因素空間的結構與對偶回旋定理

包研科，汪培莊，郭嗣琮

（遼寧工程技術大學 智能工程與數學研究院，遼寧 阜新 123000）

自1982年汪培莊[1]提出因素空間(factors space，FS)理論，時至今日，35年來理論與應用的發展，充分展示了FS理論在解釋隨機性根源和概率規律的數學實質，融合隨機數學與模糊數學的技術方面思想的深刻性，奠定了FS理論作為知識工程的思想框架的地位。

FS理論的早期成果可見汪培莊文集[2]。1994年汪培莊、李洪興合著[3]《知識表示的數學理論》一書系統地論述了FS理論在知識獲取、知識表示、知識管理和知識利用方面的數學思想與原理。《模糊計算系統與模糊計算機》[4]及其相關的工程實踐標志著FS理論與智能工程設計理念的完美結合，其中給出的概念內涵和外延相互轉換的可操作方法，實現了決策樹算法和粗糙集算法沒有實現的“雙向轉換的目的”。其后，李洪興[5]關于《因素空間理論與知識表示的數學框架》長達5年的系列討論，不僅推進了FS理論的發展，也奠定了FS理論在知識發現與智能工程領域廣泛應用的基礎。袁學海[6-8]從范疇論的角度對FS的結構問題進行了深入討論；在FS理論的應用方面，劉增良[9-13]在因素神經網絡技術，軍事信息戰與網絡戰領域的研究成績斐然。此外，基于FS理論的專家系統[14-15]、多傳感器決策融合[16]、控制仿真[17-19]、模式識別[20-21]、安全科學[22-24]等應用領域的研究，體現了FS作為智能科學的數學空間理論的價值和發展前景。

在KDD問題的研究中，1998年何清[25]討論了基于FS和模糊聚類的概念形成方法，2013年汪培莊發表《因素空間與因素庫》一文[26]，推動FS理論在KDD領域的應用。近年來，關于FS與數據科學的關系[27]，基于FS理論的分類算法[28-29]、文本挖掘方法[30-31]等相關研究也有一定的進展。

FS理論生根于數學，反映認識論特點，是KDD和概念格生成的一種自然有效的數學方法。然而，早期奠基性工作建立在模糊數學的基礎上，融合了隨機數學和抽象代數的思想、方法和語言；FS理論的高起點在保證數學嚴謹性的同時，也為其普及推廣樹立了一道屏障。FS的經典定義可見文獻[3]，此后的理論與應用研究基本上遵循了這一定義的思想和描述。近年來，隨著FS領域應用和教學的深入，出現了對FS定義的領域適應性描述和擴展[32-33]。2013年汪培莊在討論FS在數據科學中的應用問題時，對FS的定義進行了修正[26]。

為能夠相對通俗地詮釋FS理論的基本思想和原理，2015年包研科[34]基于認知本體論原理，梳理了FS理論中的基本概念和術語，給出了有別于FS經典定義的描述。這一描述充分體現了汪培莊“因素是分析的維度，是變異的指標和變量名稱，是矛盾的編碼，是事物形成和描述的基因。以因素為軸所張成的坐標空間就是因素空間，它為事物描述和思維形式提供了普適性的坐標框架”[27]的論述精神。文獻[34]對FS的定義，最大的變化是對因素的順序關系、算符的意義給出了符合認知本體論原理的描述，形式上同經典定義有所不同，并再次觸發了對FS結構問題的思考。

本文的工作是文獻[34]的延續，進一步討論FS的結構問題。

1 預備知識

為方便對本文工作的理解，作為預備知識，簡要介紹文獻[34]中給出的原理、概念與術語、公理和關鍵命題，部分內容筆者根據近期研究予以必要的重述。復述與重述不做標識，有需要了解期間變化的讀者可同文獻[34]進行比對。

1.1 認知本體論原理

因素是認知工具，因素分析應遵循認知本體論原理，因素空間的結構應體現和摹寫人類自身的認知結構與思維運動規律。

認知由概念表達，概念是人類思維體系中最基本的構筑單位。概念通常由內涵與外延兩個邏輯術語表達。內涵往往采用“上位概念+本位屬性”的邏輯形式描述，而外延則是概念所描述的事項的集合。

認知形成的標志是概念的形成，其間的思維運動，主要由分析和綜合兩種思維方法構成。分析的信息加工與處理技術是解析，實現方式是將事物拆分為更小的單元進行管理和研究，或者表述為“發現事物的個性特征”。綜合的信息加工與處理技術是概括，實現方式是將一些具有相同屬性的事物歸納為更大的單元進行管理和研究，或者表述為“對事物的一類屬性進行綜合”。

對一個概念的解析稱為概念分化，是下位學習。對一些事物的共有屬性進行概括，利用學習者已有的認知結構形成新的概念稱為概念同化，是上位學習。

在認知科學的基本概念與原理的基礎上，關于FS的認知本體論原理，本文吸收了馮嘉禮[35]關于《思維與智能科學中的性質論方法》的一些思想原理，參考了文獻[36]的討論。后續關于FS數學結構的討論遵循下列認知本體論原理：

1) 一個因素總是特定論域上的因素，離開論域談論因素是沒有意義的。更進一步，一個因素總是特定論域上特定問題的因素，離開問題無從討論因素的認知功能。論域、因素和由因素形成的關于問題的認知結果構成一個特定的思維空間。

2) 概念的分化與同化動態平衡。在概念形成過程中，思維在解析與概括的交替運用中發展。解析強化內涵知識，促進概念分化；概括豐富外延認知，促進概念同化。在這個過程中，內涵與外延存在反變關系，即內涵擴張必然減小外延，反之內涵縮減將導致外延擴張。一個概念的形成，是一定認知階段上分化與同化的暫時平衡。

3) 概念的內涵與外延對合，即內涵與外延所描述的事項一致。在概念形成過程中，解析與概括之間的差異是思維的技術性差異，不同技術產生的信息在思維運動中以概念的內涵與外延對合為目標糾纏運動，辯證統一。

1.2 基本概念

基于認知本體論原理的FS的基本概念、術語和符號約定如下：

1) 論域是一個關于問題的本體論研究對象的非空可列集合，記為。因素是定義在論域上的一個滿映射，記為式中：集合稱為的相空間(寓意必須考慮映射像的分布特征)，描述論域上的一類本體論性態。

約定兩個特殊因素：

差運算的目的是“從一個因素中排除另一個因素的干涉效應”，記為，定義為

1.3 基本命題

約定如下兩個公理：

在前述概念(定義)和兩個公理的基礎上，可以證明下列命題：

1.4 因素空間

在不引起誤會的場合，不必刻意區分FS和CIS的不同，即一個因素空間既是一個完備信息系統。

引進CFS的目的是方便描述結構化數據分析問題。文獻[34]中討論了因素概念的外延，隨機變量是基本的數量化因素。若有限個二階矩隨機變量各自有不同的概率分布，則BF，于是就是一個結構化信息系統。CFS在結構化數據分析的應用中，只需將樣本空間理解為論域，而代數等價于(S)，相應概念的對應關系可作如下約定：

相應的，信息系統

CFS的概念有助于FS分析方法與技術體系的建構，有助于理解因素空間同概率空間、希爾伯特空間和張量空間的關系。

前述討論是對因素空間宏觀結構的一種公理化詮釋，其意義在于為信息系統分析提供了一個統一的語境場。

2 因素空間的結構

2.1 交錯自同構變換與回旋格

通常認為，格是認知描述與形式概念分析理想的代數系統[2,36]。

本文引進格上的交錯自同構變換和回旋格的概念，然后給出FS對偶回旋定理，構成對FS代數結構的新認知。

下面詮釋格上交錯自同構變換的幾何意義。

若將式(1)理解為一條定寬的紙帶，從左到右摹寫式(1)中的格層與偏序關系，最左端為0，最右端為1。

記為

圖 1 回旋格的幾何構型Fig. 1 The geometry of convolution lattice

2.2 對偶回旋定理

上述結論的建立，數學原理基于認知原理，遵循概念內涵與外延的對合性與反變關系原理，因素解析能力的大小主導因素的序關系，偏序格受順序公理、對合定理、反變關系定理和排序定理的影響，同數學上經典的偏序格不盡相同。因此，在代數格中，雖然形式運算性質同數學經典的代數格描述一致，但內在運算機理有所不同。

1) 將因素大小的定義

變異為

2) 將順序公理

變異為

在上述3個約定下，需要系統的修改、重述1.3節涉及序關系的命題，其他命題形式不變。修改后的相關命題如下：

認知本體論的解釋：命題2’由命題2描述概念內涵與外延的反變關系轉變為描述對外延的限制。

認知本體論的解釋：命題7’和命題8’修改了序關系與代數運算的聯系規則，將因素固有的概括功能從“隱性”表達轉變為“顯性”表達。

綜上所述，得到下面的定理1。

因素是認知工具，FS是認知科學的數學模型。有別于Boole代數，FS的本質在于其回旋性，反映了概念形成過程中分化與同化的雙向統一性，具體地講：

1) FS的回旋性反映概念內涵與外延的對合性。在論域上，最小元形成完全概括性認知，最大元形成徹底的個性化認知。因此，在對論域形成的終極認知即“論域中的每一個對象都是不同的個體，同時所有對象又是一個整體”的意義上，因素和是等效的。在解析過程中，零因素是析運算的單位元，也是合運算的零元。反過來，在概括過程中，全因素是析運算的零元，也是合運算的單位元。當終極認知形成之時，必有。

2) FS的回旋性反映概念內涵與外延的反變關系。這種反變關系在實際的認知過程中，往往表現為概念的分化與同化的糾纏，對于理解一個事物而言，究竟是概念分化多一些好，還是同化多一些好？概念的分化與同化的糾纏，反映概念形成過程中因素的解析力和概括力交互作用的過程。從論域為一個整體的角度，解析導致“論域劃分”，破壞整體性；從論域中對象的個體性出發，概括是在論域劃分的基礎上重構整體性。同理，從“屬性限定”揭示一類事物共同特征的角度講是概括；而從概念的結構、即“屬性限定”為概念分化技術的角度講是解析。在認知過程中，概括與解析各具所長，往往交互作用，殊途同歸。由因素認知一個概念不外乎借助因素的解析力和概括力，辨識概念的內涵(屬性限定)，界定概念的外延(論域劃分)，并使兩種過程形成同一認知。

在FS中，因素運算的認知性質由解析力主導，準確地揭示了概念的內涵與外延的反變關系。但是，概括力的隱化導致因素操作的代數性質同經典Boole代數理論中的部分運算性質形式不同。這種情況恰是FS的價值所在。由因素描述的認知過程中，概括和解析不是兩種截然分開的過程，僅僅是間或性的哪個表現更強勢一些，解析能力的提升(降低)導致概括能力的降低(提升)，總合覺察力不變。

3 結論與展望

本文工作對文獻[34]的核心概念進行梳理，簡化了公理性約定，凝練并重述核心命題，承接前期工作的理論與思想。著眼因素空間的理論與方法在信息科學領域的應用，重述因素空間的定義，提出了自為因素、可基因素族、完備因素空間和正則因素空間的概念，初步地、明確勾勒出因素空間與信息系統之間的關系。

本文對FS理論的貢獻在于交錯自同構變換、回旋格和對偶回旋定理，突破了經典論述關于FS結構的認知，為認知科學討論若干基本概念之間關系和思維運動的問題給出了可借鑒數學模型，為FS理論在人工智能領域的研究與應用提供了新的切入點。

據此，本文對FS理論與應用研究的展望如下：

1) 進一步構建FS理論“四位一體”的思想框架。在本文的討論中，一個中心思想就是“人工智能是人類認知模式的數學重構”，在這個過程中，關于人工智能的數學思想、原理與算法必須同人的認知模式高度契合，理論研究的思想框架必須同人類問題解決過程中的思維場高度契合，并同機器實現的技術特征高度契合。這一思想暗涵于本文之中，可以想象在以(U)為頂點的四面體中，底面(U))表示因素分析理論，側面(U))表示商空間理論，側面(U))表示張量分析理論，側面表示數據分析理論，每個棱表示兩個頂點之間的雙向信息通道。這個四面體構成完整的FS理論的思想框架。

2) 發展基于FS對偶回旋定理的因素分析技術體系。本文發現的FS對偶回旋定理，明確了因素空間中信息的運動過程存在麥比烏斯環特征。佩捷、王蘭新在《從麥比烏斯到陳省身——麥比烏斯變換與麥比烏斯帶》一書中，較為系統地介紹了在代數幾何、拓撲學的研究中發現的麥比烏斯帶有趣的性質。麥比烏斯帶的存在源自實數域R的乘法群R*的不連通性，這一性質更深刻的等價描述如下[37]：

另外，格代數與麥比烏斯代數存在天然的聯系[37-40]。

這表明，從純數學的角度看，FS對偶回旋定理所描述的數學性質以不同的形式存在已久。但是，本文再發現的過程卻貫通了認知科學與數學深刻的內在聯系，鞏固了FS理論作為人工智能研究的思想框架和認知科學研究的數學模型的地位。眾多的文獻給出了麥比烏斯變換群在其他數學分支，如數論、組合數學、微分幾何、黎曼幾何、羅巴切夫斯基幾何、模與叢論中的應用，以及在圖像處理領域、通信科學、密碼學、量子物理學、遺傳生物學、有機化學、乃至機械與工程領域中的應用，無不昭示著FS對偶回旋定理潛在的理論與應用價值。