電影中概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的探究＊

張聞銳，萬(wàn)安華

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電影中概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的探究＊

張聞銳，萬(wàn)安華

（中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275）

如今，含有數(shù)學(xué)元素的電影也日益增多，人們?cè)谟^看這些電影時(shí)是否留意并思考過(guò)其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題正是我們所關(guān)注的。事實(shí)上，這些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)影片的劇情發(fā)展往往起到了推波助瀾的作用，也為影片增添了獨(dú)特的魅力與趣味性。選取《決勝21點(diǎn)》和《點(diǎn)球成金》這兩部與數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)密切相關(guān)的電影，結(jié)合具體電影場(chǎng)景研究了其中的概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題，討論了數(shù)據(jù)背后的價(jià)值和啟示。

數(shù)學(xué)影視；概率論；統(tǒng)計(jì)學(xué)；大數(shù)據(jù)

1 概述

電影作為一門流行的現(xiàn)代藝術(shù)正受到越來(lái)越多人的歡迎，原因不僅僅在于它能帶來(lái)豐富的視覺(jué)與聽(tīng)覺(jué)享受，還在于它能用其獨(dú)有的藝術(shù)表現(xiàn)力傳播不同領(lǐng)域的知識(shí)和文化。如今，含有數(shù)學(xué)元素的電影也日益增多，人們?cè)谟^看這些電影時(shí)是否留意并思考過(guò)其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題正是我們所關(guān)注的。事實(shí)上，這些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)影片的劇情發(fā)展往往起到了推波助瀾的作用，也為影片增添了獨(dú)特的魅力與趣味性。本文以最近幾年的美國(guó)電影《決勝21點(diǎn)》和《點(diǎn)球成金》為例，從數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的角度出發(fā)，解釋說(shuō)明影片中出現(xiàn)的概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題，發(fā)掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化。

2 電影《決勝21點(diǎn)》中高低算牌法的探究

2.1 電影《決勝21點(diǎn)》與高低算牌法介紹

電影《決勝21點(diǎn)》講述了一名教授帶領(lǐng)由幾名麻省理工的數(shù)學(xué)高材生組成的團(tuán)隊(duì)，利用算牌技巧、暗語(yǔ)和肢體語(yǔ)言，在拉斯維加斯賭場(chǎng)屢有斬獲的故事。影片的高亮部分“高低算牌法”體現(xiàn)了概率的奧秘，也體現(xiàn)了幾位數(shù)學(xué)精英對(duì)于數(shù)學(xué)的尖端認(rèn)識(shí)及運(yùn)算能力。下面我們就電影中的“高低算牌法”以及主角團(tuán)隊(duì)作戰(zhàn)策略展開(kāi)詳細(xì)的討論。

高低算牌法的原理在于：在實(shí)際的游戲過(guò)程中，剩余牌的點(diǎn)數(shù)大小必定由發(fā)掉的牌的點(diǎn)數(shù)大小所決定，因而玩家可以計(jì)算發(fā)掉牌的點(diǎn)數(shù)來(lái)獲知留在牌堆里的牌的點(diǎn)數(shù)，從而制定對(duì)應(yīng)的策略。2～6點(diǎn)的牌算作+1，稱為小牌；7～9的牌算作0，稱為中牌；10、J、Q、K牌（為便于說(shuō)明下文會(huì)寫作T牌）和A牌算作－1，稱為大牌，將出現(xiàn)過(guò)的牌的數(shù)值相加。如果數(shù)值為正，表明發(fā)掉的小牌比大牌多，且數(shù)值越大，后面出現(xiàn)大牌的概率就越大；如果數(shù)值為負(fù)，表明發(fā)掉的大牌比小牌多，且數(shù)值越小，后面出現(xiàn)小牌的概率就越大。

2.2 關(guān)于高低算牌法的概率變化

莊家的固定策略是所有牌點(diǎn)數(shù)和小于17點(diǎn)繼續(xù)拿牌，大于等于17點(diǎn)則停牌。如果玩家此時(shí)采取與莊家一樣的固定策略，那么當(dāng)玩家已有牌點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，選擇繼續(xù)拿牌，拿到T牌的概率增大，拿到小牌的概率減小，就會(huì)有更加大的爆牌風(fēng)險(xiǎn)。而賭場(chǎng)中21點(diǎn)的規(guī)則之一是，如果玩家先爆牌，無(wú)論莊家后面是否爆牌，都算玩家輸，因此玩家在使用高低算牌法算得牌點(diǎn)數(shù)值為正時(shí)，應(yīng)采取另一種策略，避免先發(fā)生爆牌而輸?shù)粲螒颉?/p>

2.3 團(tuán)隊(duì)作戰(zhàn)策略

影片中提到，主角所在團(tuán)隊(duì)的作戰(zhàn)策略為：團(tuán)隊(duì)內(nèi)分為兩類玩家，蹲點(diǎn)員和大贏家。蹲點(diǎn)員負(fù)責(zé)在各張游戲桌上下最低的賭注，且一成不變，從不加注或者累積下注，在游戲過(guò)程中暗自用高低算牌法數(shù)點(diǎn)數(shù)，等待其桌上的牌“變熱”后發(fā)信號(hào)給大贏家，大贏家此時(shí)加入游戲。下面我們將進(jìn)一步分析這種團(tuán)隊(duì)作戰(zhàn)策略是基于怎樣的邏輯來(lái)制定的。

在21點(diǎn)賭場(chǎng)游戲中，玩家一般可以通過(guò)2種途徑獲勝：①玩家所有牌的點(diǎn)數(shù)和大于莊家且不超過(guò)21點(diǎn)；②玩家未爆牌的情況下莊家爆牌。如果用高低算牌法算得點(diǎn)數(shù)為正，那么此時(shí)對(duì)于玩家來(lái)說(shuō)，無(wú)論從上述的哪一種途徑，都有較高概率獲勝，因?yàn)榘凑請(qǐng)F(tuán)隊(duì)策略，大贏家在點(diǎn)數(shù)為正時(shí)加入牌局，拿到大牌的可能性相對(duì)較大，有利于大贏家初始牌點(diǎn)數(shù)就達(dá)到20點(diǎn)或直接拿到黑杰克。另一種可能性則是玩家按兵不動(dòng)，待莊家選擇繼續(xù)拿牌，拿到大牌的概率也會(huì)比較大，從而爆牌的可能性也變大了，玩家也能獲勝。當(dāng)然，概率對(duì)于玩家和莊家都是平等的，這意味著莊家初始牌拿到20點(diǎn)或是黑杰克的可能性也變大了，但在實(shí)際賭場(chǎng)游戲中，還要考慮玩家和莊家賭注賠率的問(wèn)題，為了貼近電影劇情以及避免問(wèn)題復(fù)雜化，我們?cè)谶@里僅僅考慮游戲的勝率，暫時(shí)不考慮賠率，所以在出現(xiàn)大牌概率較高的情況下，玩家有更高概率獲勝或者至少和莊家平局。由于莊家在牌點(diǎn)數(shù)和小于17時(shí)會(huì)繼續(xù)拿牌，玩家等待莊家爆牌來(lái)贏得游戲的機(jī)會(huì)可能會(huì)更多。總的來(lái)說(shuō)，算牌點(diǎn)數(shù)為正時(shí)有利于玩家，電影里的主角團(tuán)隊(duì)正是利用這個(gè)邏輯來(lái)提高獲勝概率的。

3 電影《點(diǎn)球成金》中棒球統(tǒng)計(jì)學(xué)的探究

3.1 電影《點(diǎn)球成金》與棒球統(tǒng)計(jì)學(xué)介紹

電影《點(diǎn)球成金》講述了奧克蘭運(yùn)動(dòng)家棒球隊(duì)總經(jīng)理比利在耶魯經(jīng)濟(jì)學(xué)高材生彼得的幫助下，通過(guò)對(duì)棒球數(shù)據(jù)的分析挖掘了一批能力被大眾低估的棒球運(yùn)動(dòng)員，打破傳統(tǒng)的球隊(duì)經(jīng)營(yíng)模式，并帶領(lǐng)運(yùn)動(dòng)家棒球隊(duì)取得連勝的故事。面對(duì)大量平淡無(wú)奇的棒球數(shù)據(jù)，包括球員打擊率、上壘率、盜壘率等，比利和彼得卻發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)據(jù)背后的信息和價(jià)值，建立了精細(xì)的數(shù)學(xué)模型，把上壘率作為挑選球員最重要的指標(biāo)。這些對(duì)以往組建球隊(duì)的思維方式的顛覆，都是基于棒球統(tǒng)計(jì)學(xué)而完成的。棒球統(tǒng)計(jì)學(xué)（Sabermetrics），又稱賽伯計(jì)量學(xué)，是為了評(píng)估和比較球員的表現(xiàn)，對(duì)棒球數(shù)據(jù)記錄的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析。棒球數(shù)據(jù)主要分為3種：進(jìn)攻數(shù)據(jù)、投球數(shù)據(jù)和防守?cái)?shù)據(jù)。《點(diǎn)球成金》主要圍繞進(jìn)攻數(shù)據(jù)展開(kāi)，即重點(diǎn)衡量一名球員打擊和跑壘的表現(xiàn)，因此本文也將主要圍繞進(jìn)攻數(shù)據(jù)進(jìn)行討論。

3.2 上壘率在棒球比賽中的重要性

電影中彼得指出，經(jīng)營(yíng)球隊(duì)的人想的都是怎么買球員，但他們的目標(biāo)不應(yīng)該是買球員，而應(yīng)該是買勝場(chǎng)數(shù)，要買勝場(chǎng)數(shù)就必須買得分。因而球隊(duì)獲勝的關(guān)鍵是得分，于是比利在面臨奧克蘭運(yùn)動(dòng)家隊(duì)的三名關(guān)鍵球員被挖走的難題時(shí)，采用了以球隊(duì)整體概念來(lái)進(jìn)行填補(bǔ)的方法，而不是單單找差不多的人去頂替他們。在比利和彼得看來(lái)，上壘率這一指標(biāo)和球隊(duì)得分密切相關(guān)，上壘率越高，意味著出局的概率越低，得分的概率越高，所以他們?cè)谔暨x球員時(shí)注重的也是球員上壘的能力。

為了更清晰、有效地看出上壘率與得分的關(guān)系，我們搜集了近50年（1968—2017年）以來(lái)美國(guó)職業(yè)棒球大聯(lián)盟球隊(duì)的棒球統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并用R語(yǔ)言對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，將上壘率與其他統(tǒng)計(jì)量相比較，同時(shí)以決定系數(shù)作為一個(gè)判定基準(zhǔn)，來(lái)探討上壘率的意義及其重要性。首先將上壘率作為自變量，球隊(duì)得分作為因變量，嘗試做線性回歸，見(jiàn)圖1.為了更好地描述變量之間相關(guān)的密切程度，我們引入決定系數(shù)2作為一個(gè)判定基準(zhǔn)，其表示的是因變量得分有多少百分比的變異可由自變量上壘率來(lái)解釋。

圖1 上壘率與球隊(duì)得分關(guān)系圖

圖2 上壘率與球隊(duì)得分線性回歸概述

通過(guò)分析數(shù)據(jù)我們得知，60.33%的球隊(duì)得分可由上壘率解釋，見(jiàn)圖2.這個(gè)數(shù)值較為可觀，但我們不清楚它是怎樣一個(gè)水平，于是我們嘗試將上壘率與其他可能與得分呈正相關(guān)的變量進(jìn)行比較，比如打擊率和全壘打數(shù)，得到二者對(duì)球隊(duì)得分的解釋程度分別為49.59%和56.62%.由此看來(lái)，上壘率對(duì)球隊(duì)得分的解釋程度高于打擊率和全壘打數(shù)對(duì)球隊(duì)得分的解釋程度，是一個(gè)比較有價(jià)值的指標(biāo)。

比利在挑選球員時(shí)將上壘率作為重要的數(shù)據(jù)正好就是利用了上壘率與球隊(duì)得分的關(guān)系。運(yùn)動(dòng)家隊(duì)被挖走的球員上壘率分別為0.477、0.324和0.291，平均值為0.364，比利的策略是找到三名球員，他們上壘率的平均值也達(dá)到0.364，這樣就可以從整體上填補(bǔ)球隊(duì)上壘率的空缺，整個(gè)球隊(duì)上壘率損失不大，依然有能力得分。

棒球統(tǒng)計(jì)學(xué)的成功首先在體育界掀起了一場(chǎng)“大數(shù)據(jù)革命”，它改變了人們對(duì)于運(yùn)動(dòng)的思考方式，擺脫了對(duì)運(yùn)動(dòng)員的固有印象，用數(shù)據(jù)分析的結(jié)果去反映事實(shí)。在這個(gè)大數(shù)據(jù)時(shí)代，大數(shù)據(jù)已滲透至我們學(xué)習(xí)、工作和生活的方方面面，數(shù)據(jù)思維和統(tǒng)計(jì)思想變得尤為重要，對(duì)于某個(gè)社會(huì)現(xiàn)象或問(wèn)題，相關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、處理和分析都變得必不可少，人們也逐漸依賴數(shù)據(jù)去解釋問(wèn)題、監(jiān)控活動(dòng)和預(yù)測(cè)未來(lái)。

4 電影背后關(guān)于數(shù)據(jù)的思考

通過(guò)對(duì)兩部電影中數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后的確隱藏著具有巨大價(jià)值的信息。然而，數(shù)據(jù)真的可以決定一切事情的走向嗎？

《點(diǎn)球成金》中奧克蘭運(yùn)動(dòng)家棒球隊(duì)雖然在常規(guī)賽中取得連勝佳績(jī)，但在季后賽中卻無(wú)法晉級(jí)。這是因?yàn)槊绹?guó)職業(yè)棒球大聯(lián)盟一年的常規(guī)賽多達(dá)162場(chǎng)，意味著一支球隊(duì)有足夠多的樣本量，勝場(chǎng)數(shù)就會(huì)貼近用棒球數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出來(lái)的期望值；相反，季后賽采取五戰(zhàn)三勝制或是七戰(zhàn)四勝制，此時(shí)一支球隊(duì)比賽次數(shù)的樣本量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于常規(guī)賽中的162場(chǎng)，而且一旦在季后賽中遭遇淘汰，本賽季中便沒(méi)有比賽機(jī)會(huì)使得結(jié)果回歸預(yù)估的期望值，因此季后賽的結(jié)果具有較大的隨機(jī)性，給預(yù)測(cè)增加了難度。同樣，《決勝21點(diǎn)》中主角團(tuán)隊(duì)雖然初期“橫掃”拉斯維加斯賭場(chǎng)，但后來(lái)出現(xiàn)了頻頻輸?shù)糍€局的情況，這里面都蘊(yùn)含著大數(shù)定律和小數(shù)定律的奧秘。

由于數(shù)據(jù)并不代表一切事情的最終走向，在不同的情況下會(huì)受到不同因素的制約，因此我們不能過(guò)于依賴數(shù)據(jù)，但我們可以有效利用數(shù)據(jù)，甚至像兩部電影的主人公一樣，利用數(shù)學(xué)去挑戰(zhàn)不公平的游戲。雖然影片中的高低算牌法和棒球統(tǒng)計(jì)學(xué)未能確保最后的成功，但它們都傳遞了一個(gè)非常有價(jià)值的理念：我們要敢于利用數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)去做出改變，去深入挖掘數(shù)據(jù)背后隱藏的信息。

5 結(jié)論

當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)與生動(dòng)活潑的電影碰撞在一起時(shí)，不僅能讓觀眾了解數(shù)學(xué)知識(shí)、體會(huì)數(shù)據(jù)之趣，還能呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，啟示人們思考數(shù)據(jù)的意義、善于分析生活中的種種數(shù)據(jù)，并利用數(shù)學(xué)方法去解決實(shí)際問(wèn)題。除了本文所介紹的兩部電影之外，還有很多電影也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素，其中的相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題都值得去深層次挖掘與探討。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)在電影中發(fā)揮著獨(dú)特的魅力和價(jià)值，使得電影也成為了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化的一個(gè)重要載體。

［1］Ben M.著.季華，季思聰譯.迷失的天才［M］.北京：中國(guó)青年出版社，2004.

［2］Lewis M.著.鄭曉菊譯.點(diǎn)球成金［M］.北京：法律出版社，2012.

［3］C.Soto Valero. Predicting Win-Loss Outcomes in MLB Regular Season Games—A Comparative Study Using Data Mining Methods［J］. International Journal of Computer Science in Sport， 2016，15（2）：91-112.

［4］于浩洋，黃亞玲.“大數(shù)據(jù)”時(shí)代體育何去何從［J］.山東體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，31（2）：5-9.

張聞銳（1996—），女，本科在讀，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)。萬(wàn)安華（1976—），女，博士后，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與科研。

教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目（編號(hào)：cmc20170404）；中山大學(xué)本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程重點(diǎn)項(xiàng)目（2017）；中山大學(xué)國(guó)家高等教育質(zhì)量常態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中心（高等教育研究院）開(kāi)放基金（A1802）；廣東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：2017XTLXXM02）

2095－6835（2018）18－0032－04

J904

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.032

〔編輯：辛霞〕