中考里的“根與系數的關系”

王云峰

如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根，那么這就是一元二次方程根與系數的關系.熟練掌握這一知識點，對我們的解題非常有幫助.下面就讓我們走進2018年中考，領略一下她的風采吧！

例1 （2018·江蘇鹽城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一個根為1，則k的值為（ ）.

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【分析】直接利用根與系數的關系求解.

解：設方程的另一個根為x1.

則由根與系數的關系，得：

解得x1=-3，k=2.

故選：B.

【點評】已知一元二次方程的一個根求字母系數的值，可利用一元二次方程根與系數的關系求解，這種方法有時比根的定義法（即將根代入方程）求解簡便.

【分析】直接利用一元二次方程根與系數的關系求解即可.

解：設已知方程的另一個根為x1.

則由根與系數的關系，得：

故選：A.

【點評】本題利用一元二次方程根與系數的關系求解比用根的定義法求解簡便.

變式2 （2018·江蘇南京）設x1，x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=1，則x1=______，x2=______.

【分析】先由x1+x2=1求出m的值，再解方程得到x1，x2的值.

解：由根與系數的關系，得：

x1+x2=m.

又∵x1+x2=1，

∴m=1.

∴已知方程為x2-x-6=0.

即（x-3）（x+2）=0，

解得x1=-2，x2=3.

【點評】求一元二次方程的兩根，先利用根與系數的關系確定出一元二次方程中字母系數的值，然后解方程得到兩根.

例2 （2018·廣西貴港）已知α、β是一元二次方程x2+x-2=0的兩個實數根，則α+β-αβ的值是（ ）.

A.3 B.1 C.-1 D.-3

【分析】直接將α+β，αβ的值代入所求的代數式即可求解.

解：由根與系數的關系，得：

故選：B.

【點評】將代數式中的兩根互換后，代數式不變，這樣的代數式習慣上稱為“對稱代數式”，求“對稱代數式”的值利用一元二次方程根與系數關系求解比較快捷.

變式1（2018·四川眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的兩根，則的值是（ ）.

【分析】將變形為用含α+β，αβ表示的代數式，再利用一元二次方程根與系數的關系求解即可.

解：由根與系數的關系，得：

故選：C.

【點評】利用一元二次方程根與系數的關系求“對稱代數式”的值，有時需要將被求的代數式變形，變形為用兩根之和、兩根之積表示的代數式.

變式2 （2018·江西）一元二次方程x2-4x+2=0 的兩根為 x1，x2，則的值為_______.

【分析】利用一元二次方程根與系數的關系以及方程的根的定義求解.

解：∵x1，x2是x2-4x+2=0的兩根，

【點評】若待求值的代數式不是“對稱代數式”，這時可考慮綜合利用根與系數的關系、方程根的定義求解.

例3 （2018·貴州遵義）已知x1，x2是關于x的方程x2+bx-3=0的兩根，且滿足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值為（ ）.

A.4 B.-4 C.3 D.-3

【分析】將x1+x2，x1x2的值代入x1+x2-3x1x2=5即可求解.

解：由根與系數的關系，得：

解得b=4.

故選：A.

【點評】已知“對稱代數式”的值，利用根與系數的關系，可求方程中字母系數的值.

變式1（2018·山東煙臺）已知關于x的一元二次方程x2-4x+m-1=10的實數根x1，x2滿足3x1x2-x1-x2＞2，則m的取值范圍是_______.

【分析】將x1+x2，x1x2的值代入3x1x2-x1-x2＞2求解，另外還要考慮b2-4ac≥0這一個隱含條件對m的限制.

解：由根與系數的關系，得：

解得m＞3.

由題意，得：

表10“方差方程的Levene檢驗”列方差齊次性檢驗結果：F值為0.4781，顯著性概率為0.5050，大于0.05，因此兩組方差不顯著。

解得m≤5.

綜上，m的取值范圍是3＜m≤5.

【點評】在利用一元二次方程根與系數的關系求一元二次方程中字母系數的取值范圍時，考慮問題要全面，不能忽視隱含條件b2-4ac≥0對字母系數的限制.

變式2（2018·湖北十堰）已知關于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2+k-1=0有實數根.

（1）求k的取值范圍；

（2）若此方程的兩實數根x1，x2滿足=11，求k的值.

解：（1）由題意，得：

（2）由根與系數的關系，得：

整理得：k2-3k-4=0，

分解因式得：（k-4）（k+1）=0，解得k=-1或4.

【點評】利用一元二次方程根與系數的關系的前提條件是b2-4ac≥0，即一定要保證一元二次方程有實數根.此外，在求出字母系數的值后一定要檢驗.