Fuzzifying拓撲空間中的強半分離性

楊文華

內蒙古財經大學 統計與數學學院，呼和浩特 010020

1 引言

1991年，文獻[1]提出I-Fuzzy拓撲概念的同時也提出了I-Fuzzy拓撲的特殊情形——不分明化(Fuzzifying)拓撲的概念，并且文獻[1-3]用連續值邏輯LΝ1語義的方法建立了Fuzzifying拓撲學的基本理論。

自從Fuzzifying拓撲基本理論引入之后，就引起了國內外學者的廣泛關注，并且相繼做了許多有意義的研究，如文獻[4-14]等。其中，文獻[4]討論了分離性問題；文獻[5]研究了S-分離性；文獻[6]利用Fuzzifying半開集、Fuzzifying半鄰域和Fuzzifying半閉包導入了一種新的分離公理；文獻[7]以預開集為工具引入了預分離公理；文獻[8]以正則開集、R-鄰域及δ-閉包為工具導入了幾乎分離公理；文獻[10]引入了擬R0分離公理。

文獻[15]利用文獻[16]中所定義的一種新的較為合理的半開集給出了Fuzzifying拓撲空間中的強半開集、強半鄰域、強半閉包和強半內部等概念。本文將運用連續值邏輯LΝ1語義的方法，在Fuzzifying拓撲空間中以強半開集、強半鄰域、強半閉包和強半內部為工具引入強半分離公理SPTi(i=0,1,2,3,4)，并且深入討論它們的性質及彼此間的關系。

2 預備知識

本文中，I=[0,1]，X是非空集合，A?X，Ac=X-A。

首先，列出在本文中經常使用的關于模糊邏輯（賦值格為Lukasiewicz單位區間的邏輯）的一些記號。

對任意公式φ，符號[φ]表示φ的真值，這時真值集是[0,1]。一個公式φ為重言式，記作?φ當且僅當[φ]=1 。

（1）[α]:=α(α∈[0,1])

（2）若 A∈2X，則[x∈A]:=A(x)。

（3）若 X 是論域，則[?xφ(x)]:=infx∈X[φ(x)]。

此外，相應的導出公式有：

⑦若?A,B∈2X，則：

其次，給出本文中經常使用的一些概念及定理。

定義1[1]若映射τ:2X→I滿足以下條件：

則稱(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，一元模糊謂詞τ稱為X上的Fuzzifying拓撲。

定義2[16]設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間。

（1）定義一元模糊謂詞 Sτ:2X→I如下，稱 Sτ為Fuzzifying半開集。?A∈2X

（2）定義一元模糊謂詞SCτ:2X→I如下，稱SCτ為Fuzzifying半閉集。

（3）?x∈X，定義一元模糊謂詞Sx:2X→I如下，稱Sx為x的Fuzzifying半鄰域系。

定義3[15]設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間。A∈2X,int(A)、cl(A)、ints(A)、cls(A)分別表示 Fuzzifying拓撲下A的內部、閉包、半內部、半閉包。

（1）定義一元模糊謂詞SPτ:2X→I如下，稱SPτ為Fuzzifying強半開集。

其中

（2）定義一元模糊謂詞SPCτ:2X→I如下，稱SPCτ為Fuzzifying強半閉集。

（3）?x∈X，定義一元模糊謂詞SPNx:2X→I如下，稱SPNx為x的Fuzzifying強半鄰域系。

定義4[15]設 (X,τ)是 Fuzzifying拓撲空間，?A∈2X，A的強半閉包記作SPcl(A)，定義為SPcl(A)(x)=1-SPNx(Ac)；A的強半內部記作SPint(A)，定義為SPint(A)(x)=SPNx(A)。

定理1[15]設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則：

（1）SPτ(X)=SPτ(?)=1

定理2[15]設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，?A,B∈2X，則：

3 強半分離公理及其等價刻畫

定義5設Ω是所有Fuzzifying拓撲空間類，一元模糊謂詞SPT0，SPT1，SPT2，SPT3，SPT4∈IΩ分別定義如下：

定理3設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則

證明

定理4設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則

證明由定義3及定理2（2）知：

另一方面：

類似的

所以

定理5設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則

證明

定理6設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，令

證明首先證明

只需證明下面的等式成立：

下證

綜上

所以

定理7設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，令

證明首先證明

只需證明下面的等式即可：

4 強半分離公理間的關系

定理8設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則

證明（1）需證。因為

所以

（2）需證[SPT2(X,τ)]≤[SPT1(X,τ)]。因為當時，SPNx(A)=0；當時，SPNy(B)=0，故

所以

即 [SPT2(X,τ)]≤[SPT1(X,τ)]。

（3）由（1）、（2）可知：

引理1 ?α,β∈[0,1]，則

證明分α≤β及α＞β兩種情況討論，易證。

定理9設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則

證明只需證明

由定理4知：

于是

又由于[SPT2(X,τ)]≥0，所以

定理10設(X,τ)是Fuzzifying拓撲空間，則

證明只需證明

即 [SPT3(X,τ)]≥[SPT4(X,τ)]+[SPT1(X,τ)]-1 。又由于[SPT3(X,τ)]≥0 ，所以

5 結論

本文主要在Fuzzifying拓撲框架下引入了強半分離公理SPTi(i=0,1,2,3,4)，給出了各自的等價刻畫以及它們彼此間的關系。文中運用了連續值邏輯LΝ1語義的方法，所涉及到的賦值格為Lukasiewicz單位區間，它是一個MV代數，所以這里就可以提出一個問題：能否將賦值格[0,1]推廣到MV代數，甚至是正則剩余格。一方面，推廣賦值格[0,1]，那么拓撲框架也相應變得更廣泛，在這個更廣泛的拓撲框架下研究強半分離公理，那就需要相應一系列的研究基礎；另一方面，Lukasiewicz單位區間是一個特別的MV代數，如果推廣成一般的MV代數或正則剩余格，無疑會更加的復雜，所以這個問題能否解決還有待研究，可以作為一個思考方向。