“減肥法”妙解大系數的一元二次方程

江蘇省揚州市梅嶺中學九（10）班 葉初胤

在平時的學習中，我們遇到了很多用一元二次方程解決實際問題的試題.所列的一元二次方程中，一次項的系數和常數項的絕對值比較大，我們可稱之為“大系數”.如何妙解含有“大系數”的一元二次方程？今天我來介紹一種“減肥法”.

下面的例題是2017年銅仁市中考試卷的第23題，題目如下：

某商店以20元/千克的單價新進一批商品，經調查發現，在一段時間內，銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間為一次函數關系，如圖所示.

（1）求y與x的函數表達式；

（2）要使銷售利潤達到800元，銷售單價應定為每千克多少元？

【解析】本題考查了一元二次方程在銷售方面的應用.

（1）需要分類討論，分0＜x≤20與20≤x≤80兩種情況，當20≤x≤80時，利用待定系數法，即可得到y與x的函數表達式.

（2）根據“每件商品的利潤×銷量數量=總利潤”列出一元二次方程，解方程即可得到銷售單價，最后按照所要滿足的條件進行檢驗即可.

解：（1）當0＜x≤20時，y=60；

當20≤x≤80時，設y與x的函數表達式為y=kx+b，把點（20，60），（80，0）代入，可得：

∴y與x的函數表達式為

（2）若銷售利潤達到800元，根據題意，得：

化簡為：x2-100x+2400=0，

解得：x1=40，x2=60.

答：要使銷售利潤達到800元，銷售單價應定為每千克40元或60元.

那么如何妙解“大系數”方程x2-100x+2400=0呢？其實用公式法、配方法都是很麻煩的，能力強的同學可以直接用因式分解法——十字相乘法.

我們可以這樣做：先將一次項系數除以10，再將常數項除以100（即10的平方），由此得到了新方程為x2-10x+24=0.再逆向思考或者用“十字相乘法”進行因式分解，可知：x2-10x+24=（x-4）（x-6），所以方程x2-10x+24=0易解得：x1=4，x2=6.然后將這兩個根分別再乘10，就得到了原方程的解：x1=40，x2=60.

這個方法是不是很巧妙啊？那么這里包含著什么原理呢？讓我們來做驗證.

假設x2-px+q=0的兩個根分別為m、n，根據一元二次方程根與系數的關系，得到m+n=p，mn=q.如果一個含有“大系數”的方程x2-bx+c=0的兩根分別是m、n的k倍，則x2-bx+c=0的兩個根分別為km、kn，那么兩根之和為b=km+kn=k（m+n）=kp，兩根之積為c=km×kn=k2（mn）=k2q.我們再把兩個方程列表對比：

兩根之積q c=k2q方程___x2-px+q=0_____x2-bx+c=0____方程的兩根_m，n________km，kn______兩根之和p b=kp

由此可見，我們將方程x2-bx+c=0的一次項系數除以k，并把常數項除以k2，由此得到新方程為x2-px+q=0，而方程x2-bx+c=0的兩個根分別為方程x2-px+q=0的兩個根的k倍.這就是“減肥法”的妙處所在.

好了，下面請你也來試一試，請用才學到的“減肥法”妙解下面的中考題：

（2018·遵義）在水果銷售旺季，某水果店購進一優質水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克.根據銷售情況，發現該水果一天的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）滿足如下表所示的一次函數關系._____________________________

售價x（元/千克）…22.6 24 25.2 26…銷售量y（千克）…34.8 32 29.6 28…

（1）某天這種水果的售價為23.5元/千克，求當天該水果的銷售量.

（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為多少元？

【解析】（1）根據表格內的數據，利用待定系數法可求出y與x之間的函數表達式，再代入x=23.5即可求出結論；

（2）根據總利潤=每千克利潤×銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論.

解：（1）設y與x之間的函數表達式為y=kx+b，

將點（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，得

∴y與x之間的函數表達式為y=-2x+80.

當x=23.5時，y=-2x+80=33.

答：當天該水果的銷售量為33千克.

（2）根據題意得：（x-20）（-2x+80）=150，

整理得：x2-60x+875=0，

解得：x1=35，x2=25.

答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為25元.

請你認真思考一下，在解方程x2-60x+875=0時，先將一次項系數除以多少，再將常數項除以多少，就可以用“減肥法”求得這個方程的根？

下面，請你用所學的“減肥法”解決一道今年的中考題.

（2018·德州）為積極響應新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發出一種新型高科技設備，每臺設備成本價為30萬元.經過市場調研發現，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價為45萬元時，年銷售量為550臺.假定該設備的年銷售量y（單位：臺）和銷售單價x（單位：萬元）成一次函數關系.

（1）求年銷售量y與銷售單價x的函數表達式.

（2）根據相關規定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則該設備的銷售單價應是多少萬元？

參考答案：

解：（1）設年銷售量y與銷售單價x的函數表達式為y=kx+b（k≠0），

將點（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：

∴年銷售量y與銷售單價x的函數表達式為y=-10x+1000.

（2）設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為（x-30）萬元，銷售數量為（-10x+1000）臺，根據題意，得：

整理，得：x2-130x+4000=0，

解得：x1=50，x2=80.

∵此設備的銷售單價不得高于70萬元，

∴x=50.

答：該設備的銷售單價應是50萬元/臺.

教師點評

數學的樂趣在于深入研究和橫向聯系.這篇文章結合一元二次方程根與系數的關系，探究了“減肥法”解決“大系數”方程的依據和一般方法，是對一元二次方程的四種通用解法的有效補充.