高中數學中函數與方程思想的研究

河南省濮陽市職業中專 邱愛珍

一、函數與方程思想相關概念解析

函數與方程思想是高中數學中常用的一類思想，數學思想是解決數學問題的靈魂所在，能夠讓復雜的數學題型變得簡單化，因此函數與方程思想也是學生應當重點掌握的學習內容。我們在理解函數與方程思想時可以將其分解開來，所謂函數思想，就是將圖像與性質通過函數關系相互聯系起來以解決實際問題，簡單地講就是當遇到具體的數學問題時，我們需要把題干中給出的不等式或者方程問題利用函數思想轉化為函數問題，然后再利用函數的相關知識進行解答。在實踐教學中我們發現，原來較為復雜的方程或不等式問題通過轉化，解題步驟變得更簡單，解題思路也更加清晰，不僅是方程問題我們能夠用函數思想解答，函數問題我們同樣可以用方程思想進行解答。所謂方程思想，就是利用方程的相關概念找出與函數的關系，構造與函數關系相對應的方程表達式，最終解決函數問題。我們可以將函數y=f（x）轉化成方程f（x）-y=0，那么在解題時，我們就可以通過解方程的方法回答出函數問題。如果一個函數問題中還包括值域、定義域的問題，通過函數向方程的轉化更是可以簡化操作步驟，幫助學生更加簡單清晰地理清思路。

二、高中數學中函數與方程思想的應用

利用函數與方程思想解決具體問題是高中數學教學中的一項重要的教學內容，在教學中要引導學生找出函數與方程之間的關系，注意培養數學思想，同時要避免陷入誤區，例如在解析函數時，不能忽視定義域，如果定義域是確定的，在利用待定系數法進行解答時，還要弄清楚函數的類型，總之要保持嚴謹的解題思路，做到正確分析與處理。以下就結合具體實例分析高中數學中函數與方程思想的應用。

例1 定義x1滿足條件：2x+2x=5，同時x2滿足條件：2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值是多少。

例2 已知關于a的方程2x2a-2-7xa-1+3=0，該方程的一個根是2，求另一個根以及x的值是多少。

分析：當我們看到這個題時，有許多學生會陷入思想上的誤區將其看作是關于x的方程，實際上題干中已經表明了這是關于a的方程，因此正確審題非常重要。在進行分析解答時，我們要將x作為一個需要我們求知的“已知數”，而a是一個未知數，我們利用換元法構造關于a的函數m=xa-1，通過函數與方程思想將關于a的方程轉化成關于m的方程，即2m2-7m+3=0。通過轉換，我們的解題思路一下就明朗了許多，通過方程的相關知識，可以求出m的值是3或者，將其代入可以得出方程x的值是3或者，那么再將x的值代入到a的方程就可以得到a=1-log32。

例3 函數f（x）是關于原點對稱（對任意的x都滿足）的減函數，其定義域是R ，求對應m的取值范圍是多少。

分析：這道題還是比較有難度的，對于學生數學解題能力的要求比較高，既考查了函數的單調性問題，同時又考查函數的奇偶性以及不等式與二次函數等內容。不少學生在面對這道數學題感到非常困惑，不知道從哪里進行突破。其實利用函數與方程思想可以較為輕松地簡化解題步驟，同時還要引導學生利用數形結合思想，讓解題思路更加開闊。

通過題干中的已知條件，函數f（x）是關于原點對稱（對任意的x都滿足）的減函數，我們可以了解到函數f（x）是一個奇函數，那么3m-5 ＞ cos2θ-2msin2θ 就是 3m-4-sin2θ+2msin2θ＜ 0。這時我們利用函數與方程思想，利用換元的方式構造函數，最后得出（t+m）2-4-m2-3m＞0，再對換元的函數等價交換，得出f（t）=（t+m）2-4-m2-3m，這時再結合二次函數的單調性的相關知識點，就可以求解出最后的答案。

三、函數與方程思想解題歸納

函數與方程思想是我們在數學教學中要重點引導學生掌握的一項數學思想，在實際教學中，教師要結合學生的數學實際能力以及基礎水平，采取更有針對性的教學策略。在利用函數與方程思想進行數學實際問題的分析解答時，教師要給予學生充分的時間進行自我思考，不要一上來就帶領學生一步步地展開分析計算，而是要讓學生自己探索發現函數與方程之間的巧妙關系，引導學生從方程與函數的角度入手嘗試解答。另外，教師還應該意識到的是，不能單純地將函數與方程思想當作解決數學問題的工具，而是要將其作為一種指導思想，培養學生的思維能力，活躍學生看待與解決實際問題的思路，要注意在平時的數學教學課堂上滲透數學思想，逐漸鍛煉學生的數學思維。

函數與方程思想是高中數學中常見的數學思想，利于幫助學生簡化解題步驟，明晰解題思路。教師在日常教學中一定要多滲透數學思想的教育，引導學生利用數學思想解決實際問題。