二項式系數和斐波那契數高次方的一種關系

摘 要：本文用數學的基礎方法研究了二項式系數和斐波那契數高次方的一種關系，給出了兩者之間恒等式，并進行了證明。

關鍵詞：二項式系數；斐波那契數；卷積

一、 引言及主要結果

眾所周知，二項式定理：如果對于任意整數n和i滿足n≥i≥0，則（a+b）n=∑ni=0nian-ibi。稱其中的ni是二項式系數，且ni=n！i！（n-i）！（1）

由（1）可知，ni一定是一個正整數。根據二項式定理，對于任意的復數x，得到

（1+x）n=nixi（2）

對于任意的非負整數l，令Fl是第l個斐波那契數（Fl=αl-βlα-β），Ll是第l個Lucas數（Ll=αn+βn）。對于任意給定的非負整數k，正整數m和n，定義nini=0和{Fmk+i}ni=0的卷積為f（k，m，n），其中

f（k，m，n）=n0Fmk+n1Fmk+1+…+nnFmk+n=∑ni=0niFmk+i（3）

文獻[2-4]已解決m=1，m=2，m=3的卷積計算問題，得到如下結論：

f（k，1，n）=Fk+2n（4）

f（k，2，n）=5n2L2k+n，2|n5n-12F2k+n，2|n（5）

f（k，3，n）=15（2nF3k+2n-（-1）k+n3+Fk-n），k≥n，15（2nF3k+2n+3Fn-k），k

其中Fk+2n，F2k+n，F3k+2n，Fk-n分別表示第k+2n個，第3k+2n個，第2k+n和第k-n個斐波那契數，L2k+n表示第2k+n個Lucas數。以上結論啟發思考：對于斐波那契數的高次方是否存在相似結論？對于任意非負整數k和已給定正整數n，記f（k，4，n）是nini=0和{F4k+i}ni=0的卷積，其中f（k，4，n）=n0F4k+n1F4k+1+…+nnF4k+n。（7）

定理 對于任意給定的非負整數k，正整數n，定義nini=0和{F4k+i}ni=0的卷積為f（k，4，n），則

f（k，4，n）=155[3nL4k+2n-4（-1）（k+i）5n+1F2k+n+6]。（8）

二、 證明

證明：對于任意給定的非負整數l，由Fl=αl-βlα-βα=1+52，β=1-52，得到

F4l=αl-βl54=125（α4l-4α3lβl+6α2lβ2l-4αlβ3l+β4l）（9）

=125（α4l-4（-1）lα2l+6（-1）2l-4αlβ3l+β4l）（10）

由（3）和（10），得到

f（k，4，n）=∑ni=0niF4k+i=125∑ni=0ni（α4（k+i）-4（-1）（k+i）α2（k+i）+6（-1）2（k+i）-4（-1）（k+i）β2（k+i）+β4（k+i））（11）

由（3），可以推得

∑ni=0niα4i=（1+α4）n，∑ni=0niβ4i=（1+β4）n（12）

所以，

f（k，4，n）=125∑ni=0ni（α4k+4i-4（-1）（k+i）α2k+2i+6（-1）2k+2i-4（-1）k+iβ2k+2i+β4k+4i））

=125α4k∑ni=0niα4i-4（-1）（k+i）α2k∑ni=0niα2i+6（-1）2k+2i-4（-1）k+iβ2k∑ni=0niβ2i+β4k∑ni=0niβ4i

=1553n（α4k+2n+β4k+2n）-4（-1）（k+i）5n+1α2k+n-β2k+n5+6

=155[3nL4k+2n-4（-1）（k+i）5n+1F2k+n+6]。

其中，1-α=β，1-β=α，αβ=-1，1+α4=3α2，1+β4=3β2，1+α2=5α

類似地，可以得到斐波那契數5次方或者更高次方的結論。但公式過于復雜，不再贅述。

作者簡介：

車雨紅，陜西省渭南市，渭南師范學院。