妙用韋達定理巧解根與系數的關系問題

徐菊萍

法國數學家韋達發現一元二次方程的根與系數之間有著某種特殊關系：如果一元二次方程的兩根是x1，x2，則x1+x2=用文字語言表述為：一元二次方程中兩根的和等于它的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根的積等于它的常數項除以二次項系數所得的商.我們稱這個結論為韋達定理，妙用韋達定理，常常可以避開繁瑣的求解，找到解題的捷徑.

一、已知方程，求關于方程兩根的代數式的值

例1 若方程x2-4x+1=0的兩根是x1，x2，則x1（1+x2）+x2的值為________.

【解析】方程的根是無理數，若直接代入，計算繁瑣.因所求涉及兩根關系，可根據韋達定理，整體求得兩根和與兩根積：由題意得x1+x2=4，x1x2=1；同時還需把給定的代數式經過恒等變形化為含x1+x2、x1x2的形式：x1（1+x2）+x2=x1+x2+x1x2，然后再把 x1+x2、x1x2的值整體代入即可.

【答案】5.

【點評】一元二次方程問題中，出現方程的根的和與積時，常不解方程，直接運用根與系數的關系，將所給代數式恒等變形成含兩根和、兩根積的形式，再整體計算.

例2 設一元二次方程x2-3x-1=0的兩根分別是x1，x2，則________.

【解析】因涉及兩根關系，首先考慮韋達定理，但是恒等變形不能出現兩根和與積的整體，再觀察所求代數式中這個部分的特點，可利用方程的解的定義（方程的解是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值），將方程的根代入原方程，得，再將此結果代回所求代數式=x1+x2，出現了兩根和的整體，再用韋達定理.

【答案】∵一元二次方程x2-3x-1=0的兩根分別是，故答案為：3.

【點評】對于涉及兩根的代數式問題，要善于觀察代數式結構，綜合考慮韋達定理和方程的解兩個要點，構造相應整體求解.

二、已知兩根，求方程字母系數的值或取值范圍

1.已知兩根，求方程字母系數的值.

例3 已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p=______；q=______.

【解析】解法一（代入法）：可將兩根分別代入方程，得關于p、q的一個二元一次方程組，解這個方程組即可.解法二（韋達法）：已知兩根，根據韋達定理，p與兩根和有關，q與兩根積有關，可得-p=（-3）+（-1）=-4，p=4；q=（-3）×（-1）=3.對比可見，韋達定理此時更勝一籌.

【答案】4，3.

【點評】已知兩根求方程中的字母系數，用韋達定理更方便、快捷.

備注：此題給我們提供了已知兩根可以創作一個新方程的思路，見下例.

2.已知兩根，求作一元二次方程.

例4 以2和-3為根的一元二次方程（二次項系數為1）是_______.

【解析】x1+x2=2+（-3）=-1，x1x2=2×（-3）=-6，若設關于x的方程為x2+px+q=0，根據韋達定理，-p=-1，p=1；q=-6，所以符合要求的一元二次方程是：x2+x-6=0.

【答案】x2+x-6=0.

【點評】求作一元二次方程時，先求兩根和與兩根積，再根據韋達定理寫出一元二次方程的一次項系數和常數項，再寫出一般式即可.

3.已知兩根關系，求方程字母系數的值.

例5 已知關于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有兩個實數根x1，x2.若x1，x2滿足x12+x22=16+x1x2，求實數k的值.

【解析】將兩根關系恒等變形成含有兩根和與積的形式x2，根據韋達定理用k表示x1+x2和x1·x2，得x1+x2=1-2k，x1·x2=k2-1，再將此結果代入等式，得到關于k的方程（1-2k）2-2（k2-1）=16+（k2-1），解此方程得k1=-2，k2=6.注意：這不是本題的最終結果，一元二次方程的根與系數的關系是以方程有解為前提，即根的判別式b2-4ac≥0.此題，解得因此實數k的值為-2.

【答案】-2.

【點評】已知兩根關系，用韋達定理求出方程中的字母系數后，一定要檢驗：①符合根的判別式b2-4ac≥0；②字母系數如果在二次項系數上，同時要保證二次項系數不為0.

4.已知兩根的符號性質，求方程字母系數的取值范圍.

例6 已知關于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有兩個負數根，那么實數m的取值范圍是_______.

【解析】由方程有兩個負數根，關注兩個要點：①方程有兩個實數根，則Δ=b2-4ac≥0；②兩根為負數，則兩根積為正，和為負.因此可得如下三個關系：

綜上所述：m＞7.

【答案】m＞7.

【點評】Δ=b2-4ac只能用于判定根存在與否，若判定根的正負，則需要考慮x1x2和x1+x2的正負情況.在Δ=b2-4ac≥0的前提下：

三、已知一個根，求另一個根以及字母系數的值

例7 已知方程x2-6x+m2-2m+5=0的一個根為2，求另一個根及m的值.

【解析】類似例3，有兩種做法.解法一（代入法）：根據方程根的定義，把x=2代入原方程，列出關于m的新方程，先求出m的值，再通過解方程求另一個根；解法二（韋達法）：利用根與系數的關系，x1+x2=6是定值，直接將已知根代入得另一個根為4，再由x1x2=m2-2m+5=4×2=8，解關于m的方程，可得m1=3，m2=-1.

【答案】另一個根是4，m的值為3或-1.

【點評】已知一個根，用韋達定理求另一個根時，需要觀察系數特點.若一次項系數是已知數，則用兩根和求另一個根；若常數項是已知數，則用兩根積求另一個根，再用另一組關系求字母系數.以x1，x2為兩根的一元二次方程（二次項系數為1）為:x2-（x1+x2）x+x1x2=0.