乘估計法進行回歸分析，所得回歸曲線的斜率即為所需求的Hurst指數

如此便求出了一支股票的Hurst指數，然后利用Excel宏計算可求出所有股票的Hurst指數，從而得到需要分析的最終數據。

3.3實證結果

本文用上述方法計算出了160支股票的Hurst指數分布情況。其中Hurst指數小于0.5有102支大約占所調查股票的64%，并且數據集中分布與0.4—0.55之間，平均值約為0.485.為使結果更加直觀，還給出了這些Hurst指數值通過升序排序后的散點分布圖。

四、分析及結論

上述結果表明多數股票的Hurst指數小于0.5，也就是說在股票市場中的各個變量之間的關系不是獨立的，也不是單純的線性關系。且數據之間也不是互不影響的，前面的數據會對后面的數據產生一定的影響。盡管這種分形特征對大多數個股而言并不是顯著的。但也可以從一定程度上說明了就股票而言，分形市場假說與實際情況的契合度比有效市場假說更高，分形市場假說也更適合于針對股票的研究。

信息與股票波動情況的關系是復雜的，但二者又是密切相關的。新的信息對股票的波動情況的影響除了理論的假設外，與實際情況相結合的實證研究也是必要的。但是由于信息這一概念的多樣性與復雜性，相關的研究證明是不容易的。公司自身產生的信息實際上只是影響股票價格波動的大量信息中的一少部分，還有其它同類公司對其的影響、相關行業政策的影響、甚至是一些自然因素等都可能使股價波動。

大多數股票的日對數收益率具有一定的分性特征，有一定的記憶性，而且明顯與有效市場假說中假設的正態分布不符，是符合分形市場假說的。然而針對到個體時，情況的復雜性可能會導致一些宏觀的理論不適用。在完善相關理論時，必須先從地區總體的數據出發，相關體系成熟后，推廣到某種板塊，或是某一行業，最后攻克個股。當然在此過程中，上級理論在下級項目中的驗證情況對于完善相關理論是很重要的。

參考文獻

[1]PETERS E.Chaos and Order in the Capital Market[M].New York：John Wiley&Sons;，1991.

[2]朱品品. 分形與混沌理論在中國股票市場中的應用[D].蘭州大學，2008.

[3]張羽. 中國股市分形特征及其應用研究[D].安徽大學，2014.

[4]岳金枝，楊汝梅，趙文秀，張艷翠.基于Hurst指數的上市銀行股票市場分形特征的實證研究[J].曲阜師范大學學報（自然科學版），2016，42（04）：5-10.

[5]MANDELBROT B.The fractal geometry of nature[M].New York.W.H.Freeman.1982.

[6]李威. 中國股市長期記憶性及趨勢分析[D].廣州：暨南大學，2016.