一元二次方程解法綜述

楊緒彪

一元二次方程對于九年級教材來說起到了承上啟下的作用，即它把一次方程、一次函數(shù)、一次不等式上升到二次方程、二次函數(shù)及其它們的應用.所以近幾年中考數(shù)學命題中容易題、中等題、難題都有一元二次方程的身影.下面就一元二次方程的解法做一些分析和探討，以幫助同學們較好地掌握本節(jié)知識.

一、解一元二次方程基本方法

1.直接開平方法.

如果x2=a，a≥0，則x=± a，x1= a，x2=- a.

2.配方法.

把一個一元二次方程變形為（x+h）2=k（h、k為常數(shù)）的形式，當k≥0時，就可以用直接開平方法求出方程的解.

3.求根公式法.

4.因式分解法.

將一元二次方程變形為：（x-a）（x-b）=0的形式，得出：x1=a，x2=b.

二、例題解讀

1.直接開平方法.

例1 解方程：9（3x-2）2=64.

【解析】這是一道典型的解方程題，我們需要將原方程兩邊都除以9，即再直接開平方，計算即可.

解：9（3x-2）2=64

【點評】本題考查了大家的基本運算能力，需要認真計算，盡量避免計算失誤導致的錯誤.

2.配方法、公式法.

例2 解方程：（x+1）（x-3）=-1.

【解析】看到這樣的題，首先分解（x+1）（x-3）為x2-2x-3.這時候有些同學反應比較快，發(fā)現(xiàn)用配方法可以把題目解出來，將原式化為x2-2x+1=3，再將式子完全平方，即可算出；而有些同學遇到這樣的題不知道用什么簡單的方法，只好用求根公式算出.

【點評】本題可一題多解，考查了大家是否有意識判斷使用哪種方法最佳.大家如果不能判斷的話，可用公式法.

3.因式分解法.

例3 方程x（x-3）=x-3的根是_______.

【解析】這是一個填空題.我們可以先將原方程寫為x（x-3）-（x-3）=0，然后提取公因式（x-3），即為（x-3）（x-1）=0，最后寫出結果：x1=3，x2=1.

【點評】本題主要考查了因式分解法.同學們要注意符號，不要把答案寫成-3、-1.

三、提高綜合類

例4 已知2x2-3xy+y2=0，則的值為_______.

【解析】從形式上看，本題不好解，但是認真分析題型發(fā)現(xiàn)，可以通過變形將它化為一元二次方程.

解：原方程變形為

例5 閱讀材料：為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們將x2-1視為一個整體，然后設x2-1=y，原方程變形為y2-5y+4=0①，解之得y1=1，y2=4.

當y=1時，x2-1=1，解得：

當y=4時，x2-1=4，解得

在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法，達到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學中的整體思想.解答問題：解方程x4-x2-6=0.

【解析】設x2=y，則原方程變形為y2-y-6=0，解之得y1=3，y2=-2，因為x2≥0，所以x2=3，即x1= 3，x2=- 3.

備注：大家解答本題時既要換元，又要注意y值的符號，做題時需要特別小心謹慎！

四、復習鞏固

1.填空.

已知關于x的方程（k2-1）x-k2+k+2=0，k為實數(shù)，當k_____時，方程有唯一解；當k

______時，方程無解；當k______時，方程有無窮多解.

2.選擇.

（1）方程x3-5x2+6x=0的根是（ ）.A.0、-2、-3 B.0、2、3

C.0、1、-6 D.0、-1、-6

（2）某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是（ ）.

A.20% B.25% C.50% D.62.5%

參考答案：1.k≠1；k=1；k=-1.2.（1）B；（2）C.