化歸思想在初中數(shù)學解題中的應用

王保成

(浙江省杭州市余杭區(qū)太炎中學 311121)

隨著新課改教學理念的深入推行，要求在初中數(shù)學教學中注重對數(shù)學思想的滲透教學，以培養(yǎng)學生具有較高的數(shù)學應用能力.在中學數(shù)學教學中，常用的數(shù)學思想有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，這些基本的數(shù)學思想都可以看成是由化歸思想演變而來的，因此，加強化歸數(shù)學思想在數(shù)學教學中的應用，對增強學生靈活的數(shù)學思維能力，提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要的作用.同時，化歸思想的應用有利于將復雜、抽象、不易解決的數(shù)學問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵?、形象、易解決的數(shù)學問題，從而能夠提高學生的數(shù)學解題能力和數(shù)學解題效率.筆者結(jié)合實踐數(shù)學教學實踐，對化歸思想在實踐數(shù)學解題中的應用方法進行了深入探索.

一、化歸應用遵循的基本原則

在初中數(shù)學教學中，進行化歸思想教學與應用，應遵循如下基本原則：

一是簡單化的原則.就是化歸思想在解題應用中，要遵循把復雜、抽象、困難的問題變?yōu)楹唵?、直觀、易處理的問題，將特殊類型的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成一般類型的問題來解決，要把復雜的大問題轉(zhuǎn)化成多個簡單的小問題來處理，以采用簡單的方法來各個擊破，化歸思想方法的應用要能降低解題難度，這樣才能更好發(fā)揮化歸思想的作用.

二是熟悉化的原則.化歸思想的運用，要有利于學生將不熟悉的問題轉(zhuǎn)變成熟悉的問題來解決，這樣才能讓學生利用已有的知識和經(jīng)驗，來快速有效解決遇到的新問題和陌生問題，能幫助學生提高數(shù)學解題效率.

三是正難則反的原則.當某些數(shù)學問題如果從正面進行解決比較困難時，就可以運用化歸的思想，從問題的相反面進行尋找解決的方法，來使問題得到解決.如，在解決數(shù)學問題時遇到“至少”、“最多”、“不存在”等問題時，從相反面進行解決就能使問題變得簡化.

四是直觀化的原則.堅持直觀化的原則，就是化歸思想在運用中要注重把抽象復雜的問題，盡可能轉(zhuǎn)化成簡單易懂的圖形來處理，也就是把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化成“形”的問題，注重與數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)合運用，使問題變得一目了然，有利于學生快速形成解題思路.

五是極端與標準化的原則.通過對一些問題在極端狀態(tài)下的特點、特性進行觀察來獲得有益的解題啟示，從中找出所要解決問題在一般狀態(tài)下的性質(zhì)，以找到解決問題的思路和方法；化歸思想的運用還應堅持標準化的原則，即把特殊或非標準問題盡可能轉(zhuǎn)化成標準人的問題來解決.

二、化歸思想的解題應用方法

1.化難為易

在初中數(shù)學解題中，許多問題如果按照常規(guī)的解題方法來處理就比較復雜，或是不容易找到解題的思路和方法.如果運用化歸的思想，把這些復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題來處理，就非常容易解決.因此，在解題中當遇到復雜問題時，應考慮把問題進行轉(zhuǎn)化以尋求用簡單的方法來解決.

解析對于此題的一般解決策略，就是要假設(shè)x=2k,y=3k,z=4k，把這三個式子代入到所求分式中來進行計算，該方法是把多元的分式轉(zhuǎn)化成了一元的方法，在解題中仍然比較復雜而且容易出現(xiàn)錯誤.如果將三個未知數(shù)用三個特殊數(shù)字來代替：x=2,y=3,z=4，這樣就能既簡單又快速地求出分式的數(shù)值.該方法的運用要注意題目的特點和所給條件的合理恰當使用，主要用于尋找解題思路和方法使用.

2.化數(shù)為形

在初中數(shù)學解題中，對于一些數(shù)量關(guān)系比較復雜抽象的問題，如果能把這些復雜的數(shù)量問題變成直觀的幾何圖形問題就能讓學生容易解決問題，而且還可以繞開冗長繁瑣的數(shù)量計算過程.

例2 已知x>0，求代數(shù)式：x2+4+(12-x)2+9的最小值是多少.

解析本題屬于代數(shù)題目，但對于初中學生來說，不容易用代數(shù)方法直接解答本題，如果能夠變換解題思路，運用數(shù)形結(jié)合的方法，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題來求解，就容易解決.可以根據(jù)勾股定理，來構(gòu)造兩個直角三角形，并把x2+4和(12-x)2+9當成是兩個直角三角形的斜邊.因為BD=12，設(shè)BE=x，可以把這兩個直角三角形的一條直角邊放在同一條線段上,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即：AE+EC>AC，當A,E,C三點在一條直線上時最小.如圖1所示，這樣就把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了求兩條線段之和最短的問題了.即求圖中的AE+EC的最小值，由于兩點之間的線段是其最小值，這樣就能在直角三角形AFC中容易求出代數(shù)式的最小值是13(即AC長).

3.化動為靜

在初中數(shù)學解題中，特別是在中考解題時，許多學生對于綜合性的動態(tài)題目經(jīng)常是不知如何下手，不易找到解題的思路和方法.如果運用化歸的思想，把動態(tài)的問題想法轉(zhuǎn)化成靜態(tài)問題，這樣問題就變得容易解決了.

例3 在圖2所示直角三角形ACB中，已知AC=6，BC=8，M點是斜邊AB上的動點(不與A、B重合)，E是直角邊BC上的中點，作一個直角，MF和BC相交于F點.假設(shè)BM=x，△BME的面積是y，求出：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定x的取職范圍.

4.化斜為直

在初中的平面幾何解題中，經(jīng)常遇到解斜三角形的問題，當已知一個三角形的下列情況的邊與角的數(shù)據(jù)時就能確定該三角形：三條邊、兩邊及夾角、兩角及夾邊、兩角及對邊.在現(xiàn)實生活中許多問題是以斜三角形為背景，在解決這類問題時，如果通過作三角形的高線，就能把斜三角形的問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題，這樣就容易求解三角形的問題.

例4 在圖3中要從A地到B地，因為在兩地之間有一座山，需要繞行到C地，再從C地到達B地，現(xiàn)在要在山中開挖一條隧道，這樣就可從A地直接通行到B地.已知AC距離是20km，∠A=30°，∠B=45°，求從A地直接通達B地比原來路程少走多少km.

5.化整為零

在初中數(shù)學解題中，運用化整為零的方法可以把某些復雜的綜合性問題化歸成若干個獨立簡單容易解決的小問題，通過對這些小問題的解決，就能夠?qū)崿F(xiàn)對整個題目的求解.

綜上所述，化歸數(shù)學思想貫穿在中學數(shù)學學習的全過程，加強對化歸思想的教學滲透，能有效地培養(yǎng)學生靈活的數(shù)學思維能力，能把復雜、抽象、不熟悉、不易解決的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵?、直觀、熟悉、易解決的問題，能夠降低解題的難度，提高數(shù)學解題的效率和準確率，對培養(yǎng)學生較高的數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義.