非局域Bell-態測量的實現

彭家寅

內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江 641199

1 引言

糾纏是量子世界特有的一種現象，并且是量子信息處理和計算科學中最重要的物理資源之一。許多新奇結果的獲得都憑借著糾纏粒子的量子非局域性，比如量子密集編碼[1]、量子隱形傳態[2]、量子對話[3]、量子秘密分享[4-5]、量子態制備[6-8]、量子克隆[9]、量子信息集中[10]、量子遠程控制[11]以及量子計算[12]等等。量子系統中量子態所含信息是量子力學中的一種重要信息，而另一種是描述量子算子的信息。例如，在分布式量子計算時就會出現這種情況，那里被視為一個多處理器設備，其每個處理器只包含少量的量子比特并充當量子通信網絡的節點。為實現分布式量子計算，Grover[13]和Cirace等[14]不僅有效地傳遞了量子數據，而且還在網絡節點之間有效地傳輸了量子算子。因此，利用共享糾纏、局域操作以及經典通信，實施非局域量子操作在量子信息的研究中具有重要意義的，并對非局域量子操作的一些基礎研究已有了報道[11，15-21]。在一個量子位上傳輸酉算子的過程類似于遠程控制，因此也稱之為量子遠程控制。在未來的量子網絡中，這樣的算子可以被作為對粒子中的量子信息的控制（加密或解密），它可以作為激活諸如導彈發射、量子密封或拆封、量子貨幣的遠程聯合銷毀等重要行動的鑰匙。

Barenco和Dorai等人[22-23]指出，受控非門（CNOT）與一組一般的一個量子比特門就足以實現任何多量子位的酉變換。為此，文獻[24-25]利用最大糾纏、局部操作和經典通信對非局域CNOT的實現進行了研究。文獻[26]于2004年提出了以部分糾纏態為量子信道，按一定概率就可以實現非局域CNOT操作的一個協議。而量子態的非局域測量是一種特殊的非局域量子操作。文獻[27]提出了一種近似確定的非局域Bell態測量方案，文獻[28]研究了多個可觀測量的可聯合測量問題。文獻[29-31]應用了非局域測量來處理量子任務。量子信息與量子計算中的另一個基本而重要問題是：在執行絕大多數量子任務時，需要使用Bell-態測量。一個自然的問題是：如何執行聯合Bell-態測量（即非局域Bell-態測量），在本文中，以一種簡單實用的方式來研究這個問題，即分別以最大和部分糾纏態作為量子信道，選擇適當的酉變換就可以實現聯合Bell-態測量，并討論了在這種情況下的資源消耗。

2 以最大糾纏對為量子信道的協議

Alice擁有粒子C，Bob擁有粒子D。根據這些要求，本文方案可以設計如下：

首先，Alice進行如下三種操作：

（1）施行兩粒子酉變換NCAC，這里NCAC是一個兩粒子受控非門（CNOT），它可表示為：

其次，收到Alice的信息后，Bob施行如下四種操作：

（1）依據Alice的信息s，對粒子 D執行Pauli運算σ(0,s)，這將把粒子A,D和B的態變成如下形式：

其

中s=0,1，而⊕是關于模2的和。

（3）將測量結果告知Bob。為此，Alice利用Alice-Bob

（4）對粒子B施行Pauli運算σ(0,t)，這樣后粒子 A和B的態變成：

3 以部分糾纏對為量子信道的協議

在第2章中，看到借助預先分享的最大糾纏對、局部操作和經典通信，可以遠程而聯合地執行Bell態測量。然而，在真實的環境中，因噪聲等各種因素的影響，Alice和Bob事先分享的不是最大糾纏對，而是部分糾纏對。這意味著量子信道將是不完美的，上述協議也就不能實施。為了執行非局域Bell態測量，需要考慮不完美量子信道。這里提供以下策略。

假定Alice和Bob事先分享的量子態為：

其中 |α|2+|β|2=1 ，Alice持有粒子 E ，Bob擁有粒子 F 。為了方便，不妨設 α,β 為實數且滿足 |α|≥|β|。仍假定處于初始態的粒子A和B分別被空間分離的Alice和Bob所擁有。

當Alice對控制粒子A，目標粒子E施行受控非門運算時，系統總態會變成：

從上式可知，據測量結果k，粒子A、F和B的態將塌陷為：

其中k=0,1。

如果k=1，則：

現在，Bob應用Uk于粒子 F和粒子b，那么態變成：

從式（4）知，對任意k∈{0,1}，獲得上述態的成功概率為β2，因此整體情況下成功的概率為2β2。

明顯地，式（2）所示的態本質上與式（6）所示態完全相同。這樣，本章余下的工作與式（2）的工作一致，這里就不再重述。因此，利用部分糾纏信道也是能夠成功執行非局域Bell-態測量的。也即是說，通過引入輔助粒子b和執行酉變換Uk，Alice和Bob是能夠借助部分糾纏信道，以一定概率2β2執行遠程聯合Bell-態測量。

4 討論與結論

到現在為此，分別以最大糾纏對和部分糾纏對為信道，得到了遠程聯合執行：

測量的兩個方案。比較這兩個方案，發現后一個成功方案需增加一個輔助粒子、一個酉變換和一個單粒子投影測量這三個額外要求，且成功的概率一般來說是小于1的。如果那么后者成功的概率2β2=,這時后一方案成了標準的前一方案。也就是說，后一方案是前一方案的推廣。明顯地，酉變換U0和U1都可以分解為二階酉矩陣。本文方案需要用到單粒子測量、Bell-態、受控非門、Pauli算子、簡單的酉變換Uk和經典通信，所有這些在現代實驗技術下都是可以實驗實現的。

值得注意的是：非局域Bell-態測量可以視為一個產生最大糾纏Bell-態的提純方案。事實上，如果制備處于態的兩個粒子A和B，以及一個被兩方分享的部分糾纏對，根據本文方法，就能夠得到一個最大糾纏對：

文獻[32]指出：通過糾纏交換提純的最優概率為2β2，這正與本文方案相同。

在本文方案的基礎上，Bob對

中的粒子B施行σ(i,j)運算，即

從式（3）知，以最大糾纏對或部分糾纏對作為量子信道，兩個單量子態和可以生產一個新的兩量子糾纏態。這個結論可以推廣到更一般的情形。事實上，假設Alice擁有量子態Bob擁有量子態并且他們事先一個部分糾纏對其中粒子C和D分別屬于Alice和Bob任意不同的量子態。現在，Alice應用于粒子A和C，然后用計算基去測量粒子C，并將測量結果告訴Bob。在上述操作后，態塌陷成下列態之一：

收到Alice的信息后，Bob對粒子D執行一個適當Pauli運算，接著引入輔助處于初態的輔助粒子b，然后對粒子D和b施行一個適當的酉變換U，再測量粒子b。這樣，系統態最后變成

這與等式（2）的態非常相似。因此采用第2章中Bob實施的第（2）～（4）中的方法，就能得到如下態：

結合上面討論，從本文方案中還可得到如下結論：利用部分糾纏對作為量子信道，可由兩個任意糾纏態生成一些新的最大糾纏態，比如

等等。

綜上所述，首先提出一個以最大糾纏對為量子信道的執行非局域Bell-態測量的確定性方案，然后將它推廣到以部分糾纏對作為量子信道的情形。本文發現：不論最大或部分糾纏對作為量子信道，所以Bell-態的非局域測量總可以施行。當然，也討論了非局域Bell-態測量所需的資源，并指出推廣方案可視為一種提純方案。

進一步，說明了在現有技術下本文方案實驗實現是可行。此外，本文發現提出的方案可以用于構造新的量子糾纏態，這對于豐富量子糾纏資源具有非常重要的意義。