微積分思想在中學數學中的應用

摘 要：隨著新課程標準的逐步實踐，在高考中運用到高等數學的知識及其思想方法比例越來越重。在中學數學中，尤其是高等數學的微積分思想發揮了重要的作用。

關鍵詞：微積分；中學數學；導數

一、 微積分思想的應用

高等數學的基礎是初等數學，它們之間的聯系密切相關。微積分作為一種強有力的數學工具，其地位是毫無疑問的，把微積分的思想滲透到中學數學問題中，能使復雜的問題大大簡化。由于導數優良的性質、廣泛的用途使它在微積分中扮演了重要的角色，尤其是在求函數極值和單調區間、切線方程、不等式的證明等方面，不僅可以簡化解法，而且能對問題進行更為深入、全面的研究。

（一） 求函數的單調區間

【例1】 （2006年江西卷）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23與x=1時都取得極值。

（1）求a、b的值與函數f（x）的單調區間；

（2）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b，

f′（1）=3+2a+b=0，

f′-23=43-43a+b=0得：a=-12，b=-2，則f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），

所以函數f（x）的遞增區間是-∞，-23，（1，+∞）遞減區間是-23，1

由上述例題可知，在尋求類似f（x）=ax3+bx2+cx+d的函數的單調性時，利用導數的性質來解決比用單調性的定義法更加簡單易懂。

（二） 求函數的極值、最值及切線方程

【例2】 已知函數f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值。

（1）討論f（1）和f（-1）是函數f（x）的極大值還是極小值；

（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程。

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，由題意得：f′（1）=f′（-1）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0

解得a=1，b=0所以f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）。

令f′（x）=0，得x=-1，x=1。若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數。若x∈（-1，1），則f′（x）<0，故f（x）在（-1，1）上是減函數。所以f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

（2）曲線方程為y=x3-3x，點A（0，16）不在曲線上。

設切點為M（x0，y0），則點M的坐標滿足y0=x30-3x0由于f′（x0）=3（x20-1），所以切線的方程是y-y0=3（x20-1）（x-x0）。又點A（0，16）在切線上，有16-（x30-3x0）=3（x20-1）（0-x0），得x30=-8，所以x0=-2，

因此，切點為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0。

（三） 導數在不等式的證明中的應用

在中學數學的學習中，不等式的證明往往讓學生感到非常的頭疼，通常技巧性非常的強，并沒有一個固定的方法去求解。在初等數學中，我們通常采用的方法是恒等變形、利用二次型、數學歸納法、使用重要不等式等。

【例3】 證明不等式：ex>1+x和ex>1+x+x22（x>0）。

證明：設f（x）=ex-1-x，則f′（x）=ex-1>0（x>0）。所以f（x）遞增，又f（0）=0，故f（x）=ex-1-x>0，即ex>1+x。

設g（x）=ex-1-x-x22，則g′（x）=ex-1-x。由上面已證得的結果：ex>1+x知g′（x）>0（x>0），故g（x）遞增，且因g（0）=0，即g（x）>0，即ex>1+x+x22。

二、 結束語

微積分在解決中學數學問題中的應用不僅僅局限于此，在其他如化簡代數式、因式分解、求值與求和等方面也有廣泛的運用。因此，微積分思想方法不僅在指導高中學數學里有著重要的作用，而且在許多中學數學問題上能化難為易、化繁為簡。

參考文獻：

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[3]俞宏毓.例說微積分知識在解決中學數學問題中的應用[J].高等函授學報（自然科學版），2006（02）：32-34，36.

作者簡介：

羅欽，四川省南充市，西華師范大學。