關于數列教學中一點想法

陳焦 沈言生

摘要：本文通過不動點理論的思想方法討論了函數列的性質，并用來解決一類數列問題。最后我們總結了解該類問題的一般思想方法。

關鍵詞：不動點；數列；函數列

不動點定理在數學的各個分支都發揮了重要作用。對很多微積分里的問題采用不動點的思想，能夠幫助我們簡化問題。

定義1.1設f（x）在區間[a，b]上有定義，方程f（x）=x在[a，b]上的解x*稱為f（x）在[a，b]上的不動點。

下面我們用不動點理論來探討在閉區間上單調遞減時函數序列的簡單性質及應用。

同理，迭代序列{a2n+1}單調且c

綜上知，符合條件的c存在，且其中一個值即為不動點14。

當迭代序列屬于某閉區間且迭代函數在該區間單調遞減時，由性質1.2可以知道，迭代序列的奇數項和偶數項分別位于序列極限（即不動點）的兩側，且奇數項序列和偶數項序列分別單調收斂于該不動點，這與迭代函數在閉區間上單調增時是不同的。對于上述兩道例題，便是該種情形，迭代函數在由兩初值構成的閉區間內封閉且遞減，此時迭代序列的奇數項和偶數項均單調收斂于不動點。

此時其幾何意義如圖所示，對于迭代序列{xn}，伴隨著下標n的增大，序列{x2n}和{x2n+1}分別從兩側向不動點x*逼近。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M]（第4版）.高等教育出版社，2010.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M]（第2版）.高等教育出版社，2006.

作者簡介：

陳焦，重慶市，重慶師范大學；沈言生，北京市，北京師范大學。