淺談三角函數(shù)中最值的求法

摘 要：三角函數(shù)最值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，加強(qiáng)這一內(nèi)容的教學(xué)有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握已經(jīng)學(xué)過的三角知識，溝通三角、代數(shù)、幾何、導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；最值；思維能力

一、 運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求最值

因?yàn)槿呛瘮?shù)的有界性如|sinx|≤1，|cosx|≤1，因此我們可以運(yùn)用三角函數(shù)的各類公式先將給定的函數(shù)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)有界性求出最值。

【例1】 求f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R的最大值。（03年全國高考題數(shù)學(xué)理科）

解：f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1-2cos2x+π4

∵cos2x+π4max=1

∴f（x）min=1-2

∵cos2x+π4min=-1

∴f（x）max=1+2

上例中，x∈R，如果限定x的取值范圍，則最值又將改變。

【例2】 已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，|x|≤π4，求f（x）的最值。

解：f（x）=1-cos2x2+sin2x+3（1+cos2x）2=sin2x+cos2x+2=2sin2x+π4+2

∵|x|≤π4即-π4≤x≤π4

∴-π4≤2x+π4≤3π4

∴sin2x+π4min=-22

∴f（x）min=1

∴sin2x+π4max=1

∴f（x）max=2+2

二、 三角函數(shù)和二元函數(shù)復(fù)合求最值

二元函數(shù)求最值通常使用配方法，然后三角函數(shù)的有界性數(shù)形結(jié)合求最值。

【例3】 已知k<-4，求函數(shù)y=cos2x+k（cosx-1）的最值。

解：y=2cos2x-1+k（cosx-1）

=2cos2x+kcosx-k-1

=2cosx+k42-k-1-k28

∵k<-4

∴k4<-1

∴-k4>1

當(dāng)cosx=-1時(shí)，ymax=1-2k；當(dāng)cosx=1時(shí)，ymin=1

當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)sinx，cosx的值域?yàn)閇-1，1]，如果限定x的取值范圍，則最值又將改變。

【例4】 若|x|≤π4，求函數(shù)y=cos2x+sinx的最值。

解：y=1-sin2x+sinx

=-（sin2x-sinx）+1

=-sinx-122+1+14

=-sinx-122+54

∵|x|≤π4即-π4≤x≤π4

∴-22≤sinx≤22

當(dāng)sinx=-22時(shí)，ymin=12-22；當(dāng)sinx=12時(shí)，ymax=54。

三、 利用數(shù)形結(jié)合的方法求最值

將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問題等價(jià)性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。

【例5】 求函數(shù)y=sinx+1cosx-2的最值。

分析：求y的最值就是求單位圓上任意一點(diǎn)（cosx，sinx）與點(diǎn)P（2，-1）連線的斜率的最值。如圖所示：過點(diǎn)（2，-1）作單位圓的兩切線PA、PB（A，B為切點(diǎn)），所以原式的最小值是-43；最大值是0。

四、 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值

在初等數(shù)學(xué)中，有許多問題，一則步驟冗長，二則解法獨(dú)特，按照純初等數(shù)學(xué)的方法去求解，難度較大。若我們借助于導(dǎo)數(shù)去求解，則可以帶給我們一種全新的感覺。

【例6】 求函數(shù)y=cos2x+2cos2x的最小值。

解：令cos2x=t，則y=t+2t（0

∵y′=1-1t2=t2-2t2<0

∴y=t+2t在（0，1]上是減函數(shù)

∴當(dāng)t=1時(shí)，ymin=1+2=3

【例7】 求函數(shù)y=43cos3x-cosx，x∈（0，π）的最值。

解：∵y′=4cos2x（-sinx）+sinx=（-sinx）（4cos2x-1）（0

令y′=0，得駐點(diǎn)x1=π3，x2=2π3

x0，π3π3，2π32π3，π

y′-+-

y單調(diào)減單調(diào)增單調(diào)減

∴y=43cos3x-cosx在x=π3處取得最小值ymin=-13

∴y=43cos3x-cosx在x=2π3處取得最大值ymax=13

此法求最值的關(guān)鍵是用一階導(dǎo)數(shù)確定給定區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。y′>0，單調(diào)增；y′<0，單調(diào)減。

其實(shí)對于同一個(gè)問題，我們可以從不同的方向、不同的側(cè)面、不同的層次來分析問題，解決問題。

【例8】 求函數(shù)y=sinx2-cosx的最值。

解：解法一：利用三角函數(shù)的有界性來解

原式化為2y-ycosx=sinx，即2y=sinx+ycosx，

從而2y1+y2=11+y2sinx+y1+y2cosx=sin（x+φ）（φ=arctany）

于是2y1+y2≤1，y2≤13，∴-33≤y≤33。

故函數(shù)y=sinx2-cosx的最大值為33，最小值為-33。

解法二：利用數(shù)形結(jié)合求

如圖所示，y=sinx2-cosx可看作是定點(diǎn)（2，0）與動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）連線的斜率的相反數(shù)，

而動(dòng)點(diǎn)（cosx，sinx）滿足sin2x+cos2x=1，

故問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)（2，0）與單位圓上的點(diǎn)的連線的斜率的最值，由數(shù)形結(jié)合得，連線與圓相切時(shí)取得最值。故ymax=33，ymin=-33。

解法三：用導(dǎo)數(shù)來解

在[0，2π]內(nèi)，y′=cosx（2-cosx）-sinxsinx（2-cosx）2=2cosx-1（2-cosx）2

令y′=0，得駐點(diǎn)x1=π3，x2=5π3

比較yπ3=33，y（0）=y（2π）=0，y5π3=-33

故函數(shù)y=sinx2-cosx的最大值為33，最小值為-33。

作為反映實(shí)際數(shù)量關(guān)系、幾何圖形性質(zhì)的最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各知識點(diǎn)，各個(gè)知識水平層面，以最值為載體，可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識點(diǎn)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想和方法，還可以考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。而三角函數(shù)也是考查的一個(gè)重點(diǎn)。三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，用三角函數(shù)的特征加上函數(shù)、幾何、導(dǎo)數(shù)的思想來求最值，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和思維能力。因此，兩者結(jié)合的題目有比較重要的地位。因此，能夠靈活運(yùn)用各種求最值的方法十分重要。

作者簡介：

許美芬，江蘇省宜興市，宜興中等專業(yè)學(xué)校。