用面積法定義正弦的課例初探

張東方

摘 要 數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科。它透過抽象化和邏輯推理的使用，從計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個(gè)性。怎樣在課堂教學(xué)后進(jìn)行反思，如何讓學(xué)生建立三角函數(shù)模型進(jìn)行教學(xué)方法改進(jìn)成為了目前重要的一個(gè)課題。在此本人以“正弦”一課為例，初探用面積法定義正弦。

關(guān)鍵詞 面積法 定義正弦 課例初探

1“用面積法定義正弦”的原由

三角函數(shù)是初中幾何教學(xué)的重要內(nèi)容之一，在整個(gè)數(shù)學(xué)幾何體系中，根據(jù)學(xué)生理解掌握的難易程度將三角函數(shù)分為了兩個(gè)階段學(xué)習(xí)，即：初中階段和高中階段。在初中階段由于學(xué)生的認(rèn)知水平有限，因此教材對(duì)三角函數(shù)的概念擬定是在直角三角形中用三角形中邊的比的形式來定義的，解三角形的問題也僅僅限于直角三角形。

為此如何讓學(xué)生建立三角函數(shù)的模型，如何更深入的運(yùn)用三角函數(shù)解決幾何問題應(yīng)然而生。大部分教師對(duì)三角函數(shù)教學(xué)中存在的問題和困惑有：主要是教材提供的概念過于簡(jiǎn)單，怎樣在課時(shí)有限的情況下讓學(xué)生探索教材內(nèi)容？如何把握內(nèi)容設(shè)置的難易程度，如何整合設(shè)計(jì)才更合理有效呢？于是改進(jìn)迫在眉睫。

每間學(xué)校學(xué)生基礎(chǔ)水平參差不齊，怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能適合大多數(shù)學(xué)生的理解需求呢？傳統(tǒng)的講解方式，是教師碎片化的教和學(xué)生碎片化的學(xué)，這種教控制影響著學(xué)生的學(xué)，而我們要引導(dǎo)學(xué)生建立一種思維的體系，學(xué)會(huì)用原有的知識(shí)建立知識(shí)體系樹，從而將知識(shí)整體化，并把握住成長(zhǎng)階段的黃金時(shí)期。培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和敏捷的思維，所以“用面積法定義正弦”，可以給予學(xué)生更多動(dòng)手練習(xí)以及對(duì)變式練習(xí)的感知，可以讓學(xué)生達(dá)到一個(gè)思維創(chuàng)新的發(fā)展的過程，讓他們通過自己的感受一步一步的肯定自己，在感受中遵循大量實(shí)驗(yàn)、猜想結(jié)論、證明結(jié)論的過程，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本步驟，也幫助學(xué)生建立自信。培養(yǎng)了知識(shí)分解與知識(shí)整合的能力。

2“用面積法定義正弦”改進(jìn)的內(nèi)容與怎樣改進(jìn)

2.1改進(jìn)的內(nèi)容

幾何側(cè)重的是定性的研究，三角側(cè)重定量的研究，既然兩者研究的都是幾何對(duì)象，那么就應(yīng)該將二者聯(lián)系起來，彼此作為依托的工具。

三角函數(shù)是解決幾何問題的有力工具，是訓(xùn)練代數(shù)變換能力的平臺(tái)，如果將“用面積法定義正弦”下放成功，那么教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)將會(huì)更易于突破，學(xué)生也能夠在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高分析問題的能力，對(duì)再學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，從而更符合學(xué)生的認(rèn)知心理。

傳統(tǒng)模式：

在直角三角形中，正弦=對(duì)邊比斜邊

這種方式只能讓學(xué)生機(jī)械的記憶，人為的限制了學(xué)生的思維，讓孩子們以為，三角函數(shù)只能運(yùn)用在直角三角形中。

2.2怎樣改進(jìn)

改進(jìn)模式：

例如：

（1）問題的引導(dǎo)。

問題1：觀察當(dāng)∠DAE為直角時(shí)，等腰△DAE的面積是多少？

問題2：當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)D在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)等腰△DAE的面積是否發(fā)生了變化，為什么？

（2）正弦定義的引入。

小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)了什么是打折問題，例如打九折我們通常表示為，打x折表示為，其中10是不變的總份數(shù)，而9和x是變化后的份數(shù)。那么現(xiàn)在我們就把單位三角形中的這種變化也當(dāng)做折扣來表示。將單位等腰直角三角形的面積看做總份數(shù)，變化后的單位等腰三角形看做是變化后的份數(shù)，我們可以表示為，給它一個(gè)新的名字叫做正弦，即sinA。正弦定義：頂角為A的單位等腰三角形的面積和頂角為直角的單位等腰三角形的面積比。

分析：對(duì)于概念課的學(xué)習(xí)，教師更多的是引導(dǎo)學(xué)生感知、探索概念生成的過程。讓學(xué)生體會(huì)由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化。當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)D在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)等腰△DAE的底邊AE沒有發(fā)生變化，很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為只是單純的高發(fā)生了改變，而教師要在這個(gè)環(huán)節(jié)追問學(xué)生變化的本質(zhì)，不斷追問導(dǎo)致高變化的根本原因是什么？學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)高之所以變化是因?yàn)椤螪AE發(fā)生了變化。

用“面積法定義正弦”從“形”的角度“直觀入手”，讓學(xué)生感知圖像的變化。

學(xué)生從∠DAB角度發(fā)生改變，發(fā)現(xiàn)了從∠DAB到sin∠DAB的一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就是函數(shù)思想的滲透。更有利于學(xué)生通過“圖形”來思考數(shù)學(xué)問題，同時(shí)對(duì)于學(xué)生借助圖形來進(jìn)行分析、推理和認(rèn)證增強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。學(xué)生在運(yùn)用“面積法定義正弦”時(shí)，感受到了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)了探索思維的方式。

3“用面積法定義正弦”的影響

3.1對(duì)后續(xù)教學(xué)的影響

“用面積法定義正弦”的方式在學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)菱形面積時(shí)也有很大的幫助。學(xué)生可以通過自行探索發(fā)現(xiàn)：邊長(zhǎng)為1且有一個(gè)角為A的菱形面積就等于sinA，反之也可以用單位菱形的面積來定義正弦，這種方式直觀而且和已學(xué)過的知識(shí)有了更多的聯(lián)系，使得學(xué)生在認(rèn)識(shí)正弦的同時(shí)，通過“實(shí)驗(yàn)—猜想—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—證明”體驗(yàn)變換，從而輕松地從原有模型中“抽象”出新的模型，理解正弦的概念。實(shí)現(xiàn)提升“直觀想象”、“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)建?！钡哪芰Α?/p>

3.2對(duì)學(xué)生的影響

初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中“用面積法定義正弦”為大部分學(xué)生串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)提供了抓手，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣。為學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)再創(chuàng)造的能力，加強(qiáng)了學(xué)生的語言表達(dá)能力和應(yīng)變能力。

“用面積法定義正弦”的方式，不僅聯(lián)系小學(xué)學(xué)過的三角形面積公式，還可以進(jìn)一步探索三角形面積公式等數(shù)學(xué)問題。學(xué)生通過自主證明，觀察證明過程。實(shí)現(xiàn)在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行發(fā)散性思維，從總體入手，看到整體與整體的關(guān)系，使問題得以解決。這種方式與傳統(tǒng)“正弦”的定義并不違背，反而學(xué)生可以根據(jù)三角形面積公式：

= ， = ab ，

得到 = ab ，

從而推出 = ，

同理可得 = 。

“用面積法定義正弦”的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生掌握三角函數(shù)，解決幾何綜合題能力的影響是巨大的。它讓概念的生成更簡(jiǎn)單、更直觀、更嚴(yán)謹(jǐn)，它在體系的架構(gòu)上，揭示了幾何、代數(shù)、三角的密切聯(lián)系，“用面積法定義正弦”在平凡處挖掘新思路，更好的引導(dǎo)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并深入思考的能力，既培養(yǎng)了學(xué)生的“形式思維”，又培養(yǎng)了學(xué)生的“非形式思維”充分的詮釋了波利亞的教育理論。同時(shí)，為初中學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)提供了一個(gè)新的方向，通過學(xué)生自主探索，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

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