基于凸優化方法的認知雷達低峰均比波形設計

郝天鐸 崔 琛 龔 陽 孫從易

①(國防科技大學電子對抗學院 合肥 230037)

②(96630部隊 北京 102206)

1 引言

認知雷達是一種智能化雷達，可以根據對環境和目標信息的認知自適應地調整發射波形，是未來雷達的發展趨勢之一[1,2]。認知雷達的發射波形不僅與其所面向的任務有關，而且也受某些約束條件的限制。現階段，在進行面向檢測的波形設計時，大部分方法僅考慮了發射能量的約束，而未對所設計信號的包絡加以制約。在工程實際中，為了能夠使雷達發射機發揮其最大效能通常要求雷達發射波形具有較低的峰均比(Peak-to-Average power Ratio,PAR)或者恒定包絡[3,4]。然而，恒模約束又過于苛刻，往往與雷達的檢測或估計性能不能兼顧，與恒模約束相比，PAR是一種更加泛化的約束，恒模波形只是PAR=1時的一種特殊波形，低PAR約束下的波形將具有更高的自由度[5–7]。

在信號相關雜波背景下進行檢測波形設計時，通常選擇最大化信干噪比(Signal-to-Interferenceplus-Noise Ratio, SINR)作為優化準則[8,9]。然而，基于該準則進行發射波形和接收機濾波器聯合設計時，現有大部分方法主要將匹配濾波器(Matched Filter, MF)作為最佳接收機，而在相關雜波背景下，采用失配濾波器(MisMatched Filter, MMF)可以獲得更優的性能。文獻[10]對雜波背景下發射波形和MMF的聯合設計問題進行了研究，該方法可以保證SINR逐漸遞增并收斂于一個定值。但其只對發射能量進行了約束，所求波形的包絡不受限制。為了增加恒模或者低PAR約束，文獻[11–13]采用凸優化方法，通過半正定松弛(Semi-Definite Relaxation, SDR)技術，對恒模和低PAR波形的優化問題進行了研究。然而，上述文獻中均未考慮信號相關雜波對波形設計的影響。文獻[14]彌補了這方面的不足，在信號相關雜波背景下，將恒模波形的求解引入到認知雷達中，通過SDR高斯隨機化的方法，得到了針對擴展目標檢測的最優恒模波形，該波形通過較小的SINR損失即可換來發射機效能的提高，但仍然存在以下不足：(1)只進行了恒模約束下的波形設計，與恒模約束相比，PAR約束下的波形將具有更高的自由度和更好的實用性；(2)采用SDR得到最優波形矩陣解后，通過高斯隨機化的方法從該矩陣解中提取最優波形向量解時，由于高斯隨機化方法具有一定的隨機性，需要取較多的隨機高斯變量才能以較高概率得到最優可行解，因此算法運算量偏大。

綜上，本文將波形的約束條件松弛為低PAR，同時考慮信號相關雜波的影響，并且兼顧算法的運算速率，提出了一種面向擴展目標檢測的低PAR發射波形和接收機MMF的聯合設計方法。該方法可同時兼顧波形的檢測性能和放大器效能，在給定的PAR范圍內可使波形的輸出SINR達到最大。此外，本文采用秩1近似法結合最近鄰方法[15]，取代高斯隨機化方法，進一步降低了算法運算量(詳見第4節分析)。仿真結果驗證了所提方法理論分析的正確性和算法的有效性。

2 信號模型

本文考慮相關雜波背景下針對擴展目標檢測的低PAR波形設計。目標的散射特性用目標沖激響應(Target Impulse Response, TIR)表示，相關雜波用雜波沖激響應(Clutter Impulse Response,CIR)表示。為方便起見，本文對單輸入單輸出(Single Input Single Output, SISO)雷達進行研究，主要在時域對離散的時間信號進行分析，信號模型如圖1所示。

3 波形設計方法

3.1 確定TIR假設下的問題描述

3.2 低PAR波形設計

4 算法性能分析

4.1 算法收斂性分析

4.2 算法復雜度分析

本文主要與文獻[14]算法的運算復雜度進行對比。文獻[14]采用SDR高斯隨機算法，由于高斯分布的隨機性，產生的隨機變量越多，得到最優解的概率也就越大，該文獻平均需要K=10000個隨機變量才能得到較好的可行解，其算法復雜度為：。本文的算法復雜度為：。可以看出，本文算法復雜度的第2項要遠小于文獻算法的第2項。然而，值得說明的是，雖然本文算法在第2步中提高了運算速率，但主要運算量集中在第1步，因此總體而言在算法復雜度上與文獻[14]相比只是略有提高，而本文算法的優勢在于波形包絡的自由度得到了提升。

5 實驗仿真

5.1 算法的有效性驗證

令PAR=1，初始波形為隨機的相位編碼波形，比較算法中波形最優矩陣解和波形最優向量解的檢測性能，如圖3(a)所示。可以看出，隨著迭代次數的增加，二者均遞增收斂，且后者的檢測性能要略差于前者，這是因為從矩陣解轉化為向量解時，還需要再進行一次PAR的約束，縮小了可行解的求解區域。圖3(b)驗證了不同初始波形對算法的影響。其中，優化復高斯包絡初始波形和優化隨機相位編碼波形是通過文獻[10]中的算法1，將其進行一步優化而得到的初始波形。可以看出，優化初始波形的收斂速度和初始SINR都要更優；此外，線性調頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號的性能較差。這表明算法對初始值是敏感的，為了提高收斂速率可選擇性能較好的波形作為初始發射波形。

圖4將本文算法與現有算法進行了對比。設門限τ=10-6，最大迭代次數κ=1000，分別與文獻[14]中的恒模波形、文獻[10]中能量約束下的最優波形、恒模波形(恒模波形3)、文獻[4]中頻域設計的最優波形以及LFM信號進行比較。可以看出，在恒模波形中，文獻[14]和本文波形性能相當，恒模波形3的性能最差，這是因為其直接提取能量約束下最優波形的相位而成為恒模波形，并非最優的恒模波形；此外，本文算法性能要優于文獻[4]，這是因為文獻[4]頻域波形不含有相位信息，變換到時域時會帶來檢測性能的下降；文獻[10]算法是能量約束下的最優波形，本文產生的恒模波形的SINR與其相差約0.5 dB，這是因為能量約束下有著更高的包絡自由度，此外，本文算法要明顯好于LFM信號，而且本文方法可設計PAR在1～50之間的任意波形，這說明了本文方法對波形包絡設計的靈活性。

圖5在不同雜噪比(Clutter-to-Noise Ration, CNR)下對各種算法進行比較。圖5(b)是圖5(a)的放大。由于在PAR=1時，本文方法與文獻[14]性能較為接近，故在該仿真中不與文獻[14]作比較。可以看出，隨著CNR的增大，本文方法產生的恒模波形檢測性能優于文獻[4]和恒模波形3，驗證了本文算法的有效性。

5.2 算法的性能與PAR之間的關系

圖6對不同PAR(1.0, 1.3, 1.6, 2.0, 2.6, 3.0)下優化波形的輸出SINR進行了比較，圖中每條實線對應著不同的PAR，隨著箭頭的指向PAR的值由1.0增大到3.0。可以看出，隨著PAR的增大，式(18)的可行解區域也變大，因此輸出SINR不僅收斂速度更快，而且最終收斂值也會相應變大。當PAR＞2時，得到的SINR最終收斂于同一值，接近能量約束下SINR的上限。圖7為不同PAR波形實部和虛部的表示，代表能量約束下的波形，其中點的分布半徑較大，說明波形幅度起伏較大，不能保證所設計波形的恒模特性，不利于實際應用。當PAR=1時，本文方法產生的點位于單位圓上，產生的是恒模波形；而當PAR=2時，點的分布半徑與相比較小，然而，由前面分析可知，PAR=2時波形的檢測性能已經與能量約束下波形較為接近，因此低PAR下產生的波形實用性較強。

6 結論

針對傳統雷達波形設計方法中發射機發射功率不被充分利用的問題，以PAR為約束條件，從時域出發，在信號相關雜波背景下，提出了一種低PAR發射波形和接收機聯合設計方法。相比現有方法，本文方法可以實現任意PAR下的聯合設計。理論分析和仿真實驗表明，通過將非凸問題轉化為凸問題，可以有效提高相關雜波背景下距離擴展目標的檢測性能；隨著PAR的增大，波形性能逐漸接近能量約束下的曲線；相比于高斯隨機法，通過將秩1近似法和最近鄰算法相結合，可以在波形性能保持相當的情況下使算法復雜度進一步降低。值得注意的是，本文分析了確定TIR和隨機CIR假設下的優化問題，對其他形式的TIR和CIR的組合，算法同樣適用。