基于解析法的變風量空調解耦優化控制

陳大鵬，張九根，梁 星

1.南京工業大學 電氣工程與控制科學學院，南京 211816

2.南京工業大學 建筑智能化研究所，南京 211816

1 引言

近年來，由于電子、制藥、化工等行業對產品質量要求的提高，其生產工藝對空氣環境也提出了更高的要求[1]。變風量（Variable Air Volume，VAV）空調能夠通過調整送風量滿足室內實際負荷需求，故有著較佳的節能性[2]。然而其室內溫度控制過程具有大時滯性，并且與送風溫度回路間存在強耦合關系，兩個回路相互干擾，嚴重影響室內空氣環境的質量[3]。因此，消除兩支回路間的耦合作用，改善其穩定性與精度，拓展其在高環境質量要求工業場合的應用是當前研究的熱點。

目前，針對VAV空調中不同回路間的解耦控制研究已較多，其中一些對常規解耦補償結構進行了改進，如張會[4]等從預期控制效果出發尋找開環傳遞函數矩陣，使得解耦矩陣的對角元素為1，從而簡化了解耦矩陣；馮增喜[5]等將前饋補償與無模型自適應控制相結合，加快了收斂速率，縮短了振蕩時間。另外一些在解耦控制回路中引入了智能算法，如李界家[6]等構建了模糊神經網絡解耦控制器，有效減弱了溫濕度回路間的耦合效應，并拓展了其自適應能力；胡欽華[7]等以系統論的觀點將VAV系統劃分為若干部分，再將單神經元自適應PID控制器融入各部分進行解耦，具有較好的實時控制效果。然而改進補償結構與引入智能算法分別存在確定參數困難與難以應用于實際的缺陷。

本文在建立室內溫度與送風溫度耦合數學模型的基礎上，利用解析法設計了一個易于物理實現的PID解耦控制器，不僅簡化了獲取參數的計算過程，還可定量地分析系統的穩定性與魯棒性。仿真結果表明，該控制器不僅能夠消除兩支回路間的耦合效應，具備良好的控制性能，還能在模型受到不確定攝動影響時維持較大的魯棒穩定裕度。

2 VAV空調系統原理與建模

2.1 系統原理

VAV空調通常由VAV Box、AHU及其傳輸通路、風機盤管與控制回路構建而成[1]，圖1為兩支控制回路結構框圖。

圖1 VAV空調控制回路結構圖

VAV空調系統在運行期間通過調節送風量并保證送風溫度為一常值來改變各區域溫度，故而在對室內溫度進行穩定而有效地控制同時需要維持送風溫度恒定。然而在VAV Box調整送風量來改變房間溫度時，區域送風量的變化勢必改變總風量，進而通過換熱器又會導致送風溫度波動，送風溫度波動會繼續影響房間溫度，期間還會不斷受到外界環境影響。

2.2 送風溫度控制回路

根據換熱器能量守恒關系[8]可得：

式（1）中，mc為換熱器質量（kg）；Cc，Ca，Cw分別為換熱器、空氣、冷凍水的定壓比熱容(kJ/(kg?℃))；tc為換熱器表面溫度(℃)；Gs為送風流量（kg/s）；Gw為冷凍水流量（kg/s）；tc,in,tc,out分別為換熱器進風與出風溫度(℃)；tw,in,tw,out分別為換熱器進水溫度與出水溫度(℃)。

換熱器進風溫度可表示為：

式（2）中，Gs,f，Gs,r分別為新風與回風流量（m3/s）；tc,f，tc,r分別為新風與回風溫度(℃)；此處假設換熱器出風溫度與其表面一致，即tc,out=tc。

將式（2）代入式（1）中可得：通過式（3）可得tc,out與Gw間的傳函為：

由于tc,out與Gs之間的關系呈非線性，故利用Taylor展開法在工作點處對其作近似線性化處理，得到其傳函為：

2.3 室內溫度控制回路

根據室內熱平衡方程[4]可得溫度模型如式（6）所示：

式（6）中，V 為房間體積（m3）；tr為室內溫度(℃)；ρa為空氣密度（kg/m3）；qr為室內熱源的散熱量（kJ/s）；R為房間維護結構的熱阻(kW/℃)；to為室外溫度(℃)。式（6）經整理后可簡化為式（7）：

tr與Gs之間的傳函由兩個子項構成，第一個子項可以在工作點附近利用Taylor展開法得到，即

第二個子項為：

因此tr與Gs之間總的傳函為：

在以上機理分析結果的基礎上，利用南京工業大學建筑智能化研究所內VAV空調系統實驗平臺進行階躍響應測試。表1給出了物理參數，表2為系統在夏季工況下穩定運行期間所測變量數據，結合表1的物理參數，最終獲得耦合對象的傳函模型矩陣如式（13）所示：

表1 物理參數

表2 夏季工況下實驗測得數據

3 解耦設計分析

為了解決上章所述VAV空調中室內溫度與送風溫度兩支回路間的耦合問題，利用解析法定量地對其進行解耦控制設計，其結構如圖2所示。

圖2 解析解耦控制結構圖

若將G-1(s)與C(s)表述為一個對角陣與一個非對角陣相加的形式，即

再將式（15）與（16）代入式（14）可得：

從式（17）可以看出，通過H1(s)已經能夠無耦合地分別控制兩支回路，而H2(s)中卻仍然包含一個帶有耦合性質的乘積矩陣，如果令

顯然僅通過M(s)就能夠反映出兩支回路間的耦合情況，而若要實現輸出響應完全解耦，則只需令M(s)為0即可，進而可以解得：

再將式（19）與（20）代入 H1(s)中能夠得到式（21）：

從式（21）可以看出，若已能夠確定解耦之后所期望得到的對角閉環傳函陣H(s)，即h11(s)與h22(s)已知，則可以反求出c11(s)與c22(s)分別如式（22）與（23）所示：

由此，最終可以用式（24）來表述解耦控制器矩陣。

4 解耦控制器設計

4.1 構建期望對角閉環傳函陣

由于直接對包含大時滯環節的傳函陣G(s)求逆會令計算過程尤為復雜，因此通過建立式（25）可以簡化表述 G-1(s)中各元素

式（26）中：

xk(k=1,2,…,l)為分布在復右半平面的極點，l為極點總數，r為各極點的重數，q為低通濾波器的階次，通常一階濾波器相對而言是反饋濾波器中性能最佳的[9]，φj為濾波器時間常數，是唯一附加的調節變量，用以改變輸出響應的追蹤速率，同時也能夠反映出魯棒穩定性與動態性能間的折中特性。

4.2 確定參數形式

將上節中構建的期望傳函陣H(s)以及通過簡化計算后得到的 G-1(s)中各元素代入式（24）中，能夠得到理想的解耦控制器矩陣的待定系數形式如式（27）所示：

顯然式（27）所描述的控制器矩陣中同時含有高階有理項與大延遲項，幾乎無法應用于實際過程中，故可以考慮對其做逼近處理將其轉換成PID形式。首先利用勞斯降階[10]將cij中高階有理項轉換為一階慣性環節：

再通過一階帕德近似[11]消除大延遲項，即

在連續時間域中，常規PID控制器的算法[12]如式（30）所示：

式（31）中，Kp為比例系數，Ti為積分時間常數，Td為微分時間常數，Tf為低通濾波器時間常數。結合式（28）～（30）可以確定解耦控制器矩陣的PID形式如式（31）所示：

4.3 整定參數

在設計解耦控制器時必須著重考慮參數獲取過程中系統的穩定性與魯棒穩定性，并以此為前提進一步考慮其他動態響應性能，而在采用解析法時只需要改變一個調節變量，故而可以簡化獲取過程。

4.3.1 穩定性

由于待解耦回路的閉環傳函陣中包含多個延遲環節，若依據其極點分布位置來判斷穩定性會尤為復雜，因此將圖2所示控制結構進行轉換后如圖3所示。

圖3 等價控制結構

經過化簡后可得：

則在整定參數過程中根據文獻[13]，若要使含有大延遲環節的雙入雙出PID單位反饋系統維持穩定，只需要滿足以下兩個條件：

（1）式（32）中每一個傳函的極點都分布于復左半平面。

4.3.2 魯棒穩定性

若δin與δout分別代表輸入與輸出不確定性，同樣將包含δin與δout的控制系統按圖3所示結構進行等價轉換，簡化后則可以得到帶有輸入與輸出不確定性的閉環傳函陣Fin與Fout，即：

則根據文獻[14]，該系統是否維持魯棒穩定性可以通過觀察其譜半徑是否比1小來得知，即：

4.3.3 整定過程

當模型中沒有出現攝動時，可以通過傳統的Z-N法來整定控制器參數。而當模型中出現不確定攝動時，由于M(s)≠0，則輸出響應也無法用式（26）表述，因此考慮如式（35）與（36）所示較為普遍的帶有乘性輸入、輸出不確定攝動的對象傳函陣。

其中，δtin,δtout(t=1,2)分別為輸入與輸出不確定攝動，再將式（37）與（38）分別代入M(s)中可以獲得其各元素為：

顯然，只有當 δ1in=δ2in或δ1out=δ2out時，M(s)=0。

具體步驟如下：

步驟1將調節變量φj的初始值設定在τjj附近。

步驟2依據實測輸出響應在線地調節φj從而獲取期望的追蹤響應速率，即減小或增大φj來相應地提升或降低第 j個系統的輸出響應速率。

步驟3若符合穩定性要求則結束整定過程，否則須繼續在線增大φj直至系統穩定。

步驟4在以上所得結果基礎上，當對象模型中出現不確定攝動時，可繼續在線單調增大φj以確保系統能夠維持魯棒穩定性。

5 仿真研究

目前，在實際工程中仍然普遍采用基于PID的前饋補償解耦控制策略[15]，為了獲得與其相接近的追蹤響應速率，分別取調節變量φ1=150，φ2=200。依據推導出的對象模型式（13），先利用式（25）、（26）分別獲得模型逆矩陣G-1(s)以及廣義對象矩陣H(s)，再通過式（27）推導出解耦控制器矩陣的理想表述形式，最后經過式（28）～（31）轉換獲得其PID參數如下：

為了盡可能減少運行能耗，送風溫度設定值會根據室內實際熱負荷需求來調整，因此在仿真過程中，12 000 s時送風溫度設定值將由12℃上調至16℃，而在16 000 s時下調回12℃。此外，由于室內人員對舒適性要求的變化，房間溫度設定值也會隨之調整，因此在設定值，雖然其調節時間略長一些，但是輸出響應幾乎無超調量，穩定性較佳。

圖4 標稱系統控制效果圖

圖5 不確定系統譜半徑幅頻曲線

圖6 輸入不確定系統控制效果圖

圖7 輸出不確定系統控制效果圖

可以看出，前饋補償PID法并不能完全消除兩支回路間的耦合效應，當送風溫度設定值發生變化時，室內溫度也會產生一定波動。通過解析法設計的控制器兼具解耦和控制兩項功能，不僅能夠完全實現兩支回路的獨立控制，還能在設定值發生階躍變化時更平穩地趨于

可以看出，在對象模型受到不確定攝動影響時，采用本文方法系統的譜半徑幅頻曲線仍小于1，并且魯棒穩定裕度較大，同時跟蹤響應依然能夠保持平穩，而采用前饋補償PID法卻會使系統超調量增大，振蕩時間變長，同時解耦效果也會明顯下降。

6 結束語

VAV空調中控制回路存在耦合性強、延遲時間大、易出現不確定攝動等問題，嚴重制約其在電子、制藥等工業生產場合的應用。利用解析法定量地設計PID解耦控制器，通過改變唯一的調節變量獲取良好的輸出響應性能，并依據譜半徑幅頻曲線評判系統的穩定性與魯棒穩定性，相比于前饋補償PID解耦更容易獲得理想的控制器參數。仿真結果顯示，該方法能夠完全消除兩支回路間的耦合特性，提高了控制質量，尤其是當模型中出現不確定攝動時，依然能夠維持較大的魯棒穩定裕度與較好的跟蹤性能。