基于分數階傅里葉變換的多輻射源被動直接定位算法

陳芳香 易 偉 周 濤 孔令講

(電子科技大學信息與通信工程學院 成都 611731)

1 引言

多基站雷達無源定位系統中，雷達本身不發射電磁波，而是借助外輻射源信號或直接截獲目標輻射源發射信號進行處理以實現相應的功能；多基站雷達無源定位具有功耗低、隱蔽性好等優勢，在軍事、民事中得到廣泛應用[1–7]。常見的多基站雷達無源定位算法有間接定位算法和直接定位(Direct Position Determination, DPD)算法，也稱為兩步定位算法和一步定位算法。前者首先從截獲的目標觀測信號中提取相關參數(如到達角(Angle Of Arrival,AOA)、到達時差(Time Difference Of Arrival,TDOA)等)，然后利用提取到的參數通過數學運算獲得目標位置[1–4]。后者則沒有參數提取的過程，而是將截獲的信號進行簡單處理后直接傳輸至中央處理器并對目標進行定位[5–7]。兩步定位算法中，參數提取的過程在每個接收雷達基站獨立進行，忽略了所有觀測回波信號對應同一個目標這一客觀約束，在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)情況下其定位性能將嚴重惡化；而DPD算法則能充分利用各接收基站的觀測回波信息，具有比兩步定位算法更優的定位性能[5]。

針對多基站雷達無源直接定位這一背景，Weiss推導了在發射信號已知和發射信號未知兩種情況下的最小二乘估計表達式[5]。該DPD算法只需通過對目標所在2維平面或3維空間區域進行網格搜索，尋找使相應的目標函數最大化的網格點作為輻射源目標的位置估計。對于發射信號已知的情況(例如訓練信號或同步信號)，通過直接搜索待估參數使得目標函數最大化即可實現目標的定位；對于更為常見的發射信號未知的情況，根據觀測信號構建與目標位置相關的矩陣，并通過一定的數學變換直接搜索該矩陣的最大特征值進而完成參數的估計。一般情況下，前者(DPD-known算法)可以獲得最佳的定位性能，而后者(DPD-unknown算法)由于有部分發射信號特征信息的丟失，其定位性能要劣于前者。在很多情況下，輻射源發射信號的模型已知而具體參數未知，例如未知信號參數的線性調頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號，可通過估計發射信號參數來進一步提高目標定位精度。

LFM信號具有低截獲率、高分辨率、大時寬帶寬積等優勢，廣泛應用于雷達、通信及地震識別等領域[8,9]。因此，對于LFM信號輻射源進行多基站雷達無源直接定位具有重要的理論意義和應用價值。文獻[6]為解決單個LFM信號輻射源的定位問題，通過短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)推導了聯合估計LFM信號參數和目標位置的DPD算法，其定位精度明顯優于DPD-unknown算法。但是上述DPD算法無法實現多目標定位，因此在實際場景中對多個LFM信號輻射源的定位問題亟待解決。

為確定監測區域內多個未知信號參數的LFM信號輻射源的位置，本文提出一種基于分數傅里葉變換(FRactional Fourier Transform, FRFT)和DPD算法相結合的多目標定位算法。FRFT作為一種廣義的傅里葉變換(Fourier Transform, FT)，在波傳播和光學領域是研究、分析和處理信號的一種重要手段[9–12]。因FRFT對LFM信號具有良好能量聚集性，被普遍用來估計LFM信號的相關參數[11,13]。本文首先對觀測信號應用FRFT得到其功率譜，并結合目標提取算法進而實現輻射源數量估計；其次利用基本分類方法對估計得到的相關信號參數進行分類，并對感興趣參數空間進行多次4維網格搜索進而實現多輻射源位置及相應信號參數估計；最后，通過仿真實驗驗證本文提出算法的定位性能。仿真結果表明該算法能夠準確定位監測區域內的多個輻射源目標，且定位精度優于DPD-unknown算法。

2 信號模型與問題導出

3 基于FRFT的多目標直接定位算法

本文提出的基于FRFT的多目標直接定位算法(DPD-FRFT算法)思路：首先，利用FRFT處理接收信號得到其功率譜，并應用目標提取算法提取功率譜局部極值點，進而獲得目標數量的估計值；然后，基于FRFT域中相應參數與LFM信號參數的關系式，可以得到相關信號參數的估計值；其次，利用基本分類算法可進一步將多目標問題轉化為多個單目標問題；最后，基于4維網格搜索方法便可獲得單個目標的位置及相應信號參數估計值。高維似然估計算法是理論最優的，而DPD-FRFT算法作為一種次優的定位算法，通過將高維的多目標定位問題轉化為多個低維的單目標定位問題來降低計算量，因此可以認為該算法是在計算復雜度和定位精度之間折中的定位算法。

3.1 分數傅里葉變換簡介

3.2 目標數量估計

3.3 信號參數分類

其中，S是Ts,f的量綱歸一化因子；n0是LFM信號起始時間的序號，在接收信號中表現為由發射時間及傳輸時延決定的發射信號的起始樣本點編號；f1表示在得到u0,p0后即可得到的初始頻率的部分估計值，f2表示與時延相關的初始頻率的部分估計值。由式(24)可知，初始頻率和調頻斜率的估計是基于量綱歸一化方法的。

3.4 目標位置估計

4 仿真實驗及結果分析

本節通過Monte Carlo仿真實驗對比分析本文提出的DPD-FRFT算法、文獻[5]中提出的DPD-unknown算法與DPD-known算法的性能。顯然，前文推導的高維最大似然估計器在理論上是最優的，相比DPD-FRFT算法、DPD-unknown算法與DPD-known算法有最小的估計誤差。然而由于計算的限制，實施該高維最大似然估計器花費的時間過長、代價過大，因此用DPD-known算法替代該算法。可以認為，DPD-known算法由于利用了發射信號完整的無誤差的信息，因此是這幾種定位算法誤差的下界。

如圖3所示，在一個2維笛卡爾坐標平面上，3個輻射源的位置坐標為 (-2，0)km , ( 2，0)km,(0，2)km。5個接收基站放置在以遠點為圓心、半徑為6 km 的圓弧上。SNR變化區間為-15～ 1 5 dB，間隔 3 dB。

輻射源均發射LFM信號，其信號參數如表1所示。

表1 信號參數設置Tab.1 Signal parameter setting

4.1 目標數量仿真

觀測信號與式(5)具有相同形式，該信號由3個經過一定時延的LFM信號和噪聲疊加得到。對該信號進行FRFT，得到的3維功率譜如圖4所示。

由圖4可知，當SNR=5 dB時，觀測信號的功率譜中明顯有3個局部極值點(紅色橢圓標出)；但當SNR=–10 dB時，雖然也可分辨出功率譜的3個極值點，但由于受噪聲影響并不明顯。這表明應用FRFT可有效實現對LFM信號輻射源數量的估計，但受信噪比影響嚴重。其具體關系如圖5所示。

由圖5可知，在SNR大于0 dB左右時目標數量能夠得到較好的估計。

4.2 定位性能仿真

本文用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)衡量定位精度，其定義如下：

其中，||·||表示斐波那契范數；N是Monte Carlo實驗次數，這里N=200;表示在第i次實驗中得到的某個輻射源位置的估計值。明確一點，利用圖像膨脹算法提取到的觀測信號功率譜的極值點只對應潛在的目標，該過程是基于恒虛警率(Constant False Alarm Rate, CFAR)的，而目標數量的估計值是基于這些可能的目標，并且定位誤差處于一定范圍內。

僅考慮單目標情況下DPD-unknown算法、DPD-known算法和本文提出的ST-DPD-FRFT算法(針對單個目標的DPD-FRFT算法)的性能比較。需要注意的是，該種對比方式使得DPD-unknown算法有一定的優勢；但若ST-DPD-FRFT算法的定位性能優于DPD-unknown算法，那么該算法同多目標DPD算法將具有更大的優勢。

由圖6可知，在高信噪比下(約為 1 0 dB)，4種定位算法都取得了較好的定位精度；隨著信噪比降低至 5 dB，算法的定位性均出現不同程度的惡化；且由于受目標數量的影響，DPD-FRFT算法對單個目標的定位精度要劣于ST-DPD-FRFT算法。在所有算法中DPD-known算法的定位精度最優，而DPD-FRFT算法只有在高信噪比(0 dB以上)情況下其性能才接近DPD-known算法。這主要是由于在低信噪比情況下，DPD-FRFT算法對LFM信號參數的估計誤差增大，從而影響其定位精度。為了驗證這一點，定義信號參數估計的準確率(Correct Rate of Estimation, CRE)：

其中，Nc表示在N次Monte Carlo實驗中信號參數的估計誤差小于8%的次數。

圖7表示目標發射信號的初始頻率和調頻斜率的估計準確率隨信噪比的變化曲線。由圖7可知，在信噪比低于0dB時信號參數的估計準確率開始降低。進一步對比圖5和圖7可知，目標個數的估計準確性也取決于信號參數的估計準確率。這一結果表明目標發射信號參數的估計準確性直接影響了輻射源目標的定位性能。

5 結論

針對多個未知LFM信號輻射源，本文提出的DPD-FRFT算法在控制計算量的同時，可有效聯合估計出目標位置和信號參數。該算法有益探索了多目標、多基站無源直接定位問題，獲得了較好的精度定位。