對一道2017年全國高中數學聯合競賽試題的解題思考

李坤 高明

摘要：擬定計劃是數學解題的重要步驟，主要是要根據題目的信息特征，通過聯想、代換、構造等方式引入輔助元素或式子，將原問題轉化為新問題，然后對新問題做出解答，來實現對原問題的解答。

關鍵詞：弄清問題；擬定計劃；代換

數學家波利亞在《怎樣解題》中指出解題有四個環節：“弄清問題——擬定計劃——實現計劃——回顧”。“弄清問題”是認識并對問題進行表征的過程，是成功解決問題的必要前提；“擬定計劃”是解題的關鍵環節和核心內容，是探索解題思路的過程。本文以2017年全國高中數學聯合競賽的一道試題為例，著重通過代換、減元等方法，從不同角度、不同層次來擬定計劃并完成解題，以此體現擬定計劃的重要性。

問題的提出：若x，y為實數，滿足x2+2cosy=1，則x-cosy值域為。（2017全國高中數學聯合競賽試題）

波利亞在《怎樣解題》中建議分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯系（模式識別等）；第二，如果找不出直接的聯系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進輔助問題。

弄清問題：本題是求表達式的值域問題，題目所給方程含兩個未知數，涉及平方、余弦運算，解答比較繁瑣，通過代換、減元的角度，將問題進行轉化和變換，則可以降低思維的難度，減少運算的步驟，使問題獲得解答。

角度1（擬定計劃——整體代換）將原所求表達式采用整體代換（換元）的方法，能夠使問題的條件和結論轉化，達到化繁為簡、化難為易的效果。

本題考查的知識較為基礎，對于值域的求解，方法也比較多。在這里，我們通過以上三種解法，從多角度，多層次來分析討論問題，有機地將函數、數列等相關知識聯系起來，使解答具技巧性，又不失普遍性。

數學高考、競賽試題因其內容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的機智思想。擬定計劃是解題的關鍵，它使整個解題過程具有方向性。同時，擬定計劃需要豐富的聯想，它是解題的紐帶，只有做到創造性的擬定計劃，才能做到解題的創造性。在教學中，教師應該有意識地讓學生自己去擬定計劃，做到有的放矢。這樣既能培養學生多角度，多方位地考查問題，又能增強其創新能力，達到擴大視野和鍛煉思維的作用。

作者簡介：

李坤，高明，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。