把脈學情 圍繞問題 自主探究——“反比例的意義”教學實踐與思考

江蘇省常熟市塔前小學 戴美蘭

《反比例的意義》是蘇教版小學數學第十二冊第六單元的內容，反比例關系和正比例關系一樣是一種重要的數量關系，它滲透了初步的函數思想，學生理解并掌握了這種數量關系，可以加深對比例的理解，解決一些簡單的實際問題。教學中我基于學生的已有認知水平，合理整合教學內容，最大限度地拓寬學生探究學習的空間，引導學生經歷過程，意義建構概念本質。

一、在微課復習中提煉數學方法

課標指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上。在此之前，學生已經學習了正比例的意義，對“相關聯的量”“成正比例的兩個量的變化規律”“如何判斷兩個量是否成正比例”已經有了認識，也掌握了研究比例規律的一些數學基本方法，這為學習《反比例的意義》奠定了基礎。所以老師課前特意錄制了一段微課，課始師生共同觀看，重溫正比例意義的學習活動，激活已有認知經驗，喚起學習表象和數學思考：觀察例1表格，圍繞問題思考并展開討論，全班交流發現，最后歸納總結時間和路程成正比例關系……借助微課的“導”，師生共同提煉出研究比例規律的數學方法：觀察、思考、討論、發現、歸納、總結……為學生自主探究反比例的意義做了有效的鋪墊。我們知道，方法的習得比知識的傳授更重要。

二、在核心問題中展開自主探究

出示例3表格：用60元購買筆記本，筆記本的單價和購買的數量如下表：

單價/（元/本） 1 2 3 4 5 6 …數量/本 60 30 20 15 12 10 …

（1）引導：運用研究正比例關系的數學方法，研究單價和數量之間有著怎樣的關系？可以圍繞下面兩個問題開展小組討論，覺得有需要的也可以請數學書來幫忙。

課件出示：

①表中的單價和數量是怎樣變化的？

②這種變化有什么規律？

（2）集體交流，引導學生認識和發現：

①表中有兩種相關聯的量，單價發生變化，筆記本數量也發生變化。單價越低，本數越多；單價越高，本數越少。

（板書：單價和數量是兩種相關聯的量，單價變化，數量也隨著變化）

②筆記本的數量隨著單價的變化而變化，用單價×數量可以發現總價是不變的。

引導：你能舉幾個例子說說嗎？

（板書：1×60=60 2×30=60 ……）

提問：你能說說乘積60表示什么意思嗎？（總價）

你能用一個式子表示出單價、數量和總價之間的關系嗎？（板書：單價×數量=總價[一定]）

（3）追問：單價和數量這兩種量成什么關系？為什么？

請幾位學生交流和補充想法。

（板書：單價和數量成反比例關系，單價和數量是成反比例的量）

由于有了正比例意義的學習經驗，反比例意義的學習教師沒有做細致的引導，而是把學習的主動權交給學生，圍繞兩個核心問題展開小組討論，教師只做點撥和引導。學生通過觀察、思考、計算、比較，充分經歷了數據的變化過程，真切感受到單價擴大、數量縮小，單價縮小、數量擴大，總價不變這種和正比例完全相反的變化，體會到變中不變的規律。借助數學書來幫忙，則通過自學課本，學生主動發現單價和數量之間的關系，理清了單價和數量成反比例關系的兩個必要條件，把探究活動中積累的經驗和發現的規律上升到理性的認識，對反比例的意義有初步的理解和感悟。

三、在研究單導學中展開多維對話

在學生初步理解反比例意義的基礎上，請學生拿出研究單，仿照例3的學習方法，嘗試著去完成“試一試”，看看工作效率和工作時間有著怎樣的關系。

生產240個零件，工作效率和工作時間如下表：

工作效率/ (個/時) 120 80 60 48 40 …工作時間/時 2 3 4 …

（1）根據表中的已知條件把表格填寫完整,說說工作時間是隨著（ ）的變化而變化的。

（2）舉例算出相對應的兩個數的乘積各是（ ）。

（3）這個乘積表示的實際意義是（ ）。

（4）用式子表示它與工作效率和工作時間之間的關系：（ ）○（ ） = （ ）。

（5）想一想，工作效率和工作時間成反比例嗎？同桌說說為什么。

“試一試”完全采用自主探究的方式繼續感知反比例關系。學生嘗試完成五個問題后，同桌首先展開對話，說說自己的發現，接著學生上臺自主介紹探究過程，臺上和臺下的學生自主對話，互相補充、互相提醒。這一過程，學生的思維被有效激活，興趣被有效激發，教師適時引導小結“工作效率、工作時間和工作總量”三者之間的關系。借助研究單的導學功能，自主式發現和交流演繹出更多的精彩。教師適時點撥學生抓住成反比例量的知識核心，通過生生之間、生本之間、師生之間的多維對話，再次經歷判斷成反比例量的思考過程，積累感性認識，深化理性認識，意義建構反比例的概念。

四、在回顧反思中把握概念本質

（1）回顧剛才的學習過程，想一想，例3和“試一試”中討論的兩種量有什么共同的地方？

（2）思考：仿照正比例，想想反比例怎樣用字母表示它們之間的關系？

（3）追問：現在你們發現可以依據什么來判斷兩種量是否成反比例？（小結并板書課題：反比例的意義）

（4）舉例：生活中還有哪些相關聯的量也成反比例關系？你能舉例說一說嗎？

通過對例3和試一試兩種量共同點的討論，為特殊到一般抽象歸納反比例的意義做了準備，仿照正比例，學生順利地想到可以用X和Y代表兩個相關聯的量，用K表示它們的乘積，順利抽象出反比例意義的字母表達式：X×Y=K（一定）。學生在潛移默化中感受到概念學習的一般方法：從感性到理性，從特殊到一般。通過尋找生活中的例子，激活學生的生活體驗，豐富對反比例意義的理解，從而正確把握概念本質。

五、在自主練習中深化理解意義

談話：研究單上余下的題目，請同學們自主選擇喜歡的一道題目來練一練，看看題中的兩種量是否成反比例。

學生獨立練習，完成后小組內交流。

（1）學生上臺交流，介紹自己的想法。

生1：“練一練”1：因為每袋裝的粒數×袋數=總粒數（一定），所以每袋裝的粒數和袋數成反比例。

生2：“練一練”2：因為每天運的噸數×天數=總噸數（一定），所以每天運的噸數和天數成反比例。

生3：練習十一第2題（對比練習）。

①交流表中填寫的數據。

②討論并交流：

長方形的面積一定，長與寬成反比例嗎？

長方形的周長一定，長與寬成反比例嗎？

重點討論并板書：（長+寬）×2=周長（一定）。

追問：題中討論的是誰與誰的關系？你能把它轉化成長與寬的關系嗎？

（板書：長+寬=周長÷2[一定]）

明確：長方形周長一定是指長與寬的和一定，而不是積一定，所以長與寬不成反比例。

強調：只有當兩種相關聯量的乘積一定時，它們才能成反比例。

（2）用手勢（√或×）判斷：圓的周長一定，圓周率和直徑成反比例嗎？

交流板書：π×d = c（一定）。

明確：圓周率和直徑不是兩種相關聯的量，圓周率不會隨著直徑的變化而變化，所以圓周率和直徑不成反比例。

追問：通過對比練習，你覺得要判斷兩種量是否成反比例有什么需要提醒大家注意的？

強調：兩種相關聯的量和兩個量的乘積一定，兩者缺一不可。

由于學生的認知水平和學習能力參差不齊，不同的學生會選擇不同層次的題目，有基礎的，有提高的，有對比的。這樣通過選擇自己喜歡的一道題，從自身的認知特點和學習能力出發，滿足了自身的學習需求，不同層次的學生有不同的收獲，對反比例的意義都有自己獨特的建構。通過對比辨析，學生真正掌握了判斷兩種量是否成反比例的數學方法，感悟了模型思想，提高了判斷能力，深化了意義的理解。

六、在拓展延伸中為后續學習奠基

課件出示：“你知道嗎”。

先讓學生自由讀一讀，問：通過閱讀，你知道了什么？

追問：觀察表格，X和Y的乘積都是……？（板書：X×Y=60[一定]）

觀察反比例圖像，說說點A和點B表示的實際意義各是什么？你還能說出其他各點表示的實際意義嗎？

學生發現：每個點對應的X軸和Y軸上兩個數的乘積都是60，這些點連起來是一條曲線。

延伸：正比例圖像是一條直線，反比例圖像是一條曲線，有關反比例的圖像中學會進一步研究。

通過閱讀“你知道嗎”，向學生簡要介紹了反比例的圖像，既有利于加深學生對反比例意義的理解，又可以幫助學生獲得對正比例和反比例的完整認識，形成合理的認知結構，同時也勾起學生對研究反比例圖像的濃厚興趣，為后續的深度學習做了有效的引領。

總之，研究反比例的意義，借助問題式導學、小組式合作、自主式交流、指導式發現，以核心問題引領課堂，以自主探究貫穿課堂，引導學生進行思考討論、知識建構、經驗交流、思想感悟，從而真正把握概念本質。