復合函數的高階混合偏導數的簡便算法

童昌林 蔣海軍

摘要：本文將提出一種基于遞推式的方法來巧求復合函數的高階混合偏導數。然后通過論理證明該算方法的可行性以及相比于傳統算法的簡單性。最后將用具體的例子進行驗證與對比。

關鍵詞：復合函數;鏈式法則;高階混合偏導數;似叉乘

一、 引言

偏導數（PartialDerivative）是一種特殊的極限，它反映了函數中因變量在某一固定方向隨自變量的變化而變化的快慢程度，是全微積分中重要的基礎概念，同時也是聯系初等數學與高等數學的重要橋梁。在理論上，研究幾何性質，證明不等式等方面扮演著重要的角色，在探究多元函數性質，尋求多元函數極值與最值以及描繪函數圖形等方面也起著重要的作用。同時，在實際應用中，也提供了重要的方法和基本途徑。例如求企業利潤的最大化，生產耗材最少化，或效率最高化，位置最佳化等與經濟或科學研究有關的問題，這些問題通常稱之為優化問題。如何才能找到解決該類問題的最佳方案是求解該類問題的關鍵，而利用導數或偏導數就可以簡捷地解決這些問題，從而真正解決我們的實際生活問題。無論是在實際應用中還是理論研究上，對復合函數的高階混合偏導數的求解大都無法避免，因此對其求解方法的研究是有意義。

對于傳統的求解法則來說，復合函數的高階偏導數的求解過程比較復雜繁瑣的，一般伴隨著求導階數的上升所用“鏈式法則”的次數成倍數性增長，所以復合函數的高階混合偏導數的求解至少需要運用兩次的 “鏈式法則”。對于初學者來說，往往感到求解過程復雜繁瑣且正確率較低。因此，在這篇文章中，將提出一種求解復合函數的高階混合偏導數的簡便方法。該種辦法只需要運用一次“鏈式法則”解出復合函數關于各變元的偏導數，然后通過我們約定的一些法則進行簡單的運算即可得到答案。

二、 基本知識及相關法則約定

（一） 偏導數的定義

一般地，設f（x，y）是一個二元函數，定義在R2內某一個開集內，點（x0，y0）∈D。在f（x，y）中固定y=y0，那么f（x，y0）是一個關于變元x的函數，如果它在點x0可導，則稱此導數是二元函數f（x，y）在點（x0，y0）關于x的偏導數，記為

fx（x0，y0）或fx（x0，y0）或fx′（x0，y0）

亦即

fx（x0，y0）=limΔx→0f（x0+Δx，y）-f（x0，y0）Δx

同樣，在f（x，y）中固定x=x0，那么f（x0，y）是一個關于變元y的函數，如果它在點y0可導，則稱此導數是二元函數f（x，y）在點（x0，y0）關于y的偏導數，記為

fy（x0，y0）或fy（x0，y0）或fy′（x0，y0）

亦即

fy（x0，y0）=limΔx→0f（x0，y0+Δy）-f（x0，y0）Δy

同樣地，n元函數f（x1，x2，…，xn）的偏導數fxi（x01，x02，…，x0n）或fxi（x01，x02，…，x0n）或f′xi（x01，x02，…，x0n） （1≤i≤n）可以類似地定義。

（二） 高階偏導數

就二元函數而言，設f（x，y）的兩個偏導數fx（x0，y0），fy（x0，y0）都存在，顯然，它們都是二元函數。如果它們關于x的偏導數存在，或者關于y的偏導數存在，就這些偏導數就是二階偏導數，即

f關于x二階偏導數，記為2fx2或fxx或f″x，

f關于y二階偏導數，記為2fy2或fyy或f″y，

f先關于x后關于y二階混合偏導數，記為2fyx或fxy或f″xy，

f先關于y后關于x二階混合偏導數，記為2fxy或fyx或f″xy，

更高階的偏導數可以類似定義。

（三） 關于混合偏導數的求導順序

定理1 設二元函數f的兩個混合偏導數fxy或fyx在點（x0，y0）連續則有fxy（x0，y0）=fyx（x0，y0）。

類似地，定義n元函數f（x1，x2，…，xn）的高階混合偏導數與求導順序無關，從而彼此相等。

（四） 多元函數可微

設D是R2中的一個開集，（x0，y0）∈D，f是定義在D內的函數。如果

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可以表示為

Δz=AΔx+BΔy+o（r）

其中A，B是兩個與點（x0，y0）有關而與Δx，Δy無關的常熟，r=Δx2+Δy2，即點（x0+Δx，y0+Δy）與（x0，y0）之間的距離。o（r）是當r→0時關于r的高階無窮小量，則稱f在點（x0，y0）可微。

定理2 設函數f的兩個偏導數fx和fy在點（x0，y0）不僅存在，而且都連續，則函數f在點（x0，y0）可微。

（五） 鏈式法則

設函數z=f（x，y）為二元函數，x=x（s），y=y（s）。由f，x，y可以構成復合函數

z=f（x（s），y（s））

則當函數f在點（x0，y0）可微，x0=x（s0），y0=y（s0），而x（s），y（s）在s0均可導，則當s=s0時，

zs=zxxs+zyys。

（六） 運算法則的約定

在本文中約定函數的“叉乘”，“似偏導數”以及“平移似偏導數”的運算法則，并且本文涉及的復合函數關于各變元均具有高階連續偏導數，因此由定理1有復合函數的高階混合偏導數與求導順序無關。ui=u（x1，x2，…，xn）ui=u（x1，x2，…，xn）

設復合函數Z=Z（u1，u2，…，um）其中中間變量ui=ui（x1，x2，…，xn），i=1，2，…，m.從自變量x1，x2，…，xn中任意選取p個自變量（可重復選取），并且不妨記為Xp=（xi1，xi2，…，xip），1≤p其中xij，1≤j≤p是x1，x2，…，xn中的某一個，且記符號Xp=（xi1，xi2，…，xip）（注：此處無任何意義，只是一個符號表示）。則對于任意的a和b（實數或函數）都有：

由上證明知：當k=m + 1時。求導公式也得證，所以由數學歸納法得對于所有的正整數k求導公式都成立。故該定理得證。

四、 偏導數定理的推廣

在本例題的求解中，無論是二階混合偏導數的求解還是三階混合偏導數的求解，運用偏導數定理進行求解都只用了1次鏈式法則，而運用傳統方法進行二階混合偏導數的求解使用了3次鏈式法則，三階混合偏導數的求解使用了6次鏈式法則，并且比較上述兩種方法的求解過程不難得出;運用本論文的方法求解高階混合偏導數要更為簡便，計算量小。

例2：設f關于各變量均有二階連續偏導數。

參考文獻：

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作者簡介：

童昌林，蔣海軍，新疆維吾爾自治區烏魯木齊市，新疆大學 數學與系統科學學院。