否定非對(duì)合剩余格的IV-模糊理想

劉春輝

赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000

1 引言

剩余格是由Ward和Dilworth于20世紀(jì)30年代在文獻(xiàn)[1]中首次提出的一類(lèi)重要且應(yīng)用廣泛的代數(shù)系統(tǒng)，它是Heyting代數(shù)的合理推廣。目前，這一代數(shù)系統(tǒng)已經(jīng)被學(xué)者們公認(rèn)為模糊邏輯研究中理想的代數(shù)框架之一，相關(guān)研究成果頗為豐富[2-8]。1965年，Zadeh創(chuàng)立了模糊集理論[9]。Rosenfeld提出了模糊子群的概念[10]，標(biāo)志著模糊代數(shù)研究工作的開(kāi)始。隨后模糊集理論被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)代數(shù)系統(tǒng)的研究，并取得了豐富的研究成果[11-20]。其中，文獻(xiàn)[21]將模糊集思想應(yīng)用于否定非對(duì)合剩余格，給出了否定非對(duì)合剩余格的模糊理想和模糊素理想的概念，獲得了否定非對(duì)合剩余格的模糊理想和模糊素理想的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫(huà)。作為對(duì)模糊集概念的推廣，1975年，Zadeh在文獻(xiàn)[22]又提出了區(qū)間值模糊集（Interval Valued fuzzy set，簡(jiǎn)記為IV-模糊集），文獻(xiàn)[23]討論了半群的IV-模糊理想，文獻(xiàn)[24]研究了R0-代數(shù)的IV-模糊子代數(shù)，文獻(xiàn)[25]研究了Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)的IV-模糊濾子。本文將IV-模糊集思想應(yīng)用于否定非對(duì)合剩余格的理想問(wèn)題的研究，給出了否定非對(duì)合剩余格的IV-模糊理想的概念，討論了其相關(guān)性質(zhì)，為進(jìn)一步深入研究否定非對(duì)合剩余格的結(jié)構(gòu)創(chuàng)造了條件。

定義1[1]設(shè)L是一個(gè)集合，稱(2,2,2,2,0,0)型代數(shù)是一個(gè)剩余格，簡(jiǎn)稱L是一個(gè)剩余格，若對(duì)任意x,y,z∈L下列各條件成立：

引理1[1-8，21]設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，則下列各結(jié)論成立，其中?x,y,z∈L

引理2[8，21]設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，在L上定義二元運(yùn)算滿足：

則下列各結(jié)論成立，其中?x,y,z∈L

定義2[7]設(shè)L和M是兩個(gè)否定非對(duì)合剩余格，f:L→M為映射。若對(duì)任意x1,x2∈L有：

定義3[9]設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，則L上的一個(gè)模糊集A指的是映射A:L→[0,1]。

定義4[21]設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，A是L上的模糊集，若對(duì)任意的x,y∈L滿足：

則稱A是L的模糊理想。

并且規(guī)定D[0,1]中元素的大小關(guān)系為：

設(shè)X是非空集合，X上的一個(gè)區(qū)間值模糊集（簡(jiǎn)記為IV-模糊集）定義為：

2 否定非對(duì)合剩余格的IV-模糊理想

定義5設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格是L上的IV-模糊集，若對(duì)任意的x,y∈L滿足：

例1設(shè)L={0,a,b,c,d,e,f,1}滿足且b

表1 L上二元運(yùn)算的定義

表1 L上二元運(yùn)算的定義

0abcdef 1 000000000 a0aaa0aaa b0aab0aab c0abc0abc d0000dddd e0aaadeee f 0aabdeef 10abcdef 1

表2 L上二元運(yùn)算→的定義

命題1設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，如果IVFI(L)，則對(duì)任意x,y∈L，下列等式成立：

證明設(shè)因?yàn)楣视桑↖1）得又因?yàn)榍宜杂值妹}得證。

定理1設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，是L上的IV-模糊集，則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的 x,y∈L，滿足：

證明設(shè)對(duì)任意的x,y∈L,因?yàn)?≤x,所以由（I1）得，即（I3）成立。又因?yàn)橛傻亩x和（P4）得，所以由（P1）得從而由（I1）和（I2）得，即（I4）亦成立。

反之，設(shè)（I3）和（I4）成立且 x,y∈L。若 x≤y，則由（P5）得 y′≤x′，從而，所以，故滿足（I1）。 又 因 為，所 以，故由（I4）得，故亦ˉ滿足（I2）。因此，由定義5得

定理2設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，是L上的IV-模糊集，則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的 x,y∈L，滿足：

證明設(shè)，則由定理1得（I3）成立。任取 x,y∈L,由（P6）和（P9）得故由（I1）得所以由（I4）得，因此，Aˉ亦滿足（I5）。

反之，假設(shè)（I3）和（I5）成立，則在（I5）中取 y=x″得。任取 x,y∈L ，因?yàn)橛桑≒9）得′，所以由（I5）便得

命題2設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，如果IVFI(L)，則對(duì)任意

證明設(shè)，任取 x∈L，則由（P6）和（I1）得，而由定理2的證明又得因此

定理3設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，是L上的IV-模糊集，則當(dāng)且僅當(dāng)和都是L的模糊理想。

證明設(shè)是 L 的IV-模糊理想，且任取x,y∈L。一方面，若 x≤y，則由（I1）得從而且

另一方面，由（I2）得

所以由區(qū)間數(shù)的大小關(guān)系定義得

故由區(qū)間數(shù)的大小關(guān)系定義得

另一方面，由定義4（2）得

故由區(qū)間數(shù)的大小關(guān)系定義又得

定義6設(shè)X是非空集合，設(shè)和是X上的兩個(gè)IV-模糊集，定義IV-模糊集為：

稱之為IV-模糊集Aˉ和Bˉ的交。

定理4設(shè)L是一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，和Bˉ是L 上的兩個(gè)IV-模糊集。若，則IVFI(L)。

證明設(shè)且 ?x,y∈L 。一方面，若x≤y ，則由（I1）得且，從而由定義6得

于是，再由定義6得

3 IV-模糊理想的直積和同態(tài)性質(zhì)

定義7設(shè)X和Y是兩非空集合，分別是X和Y 上的IV-模糊集，對(duì)任意(x,y)∈X×Y ，定義映射滿足：

引理3設(shè)L和M是兩個(gè)否定非對(duì)合剩余格，在L×M 上逐點(diǎn)定義四種運(yùn)算滿足：對(duì)任意(x1,y1),(x2,y2)∈L×M ，規(guī)定

則L×M關(guān)于上述四種運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)否定非對(duì)合剩余格，稱之為L(zhǎng)和M的乘積否定非對(duì)合剩余格。

定理5設(shè)L和M是兩個(gè)否定非對(duì)合剩余格，IVFI(L)且，則

證明設(shè)，則對(duì)任意(x1,y1),(x2,y2)∈L×M,若(x1,y1)≤(x2,y2),則且，并且有：

定理6設(shè)L和M是兩個(gè)否定非對(duì)合剩余格是L上的IV-模糊集，f:L→M 為同構(gòu)映射。若IVFI(L)，則，其中

證明設(shè) f是L到M的同構(gòu)映射，對(duì)于任意的y1,y2∈M ，由 f是滿射知存在 x1,x2∈L使 f(x1)=y1且f(x2)=y2。

一方面，若y1≤y2,則從而由 f為單射得進(jìn)而 x1≤x2，故由及（I1）得，于是

于是

定理7設(shè)L和M是兩個(gè)否定非對(duì)合剩余格，Bˉ是L上的IV-模糊集，f:L→M為單調(diào)遞增的同態(tài)映射。若，則，其中

證明設(shè)，任取 x1,x2∈L，若 x1≤x2，則由 f單調(diào)遞增得 f(x1)≤f(x2)，從而再由 f為同態(tài)映射及（I1）得

4 結(jié)束語(yǔ)

將IV-模糊集的思想應(yīng)用于否定非對(duì)合剩余格理想問(wèn)題的研究，引入了否定非對(duì)合剩余格的IV-模糊理想的概念，詳細(xì)討論了其性質(zhì)特征，獲得了若干有意義的結(jié)論。值得注意的是，諸如BL代數(shù)、MTL代數(shù)、MV代數(shù)格蘊(yùn)涵代數(shù)、R0代數(shù)等著名的模糊邏輯代數(shù)都是否定非對(duì)合剩余格的特例，因此，可以說(shuō)上述結(jié)果是這諸多邏輯代數(shù)共同特征的體現(xiàn)。此外，本文工作在有效拓展IV-模糊集理論的應(yīng)用領(lǐng)域的同時(shí)，也為進(jìn)一步深入研究否定非對(duì)合剩余格的結(jié)構(gòu)創(chuàng)造了條件。