抓住應(yīng)用本質(zhì) 厘清錯(cuò)誤本因

吳曉剛

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)目的就是為了解決生活中的問(wèn)題.同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要有這樣的應(yīng)用意識(shí)：分析問(wèn)題，尋找其中的等量關(guān)系，運(yùn)用方程模型來(lái)解決問(wèn)題.而當(dāng)我們用一元二次方程來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，錯(cuò)誤就相應(yīng)增多了.本文旨在幫助同學(xué)們厘清這些錯(cuò)誤的本因，準(zhǔn)確地解決這類實(shí)際問(wèn)題.

例1（2017·西藏）某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪的傳播就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？

【錯(cuò)解】設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，根據(jù)題意得：x2=144，解得：x1=12，x2=-12（不合題意，舍去）.答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染12臺(tái)電腦.

【剖析】每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，錯(cuò)解中兩輪后感染的臺(tái)數(shù)為x·x=x2，漏掉了原來(lái)感染的電腦.而實(shí)際上原來(lái)有一臺(tái)電腦被感染，一輪感染x臺(tái)電腦，共有（x+1）臺(tái)電腦被感染，則第二輪被感染的電腦為（1+x）x臺(tái)，由此得到總共被感染的電腦為1+x+（1+x）x臺(tái).

【正解】設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，根據(jù)題意得：1+x+（1+x）x=144，整理得：x2+2x-143=0，解得：x1=11，x2=-13（不合題意，舍去）.答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染11臺(tái)電腦.

【點(diǎn)評(píng)】本題在解答時(shí)要抓住的本質(zhì)是原來(lái)被感染的電腦的臺(tái)數(shù)，這樣才能準(zhǔn)確得到下一輪被感染的電腦的臺(tái)數(shù)及總臺(tái)數(shù).

例2某工廠從今年1月份起使用新設(shè)備，當(dāng)月生產(chǎn)收入達(dá)100萬(wàn)元，1至3月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長(zhǎng)，累計(jì)達(dá)364萬(wàn)元.求使用新設(shè)備后，2月、3月生產(chǎn)收入的月增長(zhǎng)率.

【錯(cuò)解】設(shè)每月的增長(zhǎng)率為x，由題意得：100（1+x）2=364，解得x≈0.91，或x≈-2.91（不合題意舍去）.答：每月的增長(zhǎng)率是91%.

【剖析】本題的錯(cuò)誤是將364萬(wàn)元當(dāng)成了3月份的生產(chǎn)收入，而實(shí)質(zhì)上364萬(wàn)元是1至3月份的總收入.題目條件中“累計(jì)”一詞已明確告知.1月份生產(chǎn)收入100萬(wàn)元，每月的增長(zhǎng)率為x，則2月份收入為100（1+x）萬(wàn)元，3月份收入為100（1+x）2萬(wàn)元，三個(gè)月的收入相加為總收入364萬(wàn)元.

【正解】設(shè)每月的增長(zhǎng)率為x，由題意得：100+100（1+x）+100（1+x）2=364，解得x=0.2，或x=-3.2（不合題意，舍去）.答：每月的增長(zhǎng)率是20%.

【點(diǎn)評(píng)】本題在解答時(shí)應(yīng)抓住的本質(zhì)是“累計(jì)”達(dá)到的收入，忽視對(duì)關(guān)鍵詞的理解會(huì)讓你“滿盤皆輸”.

例3某商店進(jìn)了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果按每件提價(jià)0.5元出售，其銷售量就減少10件.如果商店銷售這批服裝要獲得利潤(rùn)12000元，同時(shí)要使顧客得到實(shí)惠，那么這種服裝售價(jià)應(yīng)定為多少元？

【錯(cuò)解1】設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)為x元，由題意，得（x-50）［800-10×0.5×（x-60）］=12000.

【錯(cuò)解2】設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)為x元，由題意，得解這個(gè)方程，得x1=70，x2=80.答：每件服裝定價(jià)為70元或80元.

【剖析】對(duì)于每件服裝的利潤(rùn)，同學(xué)們沒(méi)有問(wèn)題，但對(duì)于服裝的銷售數(shù)量，很多同學(xué)不知所云，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)解1中的情況.同學(xué)們思考的障礙在于“如果按每件提價(jià)0.5元出售，其銷售量就減少10件”，應(yīng)當(dāng)把它轉(zhuǎn)化為“每件提價(jià)1元出售，其銷售量就減少20件”.有些同學(xué)碰上小數(shù)就發(fā)怵，如果條件是“如果按每件提價(jià)5元出售，其銷售量就減少100件”，他們就沒(méi)問(wèn)題了.錯(cuò)解2中沒(méi)有抓住“要使顧客得到實(shí)惠”這句話，沒(méi)有將定價(jià)高的答案舍去.

【正解】設(shè)這種服裝售價(jià)應(yīng)為x元，由題意，得解這個(gè)方程，得x1=70，x2=80.∵商店要使顧客得到實(shí)惠，∴定價(jià)為每件80元不合題意，應(yīng)舍去.答：每件服裝定價(jià)為70元.

【點(diǎn)評(píng)】本題在解答時(shí)應(yīng)抓住的本質(zhì)是服裝銷售數(shù)量的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵是隨著售價(jià)的變化，銷售數(shù)量是如何變化的.本題另一個(gè)關(guān)鍵是驗(yàn)根，一元二次方程都有兩個(gè)根，在求解無(wú)誤的前提下也必須要檢驗(yàn)，要看這兩個(gè)根是否有實(shí)際意義，是否滿足題目限制條件.

小試牛刀

1.如圖，利用一面墻（墻EF最長(zhǎng)可利用28米），圍成一個(gè)矩形花園ABCD.與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2米寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻）.圍花園的材料長(zhǎng)60米，當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米？

2.某香蕉經(jīng)營(yíng)戶以4元/kg的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批香蕉，以6元/kg的價(jià)格出售，每天可售出200kg.為了盡快售罄，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種香蕉每降價(jià)0.1元/kg，每天可多售出50kg.另外，經(jīng)營(yíng)期間每天還需支出固定成本50元.該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利650元，應(yīng)將每千克香蕉的售價(jià)降低多少元？